第十五章薄板的振动问题(徐芝纶第四版)

1、第十五章 薄板的振动问题第一节 薄板的自由振动第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动 第五节 用差分法求自然频率 第六节 用能量法求自然频率第七节 薄板的受迫振动第五章 薄板的振动问题第一节 薄板的自由振动 关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程实际中的重要问题。 薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由振动。 单自由度振动的例子 薄板自由振动的一般问题：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这

2、一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。 (1)试求薄板振动的频率，特别是最低频率。 (2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。 当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度，就易求得薄板在该瞬时的内力。 设薄板在平衡位置的挠度为wewe(x，y)，这时，薄板所受的横向静荷为qq(x，y)。按照薄板的弹性曲面微分方程，我们有： 设薄板在振动过程中的任一瞬时t的挠度为wewe(x，y)，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力qi成平衡，即注意薄板的加速度是 qwDe4i4qqwDt2twt22twmqt2i其中m为薄板每单位面积内的

3、质量(包括薄板本身的质量和随薄板振动的质量)，则前式可以改写为因而每单位面积上的惯性力22i4twmqqqwDtt22e4)(twmwwDtt将上式与下式相减得到 qwDe4由于we不随时间改变，所以上式可以改写成为 在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板在任一瞬时的挠度为wwtwe，而上式成为 这就是薄板自由振动的微分方程。 )()(e22e4wwtmwwDtt224twmwD现在来试求微分方程的如下形式的解答 在这里，薄板上每一点(x，y)的挠度，被表示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是k ，另一方面，薄板在每一瞬时t

4、的挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数Wk(x，y)表示的。 11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww 为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之相应的频率k，我们取 代入自由振动微分方程),()sincos(yxWtBtAw224twmwD然后消去因子(Acost十Bsint)，得出所谓振形微分方程024WDmW求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。 实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命如果可以由这一微分方程求得W的满足

5、边界条件的非零解，即可由相应的关系式(对任意的一点(x,y)都成立）WWmD4242Dm则振形微分方程简化为常系数微分方程024WDmW044WW现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用式42Dm求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为Wk及k，代入表达式11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am及Bm 。 设初始条件为 则由上式得 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt),(),(),(),(0101yxvyxWByxwyxWAkkkkkkk 于是可见，为了求得A

6、m及Bm，须将已知的初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数，这在数学处理上是比较困难的。 因此，只有在特殊简单的情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形的振形函数及相应的频率。但是，这也就可以解决工程上的主要问题了。 第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 其中k及n为整数，可以满足边界条件。代入振形微分方程bynaxkWsinsin044WW得到0sinsin4222224bynaxkbnak 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任

7、意值时都能满足，必须有 04222224bnak2222244bnak得到得出求自然频率的公式 mDbnakmD22222442命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率 当薄板以这一频率振动时，振形函数为 而薄板的挠度为 bynaxkWknsinsinmDbnak22222bynaxktBtAwknknknknsinsin)sincos(当kn1时，得到薄板的最低自然频率 mDbamDbnak22222222min11与此相应，薄板振动的振形函数为 而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最大挠度发生在薄板的中央(xa2，yb2)。byaxWsinsin11当k2而n1时，自

8、然频率为 相应的振形函数为 薄板在x方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个正弦半波。对称轴xa2是一根节线(挠度为零的线，亦即在薄板振动时保持静止的线）。振形如图所示，图中的有阴线部分及空白部分表示相反方向的挠度。 mDba2222114byaxWsin2sin21xy薄板的总挠度为bynaxktBtAwknknknknknsinsin)sincos(11 为了求得Am及Bm，须将已知的初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数yxbynaxkvabDyxbynaxkwabCbynaxkDvbynaxkCwabknabknknknknknddsinsin4ddsinsin4sinsinsinsin0

9、00000110110 根据初始条件为 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt可得 knknknknknDBCAbynaxktDtCwknknknknknknsinsin)sincos(11 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答。第三节 两对边简支的矩形薄板的 自由振动 其中Yk是待定的y的函数。W可以满足该两简支边的边界条件。将其代入振形微分方程取振形函数为 axkYWksin044WW得出常微分方程 0dd2dd24442222244kkkYakyYakyYxy它的特征方程是在大多数的情况下，2k22/a2，而上面所示的四个根是两实两虚，取正实数 而这个

10、代数方程的四个根是 02244422224akrakr22222222akak22222222222222akDmakakDmakDm上述四个根成为及i，而微分方程的解可写为yCyCyCyCYksincosshch4321从而得振形函数的表达式 axkyCyCyCyCWsin)sincosshch(4321 在少数的情况下，2k22/a2)，得到Cl至C4的齐次线性方程组，00)(00)(0220bybyyyywwyww0cossinchsh0chsinchcosshch004321432121221bCbCbCbCbCbbCbbCbCCCC上列方程可以改写为 命这一方程组的系数行列式等于零，

