机械优化设计重点

1、1机械优化设计机械优化设计一次性补考一次性补考总复习总复习20122012年年6 6月月2 2日日2题型（开卷考试） 一、选择题一、选择题(每小题每小题2分，共分，共20分分) 二、填空题二、填空题(每空每空2分分,共共20分分) 三、问答题三、问答题(每小题每小题6分分,共共30分分) 四、计算题四、计算题(30分分) 1 最速下降方向的求解最速下降方向的求解 2 牛顿型法牛顿型法 3 黄金分割法黄金分割法3一一 设计变量设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。参数。 设计变量必须是独立变量，即：在一设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中

2、，任意两个设计变量之间个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。按照产品设计变量的取值特没有函数关系。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。格等）。 小型设计问题：一般含有小型设计问题：一般含有210个设计变量；个设计变量； 中型设计问题：中型设计问题：1050个设计变量；个设计变量； 大型设计问题：大型设计问题：50个个以上的设计变量。以上的设计变量。1212 ,Tnnxxx xxxx4二二 设计空间设计空间 在一个优化设计问题中，所有可

3、能的设计方案在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个一个向量空间向量空间，并且是一个，并且是一个欧氏空间欧氏空间。 一个优化设计问题中，设计变量的个数，一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。就是它的设计空间的维数。三三 目标函数目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为这些指标是设计变量的函数，称为目标函数目标函数。在构。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设

4、计变量，所有的设计变量必须包含在约部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。束函数中。5 四四 设计约束设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。是设计变量的函数。 约束条件的分类约束条件的分类（1）根据约束的性质分）根据约束的性质分 边界约束边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束性能约束 由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。条件。iiibxai 1,2, ，n6u=1,2, ，m 0Xgu 0Xhvv =

5、 1，2， ，p 0，计算，计算 y1f(a1)， y2f(a1h)。（2）比较）比较y1和和y2。 （a）如）如y1y2, 向右前进；加大步长向右前进；加大步长 h2 h ，转（，转（3）向前；）向前； （b）如）如y1y3, 加大步长加大步长 h2 h(也可不变也可不变) ， a1=a2, a2=a3, 转（转（3）继续探测。）继续探测。 （a）如）如y2y3, 则初始区间得到：则初始区间得到： a=mina1,a3， b=maxa3,a1，函数，函数最小值所在的区间为最小值所在的区间为a， b 。31 搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区

6、间，从而找到极小点的数值近似解。搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。 假定在搜索区间内假定在搜索区间内a,b a,b 任取两点任取两点a a1 1,b,b1 1; ;f1f（a1），）， f2f（b1）一维搜索的区间消去方法一维搜索的区间消去方法f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a1a1 a1 b1baabab b1b132*一、一、黄金分割法黄金分割法1、在寻找一个区间、在寻找一个区间 Xa , Xb ，使函数，使函数 f (X)在该区间的极小点在该区间的极小点 X* Xa , Xb 。2、用黄金分割法在区间、用黄金分割法在区间 Xa , Xb 中寻找中寻找 X*

7、 。 Xa ，X1， X2， Xb 如何消去子区间？如何消去子区间？f (X1) f (X2) ，消去，消去X2， Xb，保留，保留Xa， X2f (X1) f (X2) ，消去，消去Xa， X1，保留，保留X1， Xb120.618bbaabaXXXXXXXX33第三章第三章 一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法二、二、一维搜索一维搜索的插值类方法的插值类方法1 1、牛顿法、牛顿法牛顿迭代公式：牛顿迭代公式：1()()kkkkfxxxfx34 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点点在于构造搜索方向在于构造搜索方向上的差别。上的

8、差别。 min( )nfRxx（1）间接法间接法要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法直接法不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。法单纯形法等。无约束优化问题是：无约束优化问题是：12Tnx xxx求求n维设计变量维设计变量( )minfx使目标函数使目标函数 第第 四四 章章 无约束最优化方法无约束最优化方法搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。35*一、一、 梯度法梯度法负梯度方向负梯度方向 是函

