数学建模案例(下)

1、知识回顾知识回顾n什么是数学建模？什么是数学建模？? ?第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)n数学建模的意义是什么？数学建模的意义是什么？n数学建模的一般步骤是什么？数学建模的一般步骤是什么？内容介绍内容介绍第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)模型一：血管分支模型模型一：血管分支模型模型二：报童的策略模型模型二：报童的策略模型模型三：装修工工资模型模型三：装修工工资模型第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)动物为了维持血液在血动物为了维持血液在血管中的流动，要向血管提供管中的流动，要向血管提供能量，其中一

2、部分用于供给能量，其中一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力。来克服血液流动受到的阻力。试研究血管分支中粗细血管试研究血管分支中粗细血管半径的比例和分岔角度在消半径的比例和分岔角度在消耗能量最小原则下应取什么耗能量最小原则下应取什么样的数值？样的数值？第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下) （1 1）一条粗血管在分岔处分成两条细血管，）一条粗血管在分岔处分成两条细血管，分支点附近三条血管在同一平面上，成一轴对称分支点附近三条血管在同一平面上，成一轴对称图形。图形。 不在一个平面上，血管总长度不在一个平面上，血管总长度要增加，导致能量消

3、耗增加，不要增加，导致能量消耗增加，不符合最优原则。符合最优原则。 （2 2）血液在血管中的流动看作粘性液体在）血液在血管中的流动看作粘性液体在刚性管道中的流动。刚性管道中的流动。 这是一种近似，这是一种近似，因为血管有较弱的弹因为血管有较弱的弹性。性。 （3 3）血液对血管提供营养的能量随管壁内表面积及管壁体积的）血液对血管提供营养的能量随管壁内表面积及管壁体积的增加而增加，管壁体积取决于管壁的厚度，而厚度近似地与血管半增加而增加，管壁体积取决于管壁的厚度，而厚度近似地与血管半径成正比。径成正比。第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下):r 粗血管半径粗血管半径 :1r 细血管半径

4、细血管半径 :2 两细血管的夹角两细血管的夹角 : lAC 粗血管粗血管的长的长 :1lCBBC 细血管细血管（或（或）的长）的长 :LABBBB 到到、连线连线的距离的距离 :HBB 长的一半长的一半 :q 血液在粗血管中的流量血液在粗血管中的流量 :1qqq211 血液在细血管中的流量（由题意可得血液在细血管中的流量（由题意可得） :brrb 半径为半径为的单位长度血管所消耗的营养（的单位长度血管所消耗的营养（为比例系数为比例系数) )21第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)ABB血从血从点流到点流到、两点的过程中，机体为克服阻力两点的过程中，机体为克服阻力和供应血管消耗的能

5、量为和供应血管消耗的能量为 114121422lbrrkqlbrrkqE第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)cotHLlcsc1Hl ， qq211因为因为且且所以所以csc42)cot(141242HbrrkqHLbrrkqE第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)， 004115121152brrkqrEbrrkqrE4114rr由由 得得 第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)， 再由再由 得得 0sincos42sin121412242brrkqHbrrkqHE444122cosrr第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)， 32. 126

6、. 11rr0049371rr取取和得和得和和的大致范围为的大致范围为 第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)退回一份报纸赔退回一份报纸赔cb 元元每天如果购得太多卖不完时要赔钱每天如果购得太多卖不完时要赔钱baccba 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。每份报纸的购进价为每份报纸的购进价为元，零售价为元，零售价为元，退回价为元，退回价为元，元，。试为报童策划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最多。试为报童策划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最多。分析分析 售出一份报纸赚售出一份报纸赚ba 元元每天

7、如果购进的报纸太少，不够卖时会少赚钱每天如果购进的报纸太少，不够卖时会少赚钱第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)（1 1）假设报童每天购进量为）假设报童每天购进量为n份报纸份报纸x), 2 , 1 , 0)(xxf（2 2）假设每天的需求量为）假设每天的需求量为份报纸的概率为份报纸的概率为n)(nG（3 3）报童每天购进）报童每天购进份报纸时平均收入为份报纸时平均收入为 第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)nxxfxncbxbanG0)()()()(1)()(nxxnfba此时问题可以转此时问题可以转化为什么数学问化为什么数学问题？题？? ?在在 和和 已知时，已知

8、时，求求 使使 最大最大 。cba,)(xfn)(nG第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)xnx需求量需求量的取值和购进量的取值和购进量都相当大，将都相当大，将视为连续量更容易分析和计算，此时视为连续量更容易分析和计算，此时 ndxxfxncbxbanG0)()()()(dxxnfban)()(第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)nnnfbadxxfcbnnfbadnndG0)()()()()()()(ndxxfba)()(nndxxfbadxxfcb0)()()()(第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)0)(dnndGcbbadxxfdxxfnn)(

9、)(0由由得得 cabadxxfn0)(1)(0dxxf因为因为 ，所以上式可变为，所以上式可变为 第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下) 显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。比越大时，报童购进的份数就应该越多。)(xfnbacb 当需求量的概率密度函数当需求量的概率密度函数已知时，报童应购进的份数已知时，报童应购进的份数应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱与退回一份赔的钱之比。之比。第十二章第十二章

10、 数学建模案例数学建模案例(下下) 现有一个木工、一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼现有一个木工、一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子在装修之前，他们达成了如下协议：此装修他们自己的房子在装修之前，他们达成了如下协议： (1)(1)每人总共工作每人总共工作1010天天( (包括给自己家干活在内包括给自己家干活在内) )； (2)(2)每人的日工资根据一般的市价在每人的日工资根据一般的市价在60608080元之间；元之间； (3)(3)每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等表表5 51 1是他们协商后制定出的工作天数的分配方

11、案，如何计算是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？出他们每人应得的工资？ 第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)表表5 51 16 61 13 31 15 54 42 24 44 4在木工家工作的天数在木工家工作的天数在电工家工作的天数在电工家工作的天数在油漆工家工作的天数在油漆工家工作的天数油漆工油漆工电工电工木工木工第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)（1 1）三人的装修按他们的协议进行；）三人的装修按他们的协议进行；（2 2）三人的日工资为整数，单位：元）三人的日工资为整数，单位：元:1x 木工的日工资木工的日工资 :2x 电工的

12、日工资电工的日工资:3x 油漆工的日工资油漆工的日工资l 模型假设：模型假设：l 符号说明：符号说明：第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)13111062xxxx木工的收支平衡关系为木工的收支平衡关系为 23211054xxxx电工的收支平衡关系为电工的收支平衡关系为 332110344xxxx油漆工的收支平衡关系为油漆工的收支平衡关系为 于是得方程组于是得方程组 0744054068321321321xxxxxxxxx第十二章第十二章 数学建模案例数学建模案例(下下)解上述齐次方程组得解上述齐次方程组得 cxcxcx321983631（其中其中c为任意实数）为任意实数） 72 ,64 ,62321