连续函数的概念与性质

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容：一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第六节第六节 连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质上页下页铃结束返回首页2一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x

2、x y y )(xfy xx 00 x上页下页铃结束返回首页32. 连续的定义连续的定义上页下页铃结束返回首页40即函数f(x)在点x 连续，必须满足下同时列三个条件：上页下页铃结束返回首页5例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证01lim sin0,xxx因, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 上页下页铃结束返回首页63.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定

3、理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 000lim()()0 xxf xff xx000lim()()0 xxf xff xx说明说明上页下页铃结束返回首页7例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续

4、,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf上页下页铃结束返回首页84.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说或者说函数在该区间上连续函数在该区间上连续.( , ),( ) , .a bxaxbf xa b右如果函数在开区间内连续 并且在端点处连续在端点处连续 则称左函数在闭区间左上连续右连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. ,baC在在闭区间闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作上页下页铃结束返回首页9四则运算的连续

5、性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx上页下页铃结束返回首页10意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例3 3.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解).(lim)()(li

6、m)(lim,)(,)(lim),(000ufafxfxfaufaxxuauxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若设设定理定理2 2上页下页铃结束返回首页11二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf上页

7、下页铃结束返回首页121.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f(00)(00),ff因0.x 故为函数的跳跃间断点oxy上页下页铃结束返回首页132.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果

8、如果xfxxxfxfAxfxxfxx 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x上页下页铃结束返回首页14解解(1)1,f因, 2)01( f, 2)01( f1lim( )2xf x所以),1(f 1.x 所以为函数的可去间断点例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112x

9、y 1xy2 (1)2,f若令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf上页下页铃结束返回首页153.第二类间断点第二类间断点00( ),( ).f xxxf x如果在点处的左、右极限至少有一个不存在则称点为函数的第二类间断点称称0 x若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 ,称称0 x若若其中有一个为其中有一个为,为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .)(0 xf及及)(0 xf上页下页铃结束返回首页16例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f1.x 故为函数的

10、第二类间断点.无穷这种情况为间断点称上页下页铃结束返回首页17例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin 0,x 因在处没有定义.1sinlim0不存在不存在且且xx0.x 故为第二类间断点.这种情况称为的振荡间断点注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.如如 xysin1 上页下页铃结束返回首页18例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a (

11、0),fa因),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a上页下页铃结束返回首页19内容小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;(见下图见下图)第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在上页下页铃结束返回首页20可去型可去型第一类间断点第一类间断

12、点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x上页下页铃结束返回首页21思考题思考题1上页下页铃结束返回首页22思考题思考题1解答解答00lim( )()xxf xf x所以)()()()(000 xfxfxfxf 且且00lim( )()xxf xf x所以 )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.1、一类；一类；二类。、一类；一类；二类。2、上页下页铃结束返回首页23但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连

13、连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续上页下页铃结束返回首页24定理定理3 3 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性注意注意2初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx23(1) ,yxx例如：, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.1,).但函数在

14、区间上连续初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;注意注意1上页下页铃结束返回首页251、最大值和最小值定理定义定义: :0000( ),( )()( ( )()()( )().If xxIxIf xf xf xf xf xf xI对于在区间 上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间 上的最大 小 值例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y四、闭区间上连续函数的性质上页下页

15、铃结束返回首页261、最大值最小值定理、最大值最小值定理即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa上页下页铃结束返回首页27xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 无无最大值和最小值最大值和最小值 无无最大值和最小值最大值和最小值 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.上页下页铃结束返回首页28定理定理4(4(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区

16、间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有( ) , .f xa b故函数在上有界上页下页铃结束返回首页292 2、零点定理和介、零点定理和介值定理值定理.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf b3 2 1 xyo)(xfy ( ),.yf xxx连续曲线弧的两个端点位于 轴的不同侧 则曲线弧与 轴至少有一个交点a几何解释几何解释:上页下页铃结束返回首页30上页下页铃结束返回首页31几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证

17、,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB ( )( )0,ab故由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即( ).fC故.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 上页下页铃结束返回首页32推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf

18、令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理, ,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即32410(0,1).xx 故方程在内至少有一根Mm上页下页铃结束返回首页33例例1212.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即上页下页铃结束返回首页34bxaxxf sin)(证：证：()sin()1 sin()0,f ababaabbaab, 0)0( bf 上连续，上连续，在在ba 0., 0)(babaf 取取若若