2016年全国高考新课标1卷文科数学试题

1、2016年全国高考新课标 1卷文科数学试题第I卷、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.设集合 A=1,3,5,7 , B=x|2 买0 5则 AAB=(A. 1,3B.3,5C 5,7) D. 1,72.A. -3B. -2C. 2D. 3设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()3.4.5.A.C-IAABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a则 b=()A. ,2B. .3C. 2D. 5、5,c 2,cosA直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到D. 3l的距离为其短轴长的为美化

2、环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中, 余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是4,则该椭圆的离心率为(D. 31 *6.若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为 647.A . y=2sin(2x+ ) B . y=2sin(2x+ ) C. y=2sin(2x-)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个D. y=2sin(2x )圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是丝一,38.则它的表面积是()A. 17 兀 B. 18 九若 a>b>0, 0<c<1,则(A. l

3、ogac<logbcB.C. 20 几 ) logca<logcbD.28 7tca>cb9.函数y=2x2 |在22的图像大致为(C. )ac<bcD.开始10.执行右面的程序框图，如果输入的 x=0, y=1, n=1, 则输出x, y的值满足（）A. y=2xB. y=3x_C. y=4xD. y=5xn=n+ 111 .平面a过正方体ABCD-AiBiCiDi的顶点A,M/平面 CBiDi, aA平面 ABCD=m,/平面ABBiAi=n ,则m, n所成角的正弦值为（）A.名 B.孝 CD- 1 112 .右函数f（x） x-sin2x asinx在（-

4、76;°,+邓调递增，贝J a的取值氾围是（）3A. -1,1B.-1,1 C.-,1 D. -1,- 333第R卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.13 .设向量 a=（x, x+1）, b=（1, 2）,且 a，b,贝 x=.14 .已知8是第四象限角，且sin（什/）=|，则tan（a/）=.15 .设直线 y=x+2a 与圆 C: x2+y2-2ay-2=0 相交于 A, B 两点，若 AB|=273, 则圆C的面积为

5、。16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料 0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产 一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在 不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和的最大值为 元。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6题，共70分。17 .（本题满分12分）1已知an是公差为3的等差数列，数列bn*两足bi = 1 , b2=- , anbn+i+bn+1=nbn.（

6、I）求an的通项公式；（H）求bn的前n项和.18 .（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点E, 连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（H）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积19 .（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同

7、时购买几 个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数，得下面柱状图：二二二二 T.16° v 港 n ii 百 io 2】更掾的劭损事件数记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若口=19,求y与x的函数解析式；（H）若要求 需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;（田）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购 买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数， 以此作为决策

8、依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20 .(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中，直线l ： y=t(t w砍y轴于点M,交抛物线C: y2=2px(p>0) 于点P, M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(I)求四；(R)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.|ON21 .(本小题满分12分)已知函数 f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2(I)讨论f(x)的单调性； (n)若有两个零点，求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号22 .(本小题满分10分)选修4-

9、1:几何证明选讲如图，AOAB是等腰三角形，/ AOB=120°.以。为圆心，10A为半径作圆.2(I )证明：直线AB与。0相切；(H)点C,D在。上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/CD.23 .(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程x a cost一在直线坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为(t为参数，a>0)。y 1 asint在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：尸4cos6(I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(H)直线C3的极坐标方程为0 =ox,其中 或满足tan如=2,若曲线C1与C2的 公共点都在C3上

10、,求a。24 .(本小题满分10分)，选修45:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+1| -|2x-3|.(I)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像;(H)求不等式| f(x)|>1的解集。2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合 A=1,3,5,7 , B=x|2 买0 5则 AAB=()BA. 1,3 B. 3,5 C. 5,7D. 1,7解：取A, B中共有的元素是3,5,故选B2 .设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()

11、AA. -3B. -2C. 2D. 3解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i,依题 a-2=1+2a,解得 a=-3,故选 A3 .为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中, 余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是D.1,2,3,4来表示，则所有基本事件(34,12),共6个，其中1和4不()CA. -B. -C.-323解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用 有(12,34), (13,24), (14,23), (23,14), (24,13),在同一花坛的事件有4个，其概率为P=-,故选C6 324 . AABC的内角

12、A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a T5,c 2,cosA -,3则 b=( )DA.五B. 33C. 2D. 3解：由余弦定理得：5=4+b 解：由直角三角形的面积关系得 bc=l 4 6.若将函数y=2sin (2x+后)的图像向右平移 ()D-4bX2 ,则3b2-8b-3=0,解得b=3,故选D35 .直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l的距离为其短轴长的1,则该椭圆的离心率为(4A. 1B, 132)BC.D.2bVb2c2 ,解得 e -,故选 B a 21个周期后，所得图像对应的函数为4A . y=2sin(2x+ ) B . y=2sin(2x+ )C.

