第二章 正弦交流电

1、 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变化一次，则此种电流、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。 记做： u(t) = u(t + T ) 第2章 正弦交流电路TutuTt 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电路ti正弦交流电也要规定正方向正弦交流电也要规定正方向, ,表示电压或电流的瞬时方向表示电压或电流的瞬时方向 交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。，然后才能用数字表达式来描

2、述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反实际方向和假设方向相反t ti i正弦交流电的正方向正弦交流电的正方向i iu uR R用小写字母表示用小写字母表示交流瞬时值交流瞬时值设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置 tIi sinmIm2Tit O2.1 正弦量的特征量一 频率与周期周期T：变化一周所需的时间 （s）角频率：fT22（rad/s）Tf1频率f：（Hz）T* 无线通信频率： 30 kHz 3000MHz* 电网频率：我国50 Hz ，美国 、日本60 Hz*

3、 高频炉频率：200 300 kHZ* 中频炉频率：500 8000 Hzit O二 幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有 TtiTI02d1交流直流dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 幅值必须大写,下标加 m。同理：2mUU 2mEE 有效值必须大写 问题与讨论 电器 220V最高耐压 =300V 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。2有效值 U = 220V 最大值 Um = 220V = 311V 电源电压 给出了观察正弦波的起

4、点或参考点。 :三 初相位与相位差t 相位：注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。 反映正弦量变化的进程。it )sin(mtIiO0t)t()sin(1mtUu如：)()(21 tt21 若021电压超前电流两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差 ：uiuitO2m sintIi电流超前电压 9021 90电压与电流同相021 电压滞后电流 021 电压与电流反相18021uituiOuitui90OuituiOtuiuiO 不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无

5、关,仅取决于两者的初相位。注意: ti2i1iO例例1 1幅度：幅度：A707. 021A 1IIm301000sinti已知：已知：Hz159210002rad/s 1000 f频率：频率：30 初相位：初相位：A A21 90 （90 ） 1801i2it2211 sin sin90 tIitIimm90如果相位差为如果相位差为+180 +180 或或-180 -180 , ,称为称为两波形反相两波形反相例例2:2:2.2 正弦量的相量表示法（2）瞬时值表达式)sin(m tUu前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。（1）波形图 .正弦量的表示方法重点必须小写（3）相量UU ut O2.正

6、弦量用旋转有向线段表示)(sinmtUu 设正弦量:若:有向线段长度 = mU有向线段以速度 按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角 = 初相位 1u1tu0 xyOmUut O+j+1Abar 03. 正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:(1) 代数式A=a + jbabarctan22bar复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:racosrbsin(2) 三角式)sinj(cossinjcosrr rA由欧拉公式:2jeesinjj ,2eecosjj (3) 指数式 rAje sinjcosej 可得: )(s

7、inmtUu设正弦量:相量: 表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量rrrjrbaA jesincosj (4) 极坐标式rA 相量表示:相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角UUeU j电压的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:)(sinmtIi？=(2)只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。(3)只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 IU相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角UeUUmjmm 或：IeImjm (5)相量的书写方式 模用最大值表示 ，则用符号：mmI U、(4)相量的两种表示形式 相量图: 把相量表示在复平面的图

8、形 实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、可不画坐标轴IU如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U则或)jsincos(ejUUUU 相量式:+1+jO90je 旋转旋转90因子因子：Bj90sinj90cosej90 “j”的数学意义和物理意义rAje 设相量设相量CA 相量相量 乘乘以以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转90 ，得到得到A 90jeBA相量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转90 ，得到得到C A -j90eAV452220 U？正误判断1.已知：)V45(sin220 tuVe22045m U？有效值)A30(sin24 t

9、？Ae4j30 I3.已知：复数瞬时值j45)A60(sin10ti？最大值V100 U？Ve100j15 U？负号2.已知：A6010 I4.已知：V15100 U波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法tUum sin TmIt iUeUjbaUjUI符号说明瞬时值瞬时值 - - 小写小写u、i有效值有效值 - - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - - 大写大写 + + “. .”U最大值最大值 - - 大写大写+ +下标下标mU1U 202U 452U1U1U2UV)45(sin21102tuV)20(sin22201tuV202201 UV451102 U例2: 已知

10、)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( 例3：图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：)V120(314sin2220BtuV314sin2220Atu )V120(314sin2220Ctu试求uAB ，并画出相量图。NCANB+-+AUBUCUABU解:(

11、1) 用相量法计算： V0220A UV120220B UV120220C U)V30(sin2380AB tu所所以以AUBUCUB-UABU30V120220V0220BAAB UUU V)120(sinj)120(cos220V220AB U)V0.866j0.51(220 V301.73220 V30380 一. 电阻元件。描述消耗电能的性质iRu 根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻SlR 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关，表达式为：表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。0dd00 tRituiWt2t电阻的能量Riu+_2.3 单一参