11、展开以后，进行一些简化，最后可得出 0ththbbbb0/th/th2222222222222222ambambambamb求得2的实根，即可求得自然频率 mD2 用如上方法求得的最低自然频率，可以表示成为依赖于边长比值ab算得的系数k值，并以表来表示。 这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。因此，在工程实践中计算矩形板的自振频率，特别是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差分法或能量法。 第四节 圆形薄板的自由振动 对于圆形薄板的自由振动，也可以与上相同地进行分析。在极坐标中，薄板的自由振动的微分方程仍然是 现在，仍然把微分方程的解答取为无数多简谐振

12、动的叠加224twmwD11),()sincos(kkkkkkkkrWtBtAww 为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之相应的频率k，我们取 ),()sincos(rWtBtAw 代入自由振动微分方程224twmwD024WDmW仍然得出振形微分方程 可以改写为 044WW或0)(2222W011222222Wrrrr或取振形函数为如下的形式： nrFWcos)(其中n=0，1，2，。相应于n0，振形是轴对称的。相应于n1, 2；圆板的环向围线将分别具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根或两根径向节线，余类推。将上式代入式 011222222Wrrrr得常微分方程 0dd1dd2222

13、FrnrFrrF或引用无因次的变量xr 而得 这一微分方程的解答是 0dddd22222FnxxFxxFx)()()()(4321xKCxICxNCxJCFnnnn其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修正贝塞尔函数）。贝塞尔函数将上式代入如果薄板具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件。利用这四个边界条件，可得出的一组Cl至C4四个齐次线性方程。命这一方程组的系数行列式等于零，可以得出计算频率的方程，从而求得各阶的自然频率。 nrFWcos)(即得振形函数如下： nxKCxICxN

14、CxJCWnnnncos)()()()(4321 由板边的两个边界条件，可以得出 Cl 及 C3 的一组两个齐次线性方程，命方程组的系数行列式等于零，也就得出计算自然频率的方程。 如果薄板无孔，则在薄板的中心(xr0)，Nn(x)及Kn(x)成为无限大。为了使W不致成为无限大，须在式中取C20，C40。于是式简化为nxICxJCWnncos)()(31参见习题153。第五节 用差分法求自然频率 在前两节中提到的那几种简单情况下，才可能求得振形微分方程的函数形式的非零解，从而求得薄板自然频率的精确值。在其他的情况下，振形微分方程可以用差分法进行处理，从而求自然频率的近似值。不须采用很密的网格，就

15、可以求得满足工程上精度要求的自然频率，特别是最低的自然频率。 0)()( 2)( 8200421211109876543210WDmhWWWWWWWWWWWWW 按照振形微分方程，在任一典型结点0 利用差分公式，可得上列方程的差分形式 00204WDmW其中h是网格间距，引用无因次的常数 应用边界条件以后，这些齐次线性方程中的未知W值的数目将等于方程的数目。薄板可能发生自由振动，必须这些W值具非零解，因而上述齐次线性方程的系数行列式必须等于零。这就得出一个以为未知值的方程。由这个方程求出，即可求得自然频率。 Dmh42则上列差分方程成为0)()( 2)( 8)20(12111098765432

16、10WWWWWWWWWWWWW 例如，对于图所示的简支边正方形薄板，首先用2 2的网格，即h=a2，为结点a立出差分方程，用简支边的边界条件，得 aa0)4() 0( 2) 0( 8)20(aaWW命系数的行列式等于零，也就是命唯一的系数等于零，即 16=0得到 16 。于是得 mDamhDmhD2441616 其次，用33的网格，即h=a3。假定振形为两向对称，因而四个内结点处的挠度相同，均为w a 。为任一内结点列出差分方程，并应用简支边的边界条件，得 w a的系数等于零，得=4 。于是得 不假定振形为对称，则将有四个独立的未知W值，得出的四次方程，但这个方程的最小值仍然是4，得出的最低自

17、然频率与前面相同。 aa0)( 2)( 2)2( 8)20(aaaaWWWWmDamhDmhD244184aaa再其次，用44的网络，即h = a4。假定振形为四向对称，则仅有三个独立的未知W值。为a、b、c三结点列出差分方程，并应用简支边的边界条件，简化以后，得 命这一方程组的系数行列式等于零，得展开以后，得的三次方程，它的最小实根是1373。于是得最低自然频率 aacbbbbccc0)20(162016)24(80832)20(cbacbacbaWWWWWWWWWmDamhDmhD24475.18373. 1中命mn1，ba，得简支边正方形薄板的最低自然频率的精确值 可见前面三种情况给出的