9、数最速下降方向。是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即 k=1,2, ,n kXf kkdfX 第第 四四 章章 无约束最优化方法无约束最优化方法 基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将下降最快的方向。将n n维问题转化为一系列沿负梯度维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。搜索方向，故称最速下降法或梯度法。 36 在最速下降法中，在最速下降法中，相邻两个迭代

10、点上的函相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直数梯度相互垂直。而搜。而搜索方向就是负梯度方向，索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向因此相邻两个搜索方向互相垂直。互相垂直。图图4-2 最速下降法的搜索路径最速下降法的搜索路径1()()0kTkffxx* *会证明会证明：37方法特点方法特点（1 1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。然后慢慢逼近局部极小点。 （2 2）任意相

11、邻两点的搜索方向是正交的，它的）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。小点时，步长变得很小，越走越慢。 38二、二、 牛顿法及其改进牛顿法及其改进基本思想基本思想 ： 在在xk邻域内用一个二次函数邻域内用一个二次函数 来近似代替原目来近似代替原目标函数，并将标函数，并将 的极小点作为对目标函数的极小点作为对目标函数 求优的下一个迭代点求优的下一个迭代点 。经多次迭代，使之逼近目。经多次迭代，使之逼近目标函数标函数 的极小点。的极小点。 牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。牛顿法是求函数

12、极值的最古老算法之一。 ( )x( )x( )f x1kx( )f x39牛顿法的迭代公式牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向牛顿方向 110,1,kkkkkXXHXfXk , 1 , 011kXfXHXXkkkk 1kkkdHXfX 40方法特点方法特点 （1） 初始点应选在初始点应选在X X* *附近，有一定难度；附近，有一定难度； （2） 若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向；不能构造牛顿法方向； （3） 不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算

13、量和存储量大。此外，对于二阶不可微的计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也也不适用。不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有具有收敛最快收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。理论依据。41三、三、 共轭方向法共轭方向法11、共轭方向、共轭方向定义：定义： 设设 A 为为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组阶实对称正定矩阵，有一组非零非零的的 n 维向量维向量 d1、 d2、 dn，若满足，若满足 diT A diT A djdj 则称向量系则称向量系 didi ( i=1,2,

14、( i=1,2,n ) ,n ) 对于矩阵对于矩阵 A A 共共轭。轭。在在n n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过过n n个。个。422 二次收敛性二次收敛性定义：对于一个定义：对于一个 n 维的维的二次函数二次函数若应用某种优化方法，经过有限次（一般不超过若应用某种优化方法，经过有限次（一般不超过 n 次）次）一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有二二次收敛性质次收敛性质。定理：定理：共轭方向法具有二次收敛性。共轭方向法具有二次收敛性。 AXXBXCXfT21433 共轭梯度法共轭梯度法共轭梯度法的基

15、本原理共轭梯度法的基本原理11()kkkkf dxd212()()kkkffxx1(0,1,2,)kkkkkxxd 共轭梯度法是共轭方向法中的一种，该共轭梯度法是共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的点处的负梯度负梯度而构造出来。而构造出来。44*4、鲍威尔、鲍威尔 (Powell)法法 直接法直接法 鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？！鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？！ 改进的算法。改进的算法。jjkkkdd ddjgg gk+1xxk+1基本思想：在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造基本思想：在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G G

16、的共轭方向。的共轭方向。 45*四、四、 单纯形方法单纯形方法单纯形思想、原理、特点；单纯形思想、原理、特点；四种操作：反射、扩张、收缩和缩边四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。基本思想基本思想 单纯形替换法也是一种不使用导单纯形替换法也是一种不使用导数的求解无约束极小化问题的直接数的求解无约束极小化问题的直接搜索方法，与前面几种方法不同的搜索方法，与前面几种方法不同的是，单纯形替换法不是利用搜索方是，单纯形替换法不是利用搜索方向从一个点迭代到另一个更优的点，向从一个点迭代到另一个更优的点，而是从一个单纯形迭代到另一个更而是从一个单纯形迭代到另一个更优的单纯形。优的单纯形。461.1. 基本思想