12、数的正弦交流电路1. 电压与电流的关系设tUusinm大小关系：RUI 相位关系 ：u、i 相位相同根据欧姆定律:iRu tRU2RtURuisinsinmtI2tIsinsinm 频率相同0 iu 相位差 ： IU相量图Riu+_相量式：0II RIUU 02. 功率关系iup(1) 瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写tIU2mmsin)2cos(121mmtIU结论: （耗能元件）,且随时间变化。0ptUutIisin2sin2 pituOtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值 TTtiuTtpTP00d1d1UIttUITT0)dcos2(11大写ttIUTTd)2cos(1211

13、0mm(2) 平均功率(有功功率)PIUP 单位:瓦（W） 2RI P RU2Riu+_pptO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。 描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。1. 物理意义iNiL电感:(H、mH)线性电感: L为常数; 非线性电感: L不为常数二 电感元件电流通过N匝线圈产生(磁链)N 电流通过一匝线圈产生(磁通)ui+-线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。lNSL2(H)lNSL2自感电动势：tiLteLdddd 2. 自感电动势方向的判定(1) 自感电动势的参考方向规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同iu+-eL+-L电感元

14、件的符号S 线圈横截面积（m2）l 线圈长度（m）N 线圈匝数介质的磁导率（H/m）(2) 自感电动势瞬时极性的判别tiLeLdd 0 tiLeLdd i 0 tidd(3) 电感元件储能221LiW tiLeuLdd 根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：20021ddLiiLituiti即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。磁场能)90(sin2 tLI 基本关系式： 频率相同 U =IL 电压超前电流90 90iu相位差3. 电压与电流的关系90tiLeuLdd设：t

15、Iisin2iu+-eL+-LttILud)sind(m)90(sin2tUutuiiO)90(sin2tLIutIisin2LUI LXIU LfLXL2 fLXL2 L IULfLXL2感抗XL是频率的函数LX可得相量式：)(jjLXILIUfLUI 2电感电路复数形式的欧姆定律UI相量图90IU超前)90(sin2tLIutIisin2根据： 0II 9090LIUULIUIU j90 则：LXI ,fO4. 功率关系(1) 瞬时功率0d)(2sind1oo ttUIT1tpTPTT(2) 平均功率)90(sinsinmmttIUuiptUI2sintIUttIU2sin2cossinm

16、mmm)90(sin2tLIutIisin2L是非耗能元件储能p 0分析：瞬时功率 ：uiptUI2sinui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0充电p 0充电p X XC C 时时， 0 ，u u 超前超前 i 呈呈感性感性当当X XL L X XC C时时 ， 0 0 感性感性) )X XL L X XC C由电压三角形可得由电压三角形可得: :cosUURsinUUxURUCLUU XUCUIRU( ( 0 0 容性容性) )X XL L X XC C CULUCLUUU R Rj jX XL L- -j jX XC CRU+ +_ _LU+ +_ _CU+ +_ _U+ +_ _

17、I由相量图可求得: RXXXXRZCLCLarctan)(22ZIXRIXXRIUUUUCLCLR )()(222222 由阻抗三角形：cosZR sinZX URUCLUU XUZRCLXXXt It Uiupsin)(sinmm)t UIcos(2 -UIcos储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率)(sinsinmmt Uut Ii设：RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i cosUIP 所所以以 cos)d(2coscos1d100UIttUIUITtpTPTT 单位: W总电压总电流u 与 i 的夹角cos 称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。单位：varsinUIQ 总电压总

18、电流u 与 i 的夹角根据电压三角形可得：RIIUUIPR2cos电阻消耗的电能)()(2CLCLCLXXIIUUIUIUQ根据电压三角形可得：URU XU电感和电容与电源之间的能量互换 电路中总电压与总电流有效值的乘积。2IZUIS单位：VA 注： SNUN IN 称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。22QPS QPS阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUsincosUUUUXR22QPSsincosSQSPRUUCLUU将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效

19、值同乘I得到功率三角形RCLXX Z例1：已知:)V20314(sin2220 tuF40127mH,30CLR求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，解：40101273143 LXL801040314116- CXC5080)(4030)(2222 CLXXRZ(1)(1)4.4AA50220 ZUI)A73314(sin244ti.-533080-40arctanarctanRXXCL 73,-53iiu所所以以因因为为 (2)(2)V73314(sin2132tuR132V30V4.4 IRUR)V163314(sin2176tuL176VV404.4 LLIXU)V17314(sin2352tuC352V804.4CCIXU53ULUCUCLUUIRU通过计算可看出：通过计算可看出：CLRUUUUCLRUUUU而是而是(3)(3)相量图相量图(4)(4)580.8W)W53(cos4.4220cos UIP或或580.8W2RIIUPR(4)var-774.4)var53(sin4.4220sin UIQ( (电容性电容性) )5350j40)