13、y=2sin(2x- -) D. y=2sin(2x )7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是22 17则它的表面积是（）AA. 17 兀 B. 18 兀 C. 20 兀D. 28 九解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积V 4 R3 7 28-,解得R=2,表面积S 43838.若 a>b>0, 0<c<1，则( )BA. logac<logbcB. logca<logcbC.解：取特值a=1, b=0.5, c=0.5,可排除A22 7+3ac<bcC, D,D. ca>cb故

14、选B9.函数y=2x2 wx|在22的图像大致为（)D解：当0402时，y'=4xwx,函数先减后增，且最小值在（0,0.5）内.y'k=0.5>0,故选D10.执行右面的程序框图，如果输入的 x=0, y=1则输出x, y的值满足（A . y=2xB.C. y=4xD.解：运行程序，循环节内的)C y=3x y=5xn, x, y依次为n=n+ 1开始/ 输入 x,y,n/(1,0,1), (2,0.5,2), (3,1.5,6),输出 x=1.5, y= 6, 故选C11.平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,M平面 CB1D1, an平面 ABCD=m,

15、an平面 ABBiAi=n/输出x,y/n 1x x 2 , y ny否是-x2+y26?则m, n所成角的正弦值为（A,亘2B.巨2)AC 盘3D.结束解：平面A1B1CD1A平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1 n平面CB1D1 = CD1与n平行，所以m, n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ACB1D1是等边三 角形，则所成角是60。，故选A一一112.右函数f（x） x-sin2x asinx在（-°°,+视调递增，则a的取值氾围是（ ）CA. -1,11B- -1，3C. -，31D- -1，3asinx , f '(x)2 .解：Q

16、f(x) x- - sinxcosx32 ,2 2 、1-(cos x sin x) acosx , 3依题f(x) >0恒成立，即acosx>2cos2x31 包成立，而(acosx)min=-|a| ,211 11一一cos2x 1-，|a| 一，解得a -,-,故选 C3333 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.213 .坟向重 a=(x, X+1), b=(1, 2),且二b,则4一.32解：依题x+2(x+1)=0,解得x= 一314 .已知8是第四象限角，且sin(0-)=3,则tan(a-)=. 44543解：依题 "是第

17、一象限角，cos(什-)=4, tan( - -)=- tan(- - 0) 44544_冗底_冗底_冗底_冗冗 4=-tan - -( + - )=- sin-(什-)/cos-(什-)=- cos(什-)/ sin(什-)=-15 .设直线 y=x+2a 与圆 C: x2+y2-2ay-2=0 相交于 A, B 两点，若 AB|=2V3,则圆C的面积为 o 4冗由 d2+3=a2+2,生产一件产品 B需要甲材料 2100元，生产解：圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2,圆心C到直线距离d二1a|解彳3a2=2,所以圆半径为2,则圆面积为4冗16 .某高科技企业生产产品A和产品B需要甲

18、、乙两种新型材料。A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品 0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在 不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和的最大值为元。216000解：设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z= 2100x+900y,约束条件是1.5x 0.5y 150x 0.3y 905x 3y 600x 0, y 03x y 30010x 3y 9005x 3y 600x 0, y 0作出可行域四边形OABC,如图.画出直线I。： 7x+3y

19、 =0,平移l0到l,当I经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+ 3y= 600x解得交点 B(60,100),所以 zmax= 126000+ 90000=216000.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6题，共70分。17 .（本题满分12分）1已知an是公差为3的等差数列，数列bn辆足b1 = 1 , b2=- , anbn+1+bn+1=nbn.（I）求an的通项公式；（H）求bn的前n项和.1解：（I）依题 ab2+b2=b1, b1=1, b2=-,解得 a1=22 分3通项公式为an=2+3（n-1）=3n-1巧分（H ）由（I ）知3nbn+