18、最低自然频率的系数分别为16、18、18.75，比精确值小19、9及5 。 在最低自然频率公式mDamDa22274.192mDbnam22222min所示频率相应的振形，将相应的代入中的差分方程的任何两个方程，得到与式所示频率相应的振形，可由如下的比值反映 为了明确与式0)20(162016)24(80832)20(cbacbacbaWWWWWWWWWaacbbbbccc50. 0:707. 0:0 . 1:cbaWWW第六节 用能量法求自然频率 当薄板以某一频率及振形作自由振动时，它的瞬时挠度可以表示成为 如果以薄板经过平衡位置的瞬时作为初瞬时(t0)，则有 由此可见A0, 将常数B归入W

19、(x，y)，则w简化为 速度的表达式则成为 ),()sincos(yxWtBtAw0),(0yxAWwt),(sinyxtWw),(cosyxtWtw 为了计算能量时比较简便，假定薄板并不受有静载荷，于是静挠度等于零，而薄板的平衡位置就相应于无挠度时的平面状态。这样，由式从而 这时，薄板的动能为零而形变势能达到最大值。),(sinyxtWw),(cosyxtWtw可见，当薄板距平衡位置最远时，即w最大或最小时，我们有 0cos),(1sintyxWwt0tw当薄板经过平衡位置时，我们有 按照变分法一节，形变势能是 将w 换为W，则得到最大形变势能。如果一个矩形薄板没有自由边，而只有固支边和简支

20、边，则有yxW)DU2dd(221cos00sintwtWtw速度达到最大值yxyxwywxwwDUdd)1 (2)(2122222222 这时，薄板的形变势能为零，而动能达到最大值 根据能量守恒定理，薄板在距平衡位置最远时的形变势能应等于它在平衡位置时的动能 于是，如果设定薄板的振形函数W，使其满足边界条件，并且尽可能地符合频率最低的振形，根据这个W求出Umax，及Kmax。命UmaxKmax,即可求得最低自然频率。 yxmWyxtwmKdd2dd21222maxUmaxKmax 由于设定的振形函数W未必能相应于最低频率的振形，所以这样求得的最低频率可能不够精确。为了求得较精确的最低自振频率

21、，瑞次建议把振形函数取为 其中Wk是满足边界条件的设定函数，Ck是互不依赖的待定系数。然后选择系数Ck，使得UmaxKmax为最小，即 这是Ck的一组k个齐次线性方程。为了具有非零解，必须Ck具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就导出求解自然频率的方程。 kkkWCW0)(maxmaxKUCkyxmWKdd222maxUmaxKmax由yxmWUdd22max2得对于最小频率，应有设yxmWQdd202kC上式证明如下。kkkkkkkkkCKCUQyxmWCCUQQCQUCUQQCUQCUQCmaxmax22maxmaxmaxmaxmax221dd2111于是可得0)(ma

22、xmaxKUCk 在理论上，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中已经用能量关系代替了平衡条件。但是，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低频率可以具有较好的精度。 对于圆形薄板，宜用极坐标进行分折。为此，振形函数须改用极坐标表示 对于圆形薄板的轴对称自由振动 当全部边界为固支边时，可得),(rWW rrWrWrWrrWrDUddddd2dd1dd222222max最大动能则简化为 rrWrrWrDUddd1dd2222maxrrmWKd222max 当薄板上尚有集中质量随同薄板振动时，还需按照设定的振形函数W，

23、求出集中质量的最大动能，计入然后进行计算。 参见振动例。第七节 薄板的受迫振动设薄板在动力荷载qtqt (x,y,t)的作用下进行振动,薄板的受迫振动微分方程为 薄板在动力荷载作用下进行的振动，即所谓受迫振动。薄板的受迫振动微分方程，可以和自由振动微分方程同样导出。 我们把薄板的挠度从平衡位置量起。于是薄板在任一瞬时的挠度为wwtwe，薄板自由振动的微分方程为 224twmwDDqtwDmwt224 为了求解薄板的受迫振动问题，必须首先求解该薄板的自由振动问题，求出它的各种振形的振形函数以及相应的自然频率后,将它所受的动力荷载展为振形函数的级数 现在，把受迫振动微分方程的解答取为如下的形式：

24、1),()(),(kkktyxWtFtyxq11),()(kkkkkyxWtTww代入受迫振动方程，得1221141ddkkkkkkkkkWFDWtTDmWTkkWDmWW244自由振动的振形函数满足代入上式的左边，然后比较两边Wk的系数，得 kkkkFtTmTm222dd或mFTtTkkkk222dd)(sincosttBtATkkkkkk常微分方程的解答可以表示成为 其中k是任一特解。 系数Ak及Bk则须由初始条件来确定，与自由振动的情况下相同。将上式代入11),()(kkkkkyxWtTww即得薄板任一瞬时的挠度： ),()(sincos1yxWttBtAwkkkkkkk例 设简支边矩形薄板受有动力荷载 动力荷载的分布形式保持不变，但它的数量却以频率周期性地随时间变化。 已知简支边矩形薄板的振形函数为 首先把动力荷载展为振形函数的级数： tyxqtyxqtcos),(),(0bynaxkWknsinsinbynaxkCyxqknk