第二章2电阻电路的一般分析

1、 重点：重点：支路电流法支路电流法 网孔电流法网孔电流法 回路电流法回路电流法 节点电压法节点电压法目的目的：找出求解线性电路的：找出求解线性电路的一般分析方法一般分析方法 。对象对象：含独立源、受控源的：含独立源、受控源的电阻网络电阻网络的直流稳态解。的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中）可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用应用：主要用于复杂的线性电路的求解。：主要用于复杂的线性电路的求解。 复杂电路的分析法就是根据复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分流关系列方程、解方程。根据列方程时

2、所选变量的不同可分为为支路电流法、支路电流法、网孔电流法网孔电流法、回路电流法、回路电流法和和节点电压法。节点电压法。元件特性元件特性(约束约束)(对电阻电路，即欧姆定律对电阻电路，即欧姆定律)电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律定律相互独相互独立立基础基础：抽象抽象13245线图线图+-自环自环uS SR R1 1R R2 2C CL L1 13 34 45 52 2+-R2+-usR1L1L2M例：例：2. 2. 有向图和无向图有向图和无向图 对电路的图的每一支路指定一个方向（此即该支路电流对电路的图的每一支路指定一个方向（此即该支路电流的参考方向的参考方向,电压取其关联参考方向

3、），即为电压取其关联参考方向），即为有向图有向图。没有。没有给支路赋以方向的即为给支路赋以方向的即为无向图无向图。R R1 1R R2 2C CL L1 13 34 45 52 2i2i4i5542iii +-us13245有向图有向图1654321234对结点对结点1、2、3、4列列KCL方程有：方程有： i1 - i4 i6= 0 -i1 i2 + i3 = 0 i2 + i5 + i6 = 0 -i3 +i4 i5 = 0 上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即只有三个是相互独立的。此结论对只有三个是相互独立的。此结论对n

4、个节点的电路同样适用。个节点的电路同样适用。即对即对n个节点的电路的图，能且只能列出（个节点的电路的图，能且只能列出（n-1）个个KCL独立方独立方程，这些独立方程对应的节点称为独立节点程，这些独立方程对应的节点称为独立节点。1 1KCLKCL的独立方程数的独立方程数（1）路径路径 从从G的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列的某一节点出发到达另一指定的节点的一系列支路构成了支路构成了G的路径。的路径。2 2KVLKVL的独立方程数的独立方程数（2）连通图连通图 当图当图G的任意两个节点之间至少存在一条路径时，的任意两个节点之间至少存在一条路径时，G就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分

5、。就称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。（3）闭合路径闭合路径 如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一如果一条路径的起点和终点重合，这就构成了一条闭合路径。条闭合路径。（4）回路回路 当闭合路径所经过的节点都是不同的时，则这条闭合当闭合路径所经过的节点都是不同的时，则这条闭合路径就构成了图路径就构成了图G的一个回路。的一个回路。（5）树（树（Tree）一个连通图一个连通图G的一个树的一个树T是指是指G的一个连通子图，的一个连通子图，它包含它包含G的全部节点但不包含回路。的全部节点但不包含回路。（6）树支和连支树支和连支 对一个连通图对一个连通图G，当确定它的一个树当确定它的一个树T后

6、，凡是后，凡是G的支路属于这个树的支路属于这个树T的，就称为的，就称为G的树支；不属于这个树的树支；不属于这个树T的支的支路，就称为路，就称为G的连支。的连支。n个节点个节点b条支路的图条支路的图G的任一个树的树支的任一个树的树支数为（数为（n-1），），连支数为连支数为b-(n-1)=b-n+1。树树图图（7）单连支回路（或基本回路）单连支回路（或基本回路） 任一个树，每加进一个连支任一个树，每加进一个连支便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组均为树支。这样的回路称为单

7、连支回路或基本回路，显然这组回路是独立的。回路是独立的。（8）独立回路数独立回路数 对一个节点数为对一个节点数为n，支路数为支路数为b的连通图，其的连通图，其独立回路数为独立回路数为l=b-n+1。KVL的独立方程数的独立方程数 = 回路的独立回路回路的独立回路数。数。（9）平面图平面图 一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交一个图若它的各条支路除所联接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。叉，这样的图称为平面图。（10）网孔网孔 平面图的一个网孔是它的一个自然的平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔孔”，它所，它所限定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔数即为其独立回限定的区域内不再有支路

