(完整版)最短路径问题专项练习

1、最短路径问题专项练习共 13 页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 (构建“对称模型”实现转化)1最短路径问题(1) 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线 的交点即为所求如图所示，点 A， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CACB 最短， 这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点6我们不妨在直线上另外任取一点 C，连接 AC，BC，(2) 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其

2、中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求如图所示，点 A， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CACB 最短， 这时先作点 B 关于直线 l 的对称点为了证明点 C 的位置即为所求，B C，证明 ACCB<AC CB.如下： 证明：由作图可知，点 B 和 B关于直线 l 对称， 所以直线 l 是线段 BB的垂直平分线 因为点 C 与 C 在直线 l 上， 所以 BCBC，BCB C.在 AB C中， AB< AC BC， 所以 ACBC<AC BC， 所以 ACBC<AC C B.例 1】 在图中直线 l

3、上找到一点 M，使它到 A， B 两点的距离和最小分析：先确定其中一个点关于直线 l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l 的 交点 M 即 为所求的点解：如图所示： (1)作点 B 关于直线 l的对称点 B；(2)连接 AB 交直线 l 于点 M.(3) 则点 M 即为所求的点点拨： 运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“ 两点之间线段最短 ”解决问题 .2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质， 将所求线段之和转化为一条线段的长， 是解决距 离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到

4、 直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的 三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题， 不要只注意图形而忽略题意要求， 审题不清导致答非所问3利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上 如果两点在一条直线的同侧时， 过两点 的直线与原直线的交点处构成线段的差最大， 如果两点在一条直线的异侧时， 过两点的直线与 原直线的交点处构成的线段的和最小， 都可以用三角形三边关系来推理说明， 通常根据最大值 或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两

5、岸 的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为 零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时， 我们通常利用轴对称、 平移等变换把不在一条直线上的两条线段 转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题【例 2】 如图，小河边有两个村庄 A， B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水(1)若要使厂部到 A， B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到 A， B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析： (1)到 A，B 两点距离相等， 可联想到 “线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作 A

6、B 的垂直平分线，与 EF 的交点即为符合条件的点(2)要使厂部到 A村、B 村的距离之和最短，可联想到 “两点之 间线段最短 ”，作 A(或 B) 点关于 EF 的对称点，连接对称点与 B点，与 EF 的交点即为所求解： (1)如图 1，取线段 AB的中点 G，过中点 G画 AB 的垂线，交 EF 于 P，则 P到 A，B1的距离相等也可分别以 A、 B为圆心，以大于 2AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作 直线，与 EF 的交点 P 即为所求(2)如图 2，画出点 A关于河岸 EF 的对称点 A，连接 AB 交 EF 于 P，则 P到 A，B 的 距离和最短【例 3】 如图，从 A

7、地到 B 地经过一条小河 (河岸平行 )，今欲在河上建一座与两岸垂直 的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？思路导引：MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从 C到 B 应是余下的路程，连接 BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置， MN 即 为所建的桥解： (1)如图 2，过点 A作 AC垂直于河岸，且使 AC等于河宽(2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N.(3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.则 MN 为所建的桥的位置4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短 ( 或三角形两边

8、之和大于第三边 )可知，求距离之和最小问题，就是运 用等量代换的方式， 把几条线段的和想办法转化在一条线段上， 从而解决这个问题， 运用轴对 称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO BOAC 的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法例 4】 (实际应用题 )茅坪民族中学八 (2)班举行文艺晚会， 桌子摆成如图 a所示两直排 (图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计图a解： 如图 b.(1)作 C 点关于 OA 的 对称点 C1，作 D 点

9、关于 OB 的对称点 D1，(2) 连接 C1D1，分别交 OA， OB 于 P，Q，那么小明沿 CPQD 的路线行走，所走的总路程最短5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键 先做出其中一点关于 对称轴的对称点， 然后连接对称点和另一个点， 所得直线与对称轴的交点， 即为所求 根据垂 直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距 离的最值问题的有效方法【例 5】 如图所示， A， B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点 A

10、、B 的距离之差最大分析： 此题的突破点是作点 A（或 B）关于直线 l 的对称点 A （或 B ），作直线 A B（AB ） 与直线 l 交于点 C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决A，所中，解：如图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A关于直线 l 的对称点 A，AB的连线交 l于点 C，则点 C即为所求理由：在直线 l上任找一点 C（异于点 C），连接 CA，C A，C CB.因为点 A，A关于直线 l对称，所以 l 为线段 AA的垂直平分线，则有 CACA 以 CA CBCA CB AB.又因为点 C在 l 上，所以 CA CA.在A BC CACBCACB<AB，所

11、以 CACB<CA CB.点拨： 根据轴对称的性质、 利用三角形的三边关系， 通过比较来说明最值问题是常用的一 种方法三、例题：例 1 、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点 A 沿木块 侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2 ，假设一只蚂蚁在点 A 处， 它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是例 2 、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河 边什么地方可使所用的水管最短。李庄 B张村 AL如图，直线 L同侧有两点 A、B，已知A、B到直线 L的垂直距离分别为 1和

12、3， 两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中 找出点 P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为 1Km 和 3Km ，张村与李庄的水平距离为 3Km ，则所用水管最 短长度为 。 李庄 李庄张村四、练习题（巩固提高）一） 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4 ，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是第1题第2题第3题162、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带 （金丝带的宽度忽

13、 略不计），圆柱体高为 6cm ，底面圆周长为 16cm ，则所缠金丝带长度的最小值 为。3、如图是一个圆柱体木块， 一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点 B 处吃到食 物，知圆柱体的高为 5 cm ，底面圆的周长为 24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径 为。4 、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DCDN MN 的最小值图(3)D图(2)第 4 题 第 5 题 第 6 题第 7 题5、在菱形 ABCD 中， AB=2 ， BAD=60 °，点E是 AB 的中点， P是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 。6、如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90

