第3讲 电磁场的边界条件

1、第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件第三讲第三讲电磁场的边界条件电磁场的边界条件第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件三个问题三个问题 问题一问题一：什么是电磁场的边界条件：什么是电磁场的边界条件? ? 问题二问题二：为什么要研究边界条件：为什么要研究边界条件 ? ? 问题三问题三：如何讨论边界条件如何讨论边界条件 ? ?第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件导体球导体球E=0E0q电介质电介质导体球表面：导体球表面： E=？q介质球介质球02( )(0)4rqD rerr 220(0)4( )()4rrqerarE rqearr 实际电磁场问题都是在一定的实际电磁场

2、问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。分界面上电磁场的基本属性。u什么是电磁场的边界条件什么是电磁场的边界条件? ?第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件物理物理：由于在分界面两侧介质的特性参由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界

3、面上失去意义，必形式在分界面上失去意义，必 须采用边界条件。须采用边界条件。数学数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的解是不确定的，边界条件起定解的 作用。作用。ne媒质媒质1媒质媒质2u为什么要研究边界条件为什么要研究边界条件 ? ?第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件SVVSDdd 麦克斯韦方程组的积分形式在麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。界面上的边界条件。l1H2Hne媒质媒质1媒质媒质

4、2NhStDJlHCSd)(d1D2Dne媒质媒质1媒质媒质2SShPu如何研究边界条件如何研究边界条件 ? ?第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件一、边界条件的一般表达式一、边界条件的一般表达式SVSCSCSVSDSBStBlEStDJlHdd0dddd)(dn12()SeDDn12()0eBBn12()0eEE 分界面上的传导面电流密度分界面上的传导面电流密度ne媒质媒质1媒质媒质21H1B1E1D、 、 、2H2B2E2D、 、 、 问题：问题：什么情况下分界面上有什么情况下分界面上有JS 和和 ？S 分界面上的自由电荷面密度分界面上的自由电荷面密度n12()SeHHJ1 1、

5、边界条件一般形式、边界条件一般形式第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件一、边界条件的一般表达式一、边界条件的一般表达式2 2、边界条件的推证、边界条件的推证电磁场量的法向边界条件电磁场量的法向边界条件令令h 0，由，由S1D2Dne媒质媒质1媒质媒质2hPS12n()SDDeSS即即n12()SeDDn12()0eBB1n2nBB或或1n2nSDD或或同理同理 ，由，由d0SBSddSVDS Vn12()SeDD推证出发点：推证出发点：ddSVDS V 在两种媒质的交界面上任取一点在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点作一个包围点P 的扁平圆柱曲面的扁平圆柱曲面S。第三讲第三讲

6、 电磁场的边界条件电磁场的边界条件一、边界条件的一般表达式一、边界条件的一般表达式2 2、边界条件的推证、边界条件的推证电磁场量的切向边界条件电磁场量的切向边界条件 由由推证出发点：推证出发点：n12()SeHHJd() dCSDHlJSt 在介质分界面两侧，选取如图所示在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令的小环路，令h 0，则，则l1H2Hne媒质媒质1媒质媒质2Nhd() dCSDHlJSt12()SHHlJN l n12()SeHHJn12()eHHN l1212n()() ()HHlHHNel 1t2tSHHJ或或n12()0eEE同理得同理得1t2tEE或或第三讲第三讲 电磁场

7、的边界条件电磁场的边界条件一、边界条件的一般表达式一、边界条件的一般表达式3 3、麦克斯韦方程组与边界条件的对比、麦克斯韦方程组与边界条件的对比n12()SeDDn12()0eBBn12()0eEEn12()SeHHJBEt DHJt0BD第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件二、两种特殊媒质的边界条件二、两种特殊媒质的边界条件1 1、两种理想介质分界面上的边界条件、两种理想介质分界面上的边界条件两种理想介质分界面上，无电荷和电流分布，即两种理想介质分界面上，无电荷和电流分布，即JS =0、S =0，故，故12ttHH12()0nHH12()0nEE12ttEE120B nB n21n

8、nBB12()0DDn12nnDD 、 的切向分量连续的切向分量连续EH 、 的法向分量连续的法向分量连续DBne媒质媒质1媒质媒质2EHne媒质媒质1媒质媒质2DB 的法向分量连续的法向分量连续D 的法向分量连续的法向分量连续B 的切向分量连续的切向分量连续E 的切向分量连续的切向分量连续H第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件二、两种特殊媒质的边界条件二、两种特殊媒质的边界条件2 2、理想导体表上的边界条件、理想导体表上的边界条件nnnn00SSeDeBeEeHJ理想导体理想导体：电导率为无限大的导电媒质电导率为无限大的导电媒质特点特点：电磁场不可能进入理想导体内电磁场不可能进入理

9、想导体内理想导体理想导体ESJB理想导体表面上的电荷密度等于理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量的法向分量D磁感应强度平行于导体表面磁感应强度平行于导体表面电场强度垂直于理想导体表面电场强度垂直于理想导体表面理想导体表面上的电流密度等于理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量的切向分量H边界条件边界条件: 第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件三、几种常见边界条件三、几种常见边界条件1 1、静电场的边界条件、静电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Enen12()0eEE1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED 一般形式一般形式 场矢量的

