高二数学 排列的概念及简单排列问题

1、1.2 排列与组合1.2.1 排列 第1课时 排列的概念及简单排列问题 五只小羊排成一行五只小羊排成一行有多少种排法？有多少种排法？分类加法计数原理分类加法计数原理( (加法原理加法原理) 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m m种种不同的方法，在第不同的方法，在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有： 种不同的方法种不同的方法N=m+n分步乘法计数原理（乘法原理）分步乘法计数原理（乘法原理）完成一件事需要分成两个步骤，做第完成一件事需要分成两个步骤，做第1 1步有步有m m种不同

2、种不同的方法，做第的方法，做第2 2步有步有n n种不同的方法，那么完成这件种不同的方法，那么完成这件事共有：事共有： 种不同的方法种不同的方法N=mn 分类加法计数原理与分类加法计数原理与“分类分类”有关，各种有关，各种方法方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；成这件事； 分步乘法计数原理与分步乘法计数原理与“分步分步”有关，各个有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成事才算完成1.1.了解排列、排列数的定义了解排列、排列数的定义. .（重点）重点）2.2.能用能用“树形图树形图”写出

3、一个排列问题的所有写出一个排列问题的所有的排列的排列. .（难点）（难点）3.3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣发展，总结数学规律，培养学习兴趣. . 问题问题1 1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1 1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？分析：分析：把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3 3名同学中选名同学中选2 2名，名，按照参加上午的

4、活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 探究点探究点1 1 排列排列上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法. .第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法种方法. . 把上面问题中被取的对象叫做把上面问

5、题中被取的对象叫做元素元素, ,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3 3个不同的元素个不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2个，然后按照一个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是所有不同的排列是ab, ac, ba, bc, ca, cbab, ac, ba, bc, ca, cb共有共有3 32=62=6种种. .1.1.排列：排列：一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (m m (m n)n)个元素，个元素，按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列

6、，叫做从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m个元素的一个个元素的一个排列排列. .说明：说明：1.1.元素不能重复元素不能重复.n.n个元素不能重复，个元素不能重复，m m个元素也不个元素也不能重复能重复. .2.“2.“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键个问题是否是排列问题的关键. .3.3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同全相同，而且元素的排列顺序也完全相同. .4.m4.mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时

7、的排列叫全排列时的排列叫全排列. .5.5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”. .问题问题2 2从从1,2,3,41,2,3,4这这 4 4 个数字中，每次取出个数字中，每次取出3 3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在左边的数，在4 4个数字中任取个数字中任取1 1个，有个，有4 4种方法；第种方法；第二步确定中间的数，从余下的二步确定中间的数，从余下的3 3

8、个数中取，有个数中取，有3 3种种方法；第三步确定右边的数，从余下的方法；第三步确定右边的数，从余下的2 2个数中取，个数中取，有有2 2种方法种方法 由分步乘法计数原理共有：由分步乘法计数原理共有：4 43 32=242=24种不种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列，同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列，由此可写出所有的排法由此可写出所有的排法. . 探究点探究点2 2 排列数排列数显然，从显然，从 4 4 个数字中，每次取出个数字中，每次取出 3 3 个，按个，按“百百”“十十”“”“个个”位的顺序排成一列，就得到一个三位位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列

9、方法就有多少个不同数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第第 1 1 步，确定百位上的数字，在步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 这这 4 4 个数字中任取个数字中任取 1 1 个，有个，有 4 4 种方法；种方法；第第 2 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定 后，十位上的数字只能从余下的后，十位上的数字只能从余下的 3 3 个数字中个数字中 去取，有去取，有 3 3 种方法；种方法；第第 3 3 步，确定个位上的数字，

10、当百位、十位上的数步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数 字确定后，个位的数字只能从余下的字确定后，个位的数字只能从余下的 2 2 个数个数 字中去取，有字中去取，有 2 2 种方法种方法 根据分步乘法计数原理，从根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 这这 4 4 个不同的数字中，每次取出个不同的数字中，每次取出 3 3 个数字，按个数字，按“百百”“”“十十”“”“个个”位的顺序排成一列，共有位的顺序排成一列，共有4 43 32=242=24种不同的排法，种不同的排法， 因而共可得到因而共可得到2424个不个不同的三位数，如图同的三位数，如图1.

11、22 1.22 所示所示 1234443322444333111244431112224333111222图图1.221.22有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123123，124124，132132，134134，142142，143143， 213 213，214214，231231，234234，241241，243243，312312，314314，321321，324324，341341，342342， 412412，413413，421421，423423，431431，432.432.问题问题2 2可归结为可归结为 从从4 4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d

12、a,b,c,d 中任取中任取3 3个，然后个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adcabc,abd,acb,acd,adb,adc， bac,bad,bca,bcd,bda,bdcbac,bad,bca,bcd,bda,bdc，cab,cad,cba,cbd,cda,cdbcab,cad,cba,cbd,cda,cdb， dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有共有4 43 32=242=24种种. .2.2.排列数：排列数

13、： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的个元素的所有所有不同排列的个数不同排列的个数叫做从叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元个元素的素的排列数排列数. .用符号用符号 表示表示. .mnA“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？“一个排列一个排列”是指：从是指：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m个元个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数”是指从是指从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m个元素个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符