8、。平面图的全部网孔数即为其独立回路数。路数。(branch current method )一一, 出发点：以支路电流为电路变量。出发点：以支路电流为电路变量。对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的条支路的电路，要求解支路电流和电压，电路，要求解支路电流和电压，未知量共有未知量共有2b个。只要列出个。只要列出2b个个独立的电路方程，便可以求解这独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。个变量。举例说明：举例说明：R6uSR1R2R3R4R5+i2i3i4i1i5i61234b=6n=4独立方程数应为独立方程数应为2b=12个。个。支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电以各

9、支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。路的方法。(1) 标定各支路电流、电压的标定各支路电流、电压的参考方向参考方向u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3，u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 = uS+R6i6(b=6，6个方程，关联参考方向个方程，关联参考方向)(2) 对节点，根据对节点，根据KCL列方程列方程 i1 + i2 i6 =0(2)式式(2)中的中的4个方程不是独立的，任个方程不是独立的，任取其中取其中3个方程都是独立的，所以，个方程都是独立的，所以，独立方程数为独立方程数为n1=41=3个。个。(出为正，进为负出为正，进为负) i2 + i3

10、+ i4 =0 i4 i5 + i6 =0 i1 i3 + i5 =0i61u6R6uSR1R2R3R4R5+i2i3i4i1i5234(1)(3) 选定图示的选定图示的3个回路，由个回路，由KVL，列写关于支路电压的方程。列写关于支路电压的方程。回路回路1：u1 + u2 + u3 = 0回路回路2：u3 + u4 u5 = 0回路回路3： u1 + u5 + u6 = 0(3)可以检验，式可以检验，式(3)的的3个方程是独个方程是独立的，即所选的回路是独立的。立的，即所选的回路是独立的。独立回路独立回路：独立方程所对应的回路。：独立方程所对应的回路。32R1R2R3R4R5R6+i2i3i

11、4i1i5i6uS1234u61 i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0KCLKVL综合式综合式(1)、(2)和和(3)，便得到所需的，便得到所需的2b个独立方程。将式个独立方程。将式(1)的的6个支路方个支路方程代入式程代入式(3)，消去，消去6个支路电压，便个支路电压，便得到关于支路电流的方程如下：得到关于支路电流的方程如下：回路回路1：u1 + u2 + u3 = 0回路回路2：u3 +

12、u4 u5 = 0回路回路3： u1 + u5 + u6 = 0(3)3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS123412u6二二,2,2b b法法 对于一个具有对于一个具有n个节点个节点和和b 条支路条支路的电路，按的电路，按KCL可以列出可以列出（n-1）个独立的支路电流方程，按个独立的支路电流方程，按KVL可列出可列出（b-n+1）个独立的个独立的支路电压方程，这样只有支路电压方程，这样只有b个方程，按个方程，按支路内容支路内容又可列出又可列出b个支路方个支路方程，所以程，所以共可列出共可列出2b个方程个方程。电路变量为。电路变量为b个支路电流和个支路电流和b个支路电个支

13、路电压，也是压，也是2b个。此法即为个。此法即为2b法法三三, 支路法的一般步骤支路法的一般步骤(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2) 选定选定(n1)个节点个节点，列写其，列写其KCL方程；方程；(3) 选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程； (元件特性代入元件特性代入)(4) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。四四, 支路法的特点：支路法的特点：支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的支路电流法是最基本的方法

14、，在方程数目不多的情况下可以使用。由于支路法要同时列写情况下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和和KVL方程，方程， 所以方程数较多，且规律性不强所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的相对于后面的方法方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。解解列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23方程列写分两步：方程列写分两步：(1) 先将受控源看作独立源先将受控源看作独立源列方程；列方程；(2) 将控制量用未知量表示，将

15、控制量用未知量表示，并代入并代入(1)中所列的方程，中所列的方程，消去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：- -i1- - i2+ i3 + i4=0 (1)- -i3- - i4+ i5 - - i4=0 (2)例例.KVL方程：方程：R1i1- - R2i2= uS (3)R2i2+ R3i3 + +R5i5= 0 (4)R3i3- - R4i4= u2 (5)R5i5= u (6)1i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uc24i4R4+R5 u2+u23补充方程：补充方程：i6= i1 (7)u2= R2i2 (8)另一方法：去掉方程另一方法：去掉方程(6)。是以网孔电

16、流作为电路的独立变量是以网孔电流作为电路的独立变量uS1i1i3uS2R1R2R3ba+uS3-+i2im2im1abim2im1KCL: -i1+i2+i3=0网孔列网孔列KVL: u1+u2=0 -u2+u3=0各支路列各支路列VCR: u1=-uS1+R1 i1 = -us1+R1im1 u2= R2 i2 +uS2= R2(im1 - im2 )+us2 u3= R3 i3 +uS3= R3 im2+us3整理得整理得:(R1+R2) im1 R2 im2 = us1- uS2-R2im1 + (R2+R3) im2 = uS2-us3 即即: R11im1+ R12 im2 = us

