高中数学向量的表示和共线

1、向量一根底知识回忆1. 平面向量根本定理对于任意a，假设以不共线的向量 ei, e2作为基底，那么存在唯一的一组实数对人仏使a=洽+ e2. 共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = a如果向量a=(冷，yi), b= (x2, y2),贝U a / b的充要条件是 xiy2= x2yi或者xiy2 x2yi = 0,即用坐标表示的两个 向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为X2 = y2，即对应坐标的比值相等.xi yi如果OA= xOB + yOC，贝y A, B, C三点共线的充要条件是 x+ y

2、= i.3. 向量的坐标运算a= (xi, yi), b = (x2, y2),贝y a + b= (xi + X2, yi + y2), a b= (xi X2, yi y2), ?a =(入 x,入 y .二.例题分析例i如图，平面内有三个向量OA、OB、0C ,其中与0A与0B的夹角为i20°, 0A与 0Ci. 向量的表示与根本定理的夹角为 30° ,且|0A|= |0B |= i, |0C | = 2 - 3 ,假设 0C =入 0A+ 口0B 入，口 R,贝U入+ 口的值为.例 2.在?ABCD 中，aE = a, A石=b, AN = 3NC , M 为 BC

3、 的中点，贝U M IN =例3. (20i3年绍兴模拟)如图，点M是厶ABC的重心，那么IMA + IMB MC等于()C. 4MFB . 4MED . 4MD例4:如图，设点P、Q是线段AB的三等分点,假设 OA = a, OB = b,贝U OP =,OQ =用a、b表示例 5.如图，在 ABC 中，AB = 2, BC = 3,Z ABC = 60° AH 丄 BC 于点 H , M 为 AH 的中点，假设Am = xIbf JBc那么h尸AB = a，AC11A.a-尹B.a- b11C.a + 2bD2a+ brrr例7.ABC 中，AB边上的高为CD，假设CBa,CAb

4、,a b0,|a|1,|b| 2，那么AD ()1 - 1 -2_ 2-3-3-4-4-A.-a bB.abC.abD. - ab33335555=b，那么AD等于例8. 2021年苏北四市联考如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点 O,设AD = a,AB = b,假设AB= 2DC，那么AO=用向量a和b表示.例9. 2021广东卷文10设a是的平面向量且 a 0，关于向量a的分解，有如下四个 命题：给定向量b，总存在向量c,使a b c； 给定向量b和c，总存在实数和，使a b c ； 给定单位向量b和正数，总存在单位向量 c和实数 ，使a b c ； 给定正数和，总存在单位向量

5、b和单位向量c，使a b c；上述命题中的向量 b, c和a在同一平面内且两两不共线，那么真命题的个数是2. 向量坐标表示与向量共线例1.2021陕西卷文2向量a (1,m) , b (m,2),假设a II b ,那么实数m等于()A. 2B. 2 C. 2 或 2D.0例2. 2021辽宁卷理3点A(1,3)，B(4, 1)，那么与向量 AB同方向的单位向量为C.(3 45'5D.(4 35'5卫成|b|B、a/bC、a 2bD、a/b且 |a| |b|例4 (2021年高考广东卷文科3)向量(1,2),b(1,0),c(3,4)，假设 为实数,例3.【2021高考真题四川

6、理 7】设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使g|a|立的充分条件是(a b)/c，那么1A.4例5: (1)向量OA1B.2(k,12),OBC.D. 2(10,k),当k为何值时,A, B,C三点共线?例6、a, b是不共线的向量，假设(4,5), OCAb=入a + b, Ac = a+ 血(入，R),贝U A, B, C 三点共线的充要条件为()A .入=茏=1例7设A1, A2, A3, A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设a1a3=入沫2(入 R), A1A4_予11= uAA2(吐 R)，且-+ - = 2，那么称 A3, A4 调和分割 A1 , A2,点 C(c,0)

7、, D(d,0)(c, d R) 人 3调和分割点A(0,0), B(1,0)，那么下面说法正确的选项是()A . C可能是线段AB的中点B. D可能是线段AB的中点C. C、D可能同时在线段AB上D . C、D不可能同时在线段 AB的延长线上例8如下列图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB, AC于不同14的两点m, n,假设AB=mAM, AC=nANm，n>0，那么帚+評最小值为C.9例9. 2021年西安模拟 ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.m= 1,1,n=sin Bsi n C cos Bcos C，且 m II n.

8、1求A的大小；假设 a= 1, b = , 3c，求 Gabc.练习：1.以下命题：假设|a=|b|,贝Ua= b;假设a= b,b= c,贝Ua= c;假设a I b, bII c,贝U al c；假设四边形 ABCD是平行四边形，那么 AB = CD, BC = DA，其中真命题的 个数是A . 1B .C. 3D. 42.课本习题改编D是厶ABC的边BA上的中点，那么向量 CD等于c .Bc *bAd. Bc + 1 Ba3.2021年北京海淀模拟如图,BC 2bA正方形 ABCD中，点E, F分别是DC ,BC的中点，那么EF=( )1 t 1 t A.AB + ?ADb . 2aB

9、2aD c . 2aB + 2aDd.；AB |ad4. 向量a= (2,3), b = (1,2)，假设 ma+ nb与a 2b共线，那么 半=()5. 2021 江苏卷 102BE BC3，假设DE6. ABC 中,1C. 21D.2设D, E分别是1AB 2 AC点D在边AB上，CD平分/1ABC的边AB, BC上的点， AD AB ,22为实数，那么12的值为ACB,假设 CB = a , CA= b ,b = 2,那么 CD=(221 ,b Ba + b3337. (2021年沈阳三校模拟)向量AB与向量 标是(1,2)，那么点B的坐标是()Ala +3C a + b55a= ( 3,4)的夹角为n,4a + 5|AB|= 10,D3b5假设点A的坐A . ( 7,8) B . (9, 4) C .(5,10)D.(7， 6)8平面内给定三个向量a= (3,2), b = ( 1,2), c= (4,1)，请解答以下问题:(1)求满足a= m