10、折射关系场矢量的折射关系 两种电介质分界面两种电介质分界面n12()SeDDn12()0eEEn12()0eDD 导体与电介质分界面导体与电介质分界面n10eEn1SeD第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件三、几种常见边界条件三、几种常见边界条件2 2、恒定电场的边界条件、恒定电场的边界条件d0CEld0SJSn12()0eJJn12()0eEE212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE场矢量的边界条件场矢量的边界条件场矢量的折射关系场矢量的折射关系1212n12n12n1212()()()SeDDeJJJ导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度媒

11、质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件三、几种常见边界条件三、几种常见边界条件3 3、恒定磁场的边界条件、恒定磁场的边界条件n12()SeHHJ1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/HHBHHB一般形式一般形式场矢量的折射关系场矢量的折射关系两种磁介质分界面两种磁介质分界面n12()0eBBn12()0eHHn12()0eBB媒质媒质2 2媒质媒质1 121212H1Hne第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件【例例1】 电介质透镜可以用来使电场平直化。如电介质透镜可以用来使电场平直化。如图所示电介质透镜左侧表面为圆

12、柱面，右侧表面图所示电介质透镜左侧表面为圆柱面，右侧表面为平面。若区域为平面。若区域1中点中点P(r,45,z）处电场为）处电场为153Eee为了使区域为了使区域3中的电场中的电场 与与x轴平行，则透镜电介轴平行，则透镜电介质相对介电常数应为多少？质相对介电常数应为多少？3E【解解】由边界条件，若由边界条件，若 平行于平行于x轴，则轴，则 也必平行于也必平行于x轴。轴。3E2E 在在左侧左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：圆柱面分界面上，由电场边界条件：12ttEE12nnDD12EE1122EE23E 225rE 要使合成波要使合成波 平行于平行于x x轴，则必有轴，则必有2E22EE253

13、r253r第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件【例例2】 z 0 区域的媒质参数为区域的媒质参数为 。若媒质。若媒质1中的电中的电场强度为场强度为101010、202025200、881( , )60cos(15 105 )20cos(15 105 )V/mxE z tetztz82( , )cos(15 1050 ) V/mxEz te Atz媒质媒质2中的电场强度为中的电场强度为（1）试确定常数）试确定常数A的值的值;（2）求磁场强度）求磁场强度 和和 ； （3 3）验证）验证 和和 满足边界条件。满足边界条件。),(1tzH),(2tzH),(1tzH),(2tzH【解解】（1

14、）这是两种电介质的分界面，在分界面这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有处，有881(0, )60cos(15 10 )20cos(15 10 )xEtett880cos(15 10 )V/mxet82(0, )cos(15 10 )V/mxEte At80 V/mA 由边界条件由边界条件12(0, )(0, )EtEt第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件1111111xyEHEetz 8801300sin(15 105 )100sin(15 105 )yetztz 78781012( , )2 10cos(15 105 )10cos(15 105 )A/m3yH z t

15、etztz将上式对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得 （2）由）由 ，有，有111HEt 78204( , )10cos(15 105 )A/m3yHz tetz222HEt 同样，由同样，由 ，得，得第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件780410cos(15 10 )A/m3yet78204(0, )10cos(15 10 )A/m3yHtet可见，在可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（面上（z = 0）不存在面电流）不存在面电流 。 （3）z = 0 时时78781012(0, )2 10cos(1

16、5 10 )10cos(15 10 )3yHtett第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件试问关于试问关于1区中的区中的 和和 能求得出吗？能求得出吗？1E1D【解解】根据边界条件，只能求得边界面根据边界条件，只能求得边界面z = 0 处的处的 和和 。1D1E由由 ，有，有0)(21nEEe11101125(3)(2 )(5 )0zxxyyzzxyzzyxxyee Ee Ee EeyexezeEye Ex1区区2区区xyz电介质与自由空间的电介质与自由空间的分界面分界面O105 【例例 3】如图所示，如图所示，1区的媒质参数为区的媒质参数为 、 、 2区的媒质参数为区的媒质参数为 。

17、若已知自由空间的电。若已知自由空间的电场强度为场强度为202020、10,10112 ,5xyEy ExxEDyEDyyxx0111011125,10V/m)3(522zezeyeEzyx第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件又由又由 ，有，有n12()0eDD0(0222111zzzyyxxzzyyxxzDeDeDeDeDeDee则得则得1020000(3)3zzzzzDDz53530001101zzzzDE最后得到最后得到5352)0 ,(1zyxexeyeyxE000132510)0,(zyxexeyeyxD第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件0sin()cos() V

18、/myxEe Eztk xdtHE0【解解】（1）由）由 , 有有00cos()cos()sin()sin()xxzxxEeztk xe kztk xdddHSJ试求试求: :（1）磁场强度磁场强度 ；（2）导体表面的电流密度）导体表面的电流密度 。 【例例4】在两导体平板（在两导体平板（z = 0 和和 z = d）之间的空气中，已知）之间的空气中，已知电场强度电场强度)(1100 xEezEeEtHyzyxzxydO第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件将上式对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得000sin()(A/m)SzyxzEJeHetk xd00()sin()(A/m)

19、Szyxz dEJeHetk xd （2） z = 0 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为0000()()dcos()sin()sin()cos() (A/m)xxxzxH x,z,tH x,z,tttEeztk xddk Eeztk xdz = d 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为zxydneO第三讲第三讲 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 【例例5】有一个平行板电容器，极板的面积为有一个平行板电容器，极板的面积为S，上下极板相，上下极板相距为距为d 且分别带电且分别带电q，极板之间的下半部份充满介电常数为，极板之间的下半部份充满介电常数为 的介质。如忽略边缘效应，求的