17、11 R21im1 + R22im2 = uS22R11=R1+R2 代表网孔代表网孔1的的自阻自阻，为网孔，为网孔1所有电阻之和。所有电阻之和。R22=R2+R3 代表网孔代表网孔2的的自阻自阻，为网孔，为网孔2所有电阻之和。所有电阻之和。自阻总是正的自阻总是正的R12=R=R2121=R=R2 2 代表网孔代表网孔1 1和网孔和网孔2 2的的互阻互阻，为网孔，为网孔1 1、2 2的公共电阻。的公共电阻。当两网孔电流通过公共电阻的参考当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相同方向相同时，互阻为时，互阻为正正；当两网孔电流通过公共电阻的参考当两网孔电流通过公共电阻的参考方向相反方向相反时，互阻为时

18、，互阻为负负；当两网孔电流间没有公共电阻时，互阻为零。当两网孔电流间没有公共电阻时，互阻为零。如果网孔电流的方向均为顺时针，则互阻总为负。如果网孔电流的方向均为顺时针，则互阻总为负。u uS11S11=u=uS1S1-u-uS2S2 为网孔为网孔1 1的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流的总电压源电压，各电压源电压与网孔电流一致时，前取负号，反之取正号一致时，前取负号，反之取正号。u uS22S22=u=uS2S2-u-uS3S3 为网孔为网孔2 2的总电压源电压。的总电压源电压。推广推广:R11im1+ R12 im2 + R13 im3 +- - - + R1mimm= us11R21i

19、m1+ R22im2 + R23 im3 + - - - + R2mimm = uS22 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Rm1im1+ Rm2im2 + Rm3 im3 + - - - + Rmmimm = uSmm举例举例:用网孔法求各支路电流。用网孔法求各支路电流。解：解：(1) 设选网孔电流设选网孔电流(顺时针顺时针)(2) 列列 网孔电流网孔电流 方程方程(R1+R2)I1 - -R2I2 = US1- - US2 - -R2I1+ (R2+R3)I2 - - R3I3 = US2 - -R3I2+ (R3+R4)I3=

20、- -US4I1I3I2+_US2+_US1IaIbIcR1R2R3+_ US4R4Id即即: 80I1 - 20I2 =40 -20 I1+ 60I2 - - 40I3 =10 - -40I2+ 80I3= 4040 (3) 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 I1=0.786, I2=1.143 , I3=1.071(4) 求各支路电流：求各支路电流： Ia=I1 , Ib=I2- -I1, Ic=I2- -I3 , Id=- -I3(5) 校核：选一新回路。校核：选一新回路。60Ia-40Id=50+40 即即90=90(loop current method)是以一组独立回路电流

21、为电路变量求解电路的一种方法。是以一组独立回路电流为电路变量求解电路的一种方法。对于一个具有对于一个具有n n个节点，个节点，b b条支路的电路，则条支路的电路，则回路电流数回路电流数L L= =b-n+1b-n+1。故对故对L L个基本回路列个基本回路列KVLKVL方程，并利用支路方程（方程，并利用支路方程（VCRVCR）把所有把所有KVLKVL方程通过回路电流来表达，就可获得与网孔法类似的回路电流方方程通过回路电流来表达，就可获得与网孔法类似的回路电流方程。其一般式如下：程。其一般式如下： R11i11 +R12 i12 +R1L i1L= uS11 R21 i11 +R22i12 +R2

22、L i1L= uS22 RL1 i11 +RL2i12 +RLL i1L= uSLL 回路法回路法: :式中，关于自阻、互阻、电压源的讨论同网孔法。式中，关于自阻、互阻、电压源的讨论同网孔法。回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1) 选定选定l=b- -(n- -1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2) 对对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写个独立回路，以回路电流为未知量，列写其其KVL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5) 其它分析。其它分析。(4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)

23、；例例1.用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解：解：(1) 设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2) 列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia - -R2Ib = US1- - US2 - -R2Ia + (R2+R3)Ib - - R3Ic = US2 - -R3Ib + (R3+R4)Ic = - -US4对称阵，且对称阵，且互电阻为负互电阻为负(3) 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic(4) 求各支路电流：求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib- -Ia , I3=Ic- -Ib , I4=- -Ic(5) 校核：校核：选一新回路。

24、选一新回路。IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4 将看将看VCVSVCVS作独立源建立方程；作独立源建立方程； 找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。校核校核: :4Ia- -3Ib=2- -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2- -Ib+3Ic=3U2 4Ia- -3Ib=2- -12Ia+15Ib- -Ic=09Ia- -10Ib+3Ic=0U2=3(Ib- -Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=- -0.51A1 I1+2I3+2I5=2.01( UR 降降= E升升 )例例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回