20、1=nbn, bn+1=1 bn,所以bn是公比为1的等比数列.9分33所以bn的前n项和G 1(3)n3一一2312 3n 1.12 分18 .（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC 内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点E, 连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（H）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积B（I）证明：PDL平面 ABC, a PDXAB. B又 DEL平面 PAB, a DEXAB,.AB，平面 PDE.3 分又PG 平面PDE

21、, ；AB，PG.依题FA=PB,G是AB的中点.6分（H）解：在平面PAB内作EFLPA （或EF/ PB）垂足为F, 则F是点E在平面PAC内的正投影。分理由如下：: PCXFA, PCXPB,. PC,平面 PAB,EF XPC作EFLPA,EFL平面PAC.即F是点E在平面PAC内的正投影。9分 连接CG,依题D是正AABC的重心，.二D在中线CG上，且CD=2DG.易知 DE/ PC, PC=PB=PA= 6, a DE=2, PE=2PG - 372 272 .33则在等腰直角 APEF中，PF=EF= 2,APEF的面积S=2.14所以四面体PDEF的体积V -S DE 。12分

22、3319.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数，得下面柱状图：购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若口=19,求y与x的函数解析式；(H)若要求 需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；(明假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购

23、 买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数， 以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当乂<19时，y=3800;当 x>19 时，y=3800+500(x-19)=500x-5700. 3800 x 19所以y与x的函数解析式为y ,(x N*)3分500x 5700,x 19(H)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46,不大于19为0.7,所以n的最小值为19.£分(m)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800, 20台的费 用为4300, 10台的费用为4800,所以

24、100台机器购买易损零件费用的1八平均数为(3800 汉0+4300 >20+4800 >10)=4000.9 分100若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000, 10台的费用 为4500,所以100台机器购买易损零件费用的1平均数为(4000 溜0+4500 >10)=4050.11 分比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。12分20 .(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中，直线l ： y=t(t w砍y轴于点M,交抛物线C: y2=2px(p>0) 于点P, M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(I)求因；(

25、止)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.|ONt2t2解：(I)依题 M(0, t), P( , t).所以 N(1, t), ON 的万程为 y联立y2=2px,消去x整理得y2=2ty.解得yi=0, y2=2t.所以H(2t,2t).所以N是OH的中点，所以 空 =2。pON(H)直线MH的方程为y t x ,联立y2=2px,消去x整理得y2-4ty+4t2=0. 2t解得yi=y2=2t.即直线MH与C只有一个交点H。所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点。12分21 .(本小题满分12分)已知函数 f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2(I)讨论f(x)的单调

26、性；(n)若有两个零点，求a的取值范围.解：(l)f'(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x R 2分(1)当a冷时，在(-8,1)上，f'(x)<0, f(x)单调递减；在(1,+%上，f'(x)>0, f(x)单调递增。 一小分(2)当 a<0 时，令 f'(x)=0,解得 x =1 或 x=ln(-2a).若a= e , ln(-2a) =1, f'(x)冷恒成立，所以f(x)在(-°°,+ oc)上单调递增。若 a> e , ln(-2a)<1,在(ln(-2

27、a),1)上，f'(x)<0, f(x)单调递减； 2在(q, ln(-2a)与(1,+叫上，f'(x)>0, f(x)单调递增。若 a< |, ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a)上，f'(x)<0, f(x)单调递减；在(-8,1)与(ln(-2a),+%上,f'(x)>0, f(x)单调递增。7分(H) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求。七分(2)当a>0时，由(I )知f(x)在(-%1)上单调递减；在(1,+%上单调递增。最小值 f(1)=-e<0,又 f(2)=

28、a>0,若取 b<0 且 b<lna , eb< a . 22ao o 3从而f(b)>a(b 2) a(b 1)2 a(b2 -b) 0 ,所以f(x)有两个零点.10分 22(3)当a<0时，在(。,1上，f(x)<0包成立；若a> V,由(I)知f(x)在(1,+内 2上单调递增，不存在两个零点。若 a< ，f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减；在 (ln(-2a),+o<)上单调递增，也不存在两个零点。综上a的取值范围是(0,1).短分22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AOAB是等腰三角形，/ AOB=120°.以。为圆心，10A为半径作圆. 2(I )证明：直线AB与。0相切；(H)点C,D在。上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/CD.证明：(1)设£是人8的中点，连接0E,因为0A=0B /AOB=120°.所以 0ELAB, / AOE=60°.小 分在RtMO