14、76;，D 是 BC 边的中点， E是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为 _。7、AB 是O 的直径， AB=2 ，OC 是O 的半径， OC AB，点 D 在 AC 上，AD = 2CD ，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD 的最小值为 _。（二） 8、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于M ，交 OB 于 N ，若 CD18cm ，则PMN 的周长为 。9、已知，如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 BC 于 E，且 AC5，BC8，则AEC 的周长为 。10、已知，如图，在ABC 中

15、，AB<AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，11 、如图，在锐角 ABC 中，AB4 2，BAC45°，BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 12、在平面直角坐标系中，有 A（3， 2），B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n），当 n =时，AC + BC 的值最小第 11 题 第 14 题 第 15 题13、ABC 中，C = 90 °，AB = 10 ，AC=6,BC=8, 过 AB 边上一点 P 作 PEAC 于 E，PFBC 于 F，E、F 是垂足，则 EF的最小值等于1

16、4 、如图，菱形 ABCD 中， AB=2, BAD=60 °，点E、 F、 P 分别是 AB 、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为 .15、如图，村庄 A、B位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设 一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？16、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A （2 ，0），B（0，4）1）求该函数的解析式；2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，OB 上一动点，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值时点坐标（三） 16、如图，已知 AOB 内有一点

17、 P，试分别在边 OA 和OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并 说明理由。17、如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知 A（ 0，2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（ 2， 0），请在图 中分别标明 B（5，3）、C（2，5 ）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出 他们的坐标： B、C；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标 平面内任一点 P（a，b ）关于第一、三象限的 角平分线 l 的对称点 P的坐标为运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3）、E（1， 4）， 试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到

18、 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标18、几何模型：条件：如图， A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线 L上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A关于直线l的对称点 A，连结 AB交l于点P，则PA PB AB的值 最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为 2， E为AB的中点， P是AC上一动点连 结BD ，由正方形对称性可知， B与D关于直线 AC对称连结 ED交AC于 P，则 PB PE的最小值是 ；（2）如图 2， O的半径为 2，点 A、B、C 在O上， OA OB， AOC 60°， P是 OB 上一动点，求 PA

19、 PC 的最小值；（3）如图3，AOB=45 °，P是AOB 内一点， PO=10 ，Q、R分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值CA19、问题探究（1）如图，四边形 ABCD 是正方形， 上的一个动点，求 PC PE 的最小值； （2）如图，若四边形 ABCD 是菱形， 的一个动点， P 为 BD上的一个动点，求 问题解决（ 3 ）如图，若四边形 ABCD 边 BCAB10cm，CBABPC图3E 为边 BC 的中点， P为 BDABC 45°，E为边 BC上10cm，PE 的最小值； 是矩形， AB 10cm，BC 20cm， E为20.如图，在直角坐标系

20、中，点 A 的坐标为（ -2 ，0），连结 0A ，将线段 OA 绕原 点O顺时针旋转 120 。，得到线段 OB.（1 ）求点 B 的坐标；（2 ）求经过 A 、 O 、B 三点的抛物线的解析式；（3 ）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 .（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点 B 作 BD x轴于点 D ，由已知可得：OB=OA=2 ， BOD=60 。 . 在ODB=90 。，OBD=30 。OD=1 ， DB= 3Rt OBD 中 ，点B 的坐标是（ 1， 3 ）.2）设所求抛物线的解析式为2ax

21、c ，由已知可得：c0abc4a 2b3c0解得： a3,b 2 3,c330.所求抛物线解析式为 yx23）存在.由y 3x2 2 3 x配方后得：33bx3233抛物线的对称轴为 x=1.也写用顶点坐标公式求出） OB=2 ，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小 .点O 与点 A 关于直线 x=1 对称，有 CO=CA. BOC 的周长 =OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B三点共线，即点 C为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时， BC+CA最小，此时BOC 的周长最小 .设直线 AB 的解析式为 y kx b, 则有2k b 0解得： k 3,b2 3.直线 AB

22、的解析式为 y323 x.33.33当 x= 1 时， y3.所求点 C的坐标为（1，3).3.321 、如图，抛物线y ax2bx c 的顶点 P 的坐标为1，4 3 ，交 x 轴于 A 、 B3两点，交 y 轴于点 C（0， 3） （1）求抛物线的表达式（2）把ABC 绕 AB 的中点 E旋转 180 °，得到四边形ADBC 判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由（3 ）试问在线段 AC 上是否存在一点 F，使得FBD 的周长最小， 若存在，请写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由x解：（1）由题意知解得 a 3 ，b 2 3 3 分33（列出方程组给 1 分，解出给 2 分

23、）抛物线的解析式为 y 3 x2 2 3 x 3 4 分332）设点 A（x1，0），B（x2，0），则 3 x2 2 3 x 3 0，33解得 x1 1， x2 3 5 分OA1，OB3又tan OCB |OB|3|OC|6 分OCB60 °，同理可求OCA 30 °ACB 90 由旋转性质可知 ACBD ，BCAD四边形 ADBC 是平行四边形又ACB 90 °四边形ADBC 是矩形 8 分（3）延长 BC 至 N，使 CN CB 假设存在一点 F，使FBD 的周长最小即 FD FB DB 最小DB 固定长只要 FD+FB 最小又CA BNFD+ FBFD+ FN 当N、F、D 在一条直线上时， FD+FB 最小 10 分1又C为 BN 的中点，F