25、路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：将代入，得将代入，得各支路电流为：各支路电流为：I1= Ia=1.19A, I2= Ia- - Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A,I4= Ib- - Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.解得解得* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。例例3. 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法方法1： 引入电流源电压为变量，增加回路电流和引入电流源电压为变量，增加回路电流

26、和 电流源电流的关系方程。电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui- -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2- -R4I2+(R3+R4)I3=- -UiIS=I1- -I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路, 该回路电流即该回路电流即 IS 。I1=IS- -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=- -US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2

27、R1R2R5R3R4IS_+Ui+I3(1) 对对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：IRIS+_RISIR转换转换(2) 对含有受控电流源支路的电路，可先对含有受控电流源支路的电路，可先将受控源看将受控源看着独立源着独立源按上述方法列方程，再将控制量用回路按上述方法列方程，再将控制量用回路电流（或网孔电流）表示。电流（或网孔电流）表示。 说明：说明：3-4 结点电压法结点电压法 (node voltage method)选某一节点为参考节点，其它节点与此节点的参考电选某一节点为参考节点，其它节点与此节点的参考电压称压称节点电压节点电压。节点法或节点

28、电压法是以节点电压为独立变量列电路节点法或节点电压法是以节点电压为独立变量列电路方程求解电路的一种方法。方程求解电路的一种方法。1.1.节点法节点法节点电压法的独立方程数为节点电压法的独立方程数为(n- -1)个。与支路电流法个。与支路电流法相比，相比，方程数可减少方程数可减少b- -( n- -1)个个。举例说明：举例说明： (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+i2+i3+i4=iS1- -iS2+iS3- -i3- -i4+i5=- -iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1) 选定参考节点，标明其余选定参考节点，标明其余

29、n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：S3S2S14n2n13n2n12n21n1iiiRuuRuuRuRuS35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu 整理，得整理，得S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRRS32n543n143 )111()11(iuRRRuRR 令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2 = iSn1G11un1+G12un2 = iSn1标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程。其中其中G11=G1+G2+G3+G4节点节点1的自电导，等于接

30、在节点的自电导，等于接在节点1上上所有支路的电导之和。所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节点节点2的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点2上所上所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12= G21 =-(-(G3+G4)节点节点1与节点与节点2之间的互电导，等之间的互电导，等于接在节点于接在节点1与节点与节点2之间的所有之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。iSn1=iS1- -iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=- -iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。* 自电

31、导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。* 电流源支路电导为零。电流源支路电导为零。* 流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R40121n11Rui 2n22Rui 3n2n13Ruui 4n2n14Ruui 5n25Rui un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+- -若电路中含电压源与若电路中含电压

32、源与电阻串联的支路：电阻串联的支路：S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu S3S24n2n13n2n12n21S1n1iiRuuRuuRuRuu整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得得(G1+G2+G3+G4)un1- -(G3+G4) un2 = G1 uS1 - -iS2+iS3- -(G3+G4) un1 + (G1+G2+G3+G4)un2= - -iS3等效电流源等效电流源一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+

33、Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1其中其中Gii 自电导，自电导，等于接在节点等于接在节点i上所有支路的电导之上所有支路的电导之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。 * 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。阵。且有些结论也将不再成立。iSni 流入节点流入节点i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和(包括包括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij = Gji互电导，互电导，等于接在节点等于接在节点i与节点与节点j之间的所之间

34、的所支路的电导之和，并冠以支路的电导之和，并冠以负负号。号。结点电压方程的推导过程结点电压方程的推导过程( (2 2个结点个结点) )V0 bV设：设：111RIEU111RUEI各支路电流分别为各支路电流分别为 ：111RUEI222RUEI33RUI 321IIIIS S对对a a 结点列电流方程：结点列电流方程：baE2+-I2ISI3E1+-I1R1R2R3U+E1+-I1R1U+则有：则有：3211RUIRUERUES S2 2整理：整理：0321211)RURURU(IRERES S2 23212211111RRRIREREUS SRIREUS1一般表达式：一般表达式：（弥尔曼定理）（弥尔曼定理） (2(2个结点个结点) )节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1) 选定参考节点，标定选定参考节点，标定n- -1个独立节点；个独立节点；(2) 对对n- -1个独立节点，以节点电压为未知量，个独立节点，以节点电压为未知量，列写其列写其KCL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n- -1个节点电压；个节点电压；(5) 其它分析。其它分析。(4) 求各支路电流求各支路电流(用用节点电压节点电压表示表示