14、号的所有排列的个数，是一个数；所以符号 只表只表示排列数，而不表示具体的排列示排列数，而不表示具体的排列. .mnA例题例题 下列问题是排列问题吗？请说明理由下列问题是排列问题吗？请说明理由(1)(1)从从1,2,3,41,2,3,4四个数字中，任选两个做减法，其结果四个数字中，任选两个做减法，其结果有多少种不同的可能？有多少种不同的可能？(2)(2)从从1,2,3,41,2,3,4四个数字中，任选两个做乘法，其结果四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？有多少种不同的可能？(3)(3)有有1212个车站，共需准备多少种车票？个车站，共需准备多少种车票？(4)(4)从学号从学号1

15、 1到到1010的十名同学中任抽两名同学去学校开的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？座谈会，有多少种选法？(5)(5)平面上有平面上有5 5个点，其中任意三点不共线，这个点，其中任意三点不共线，这5 5点最多点最多可确定多少条直线？可确定多少条直线？问题问题各问题研析各问题研析结果结果(1)(1)由减法定义知，结果都与两数相减由减法定义知，结果都与两数相减的顺序有关，故的顺序有关，故(1)(1)是排列是排列(1)(1)(3)(3)(2)(2)由乘法定义知，结果都与两数相乘由乘法定义知，结果都与两数相乘的顺序无关，故的顺序无关，故(2)(2)不是排列不是排列(3)(3)车票与始

16、点站和终点站有关，由排车票与始点站和终点站有关，由排列定义知列定义知(3)(3)是排列是排列(4)(4)所选取两名同学参加座谈会，无顺所选取两名同学参加座谈会，无顺序之分，故序之分，故(4)(4)不是排列不是排列(5)(5)两点确定一条直线，与两点顺序无两点确定一条直线，与两点顺序无关，故关，故(5)(5)不是排列不是排列解解: : 判断一个问题是否为排列问题的依据是判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从是否有顺序，有顺序且是从n n个不同的元素个不同的元素中任取中任取m m( (m mn n) )个不同的元素的问题就是排个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列，而检验它

17、是否有顺序列，否则就不是排列，而检验它是否有顺序的依据就是变换元素的位置，看其结果是否的依据就是变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序顺序 【总结提升总结提升】判断下列问题是否是排列问题：判断下列问题是否是排列问题：(1)(1)某班共有某班共有5050名同学，现要投票选举正、副班长名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)(2)从从2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？真数，有多少不同对

18、数值？(3)(3)从从1 1到到1010十个自然数中任取两个数组成点的坐十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？标，可得多少个不同的点的坐标？【变式练习变式练习】(4)(4)从集合从集合M M1,21,2，99中，任取相异的两个中，任取相异的两个元素作为元素作为a a，b b，可以得到多少个焦点在，可以得到多少个焦点在x轴上的椭轴上的椭圆方程圆方程 ? ?22221xyab解：解： (1)(1)是排列问题选出的是排列问题选出的2 2人，担任正、副班长人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题(2)(2)是排列问题显然对数

19、值与底数和真数的取值的是排列问题显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关不同有关系，与顺序有关(3)(3)是排列问题任取两个数组成点的坐标，横、纵是排列问题任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关(4)(4)不是排列问题焦点在不是排列问题焦点在x x轴上的椭圆，方程中的轴上的椭圆，方程中的a a、b b必有必有a ab b，a a、b b的大小一定的大小一定1 1下列问题中：下列问题中：(1)10(1)10本不同的书分给本不同的书分给1010名同学，每人一本；名同学，每人一本；(2)10(2)10位同学互通一

20、次电话；位同学互通一次电话；(3)10(3)10位同学互通一封信；位同学互通一封信；(4)10(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段个没有任何三点共线的点构成的线段属于排列的有属于排列的有( () )A A1 1个个B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个解：解：(1)(3)(1)(3)是排列问题，是排列问题，(2)(4)(2)(4)不是排列问题不是排列问题B B2 2A A、B B、C C三名同学照相留念，成三名同学照相留念，成“一一”字形排字形排队，所有排列的方法种数为队，所有排列的方法种数为( () )A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D1212解：解：A AB B

21、C C，A AC CB B，B BA AC C，B BC CA A，C CA AB B，C CB BA.A.所以排列方法有所以排列方法有6 6种种. .C C3 3上海世博会期间，某调研机构准备从上海世博会期间，某调研机构准备从5 5人中选人中选3 3人去调查中国馆、日本馆、美国馆的参观人数，有人去调查中国馆、日本馆、美国馆的参观人数，有_种安排方法种安排方法解：解：由题意可知，问题为从由题意可知，问题为从5 5个元素中选个元素中选3 3个元素个元素的排列问题，所以安排方法有的排列问题，所以安排方法有5 54 43 36060种种答案：答案：606060604 4用用1,2,3,41,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列从小到大排成一个数列aan n (1)(1)写出这个数列的前写出这个数列的前1111项项. .(2)(2)这个数列共有多少项这个数列共有多少项解：解：(