17、基本思想 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺尺度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。 例如在用最速下降法求例如在用最速下降法求 的极小的极小2212( )25fxxx值时值时 ,需要进行需要进行10次迭代才能达到极小点次迭代才能达到极小点0,0Tx 如作变换如作变换 y1=x1, y2=5x2把把 的尺度放大的尺度放大5倍，则目标函数等值线由一簇倍，则目标函数等值线由一簇椭圆变成一簇同心圆。椭圆变成一簇同心圆。x2五、五、 变尺度法变尺度法471()kkkkkfxxAxAk 是需要构造是需要构造nn的一个

18、对称方阵的一个对称方阵 ，如如Ak=I, 则得到梯度法则得到梯度法 ；21()kkf Ax 则得到阻尼牛顿法则得到阻尼牛顿法 ；如如当矩阵当矩阵Ak 不断地迭代而能很好地逼近不断地迭代而能很好地逼近 21()kfx时，就可以不再需要计算二阶导数。时，就可以不再需要计算二阶导数。 变尺度法的关键在于尺度矩阵变尺度法的关键在于尺度矩阵AkAk的产生的产生 。搜索方向：搜索方向：1()(0,1,2,)kkksfk Ax48搜索方向搜索方向函数梯度的修正函数梯度的修正因子因子所用目标函数所用目标函数信息信息梯度法梯度法（ 阻 尼 ） 牛（ 阻 尼 ） 牛顿法顿法共轭梯度法共轭梯度法变尺度法变尺度法49

19、有约束优化方法 随机方向法随机方向法复合形法复合形法可行方向法可行方向法 惩罚函数法惩罚函数法50（1）直接法）直接法 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。随机方向法、可变容差法和可行方向法。 （2）间接法）间接法 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。法和约束变尺度法等。约束优化问题间接解法的基本迭代过程约束优化问题间接解法的基本迭代过程 根据求解方式的

20、不同，约束优化设计问题可分为根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直直接解法、间接解法。接解法、间接解法。51第五章第五章 约束优化设计约束优化设计一、一、关于设计约束的若干概念关于设计约束的若干概念 可行域可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。所有满足全部约束条件的点的集合。0,1,2,0,1,2,uvgXumDXhXvpn52可行点可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。可行域中的点，即满足所有约束条件的点。边界点边界点 在可行域边界上的点。在可行域边界上的点。 若有点若有点 Xk 使得使得 则则 Xk 为一个边界点。为一个边界点。内点内点 除边界点以外的所有可行点。除边界点

21、以外的所有可行点。 若有点若有点 Xk 满足满足 则则 Xk 为一个内点。为一个内点。miXgki, 2 , 1, 0miXgki, 2 , 1, 053非可行域非可行域 可行域以外的区域。可行域以外的区域。非可行点非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束适时约束 若有点若有点 X k 使某个不等式约束使某个不等式约束 gu(X) 0 的等号的等号 成立，即成立，即 则称则称 g i(X) 0 为点为点 X k 的一个适时约束。的一个适时约束。 等式约束始终是适时约束。等式约束始终是适时约束。miXgki, 2 , 1054*三、三

22、、 约束优化设计的复合形法约束优化设计的复合形法 对约束优化问题对约束优化问题1 确定初始复合形确定初始复合形 选择选择 （n+1K2n）顶点，这）顶点，这 k 个顶点必须是可行点个顶点必须是可行点。2 确定搜索方向确定搜索方向i.计算计算 k 个顶点的函数值，设个顶点的函数值，设 记记 最坏点最坏点 X (1) 为为 X (H) 次坏点次坏点 X (2) 为为 X (SH) 最好点最好点 X (k) 为为 X (L) muXgtsRXXfun, 2 , 10. .min kkXfXfXfXf12155ii.求出求出 X (2)、 X (3)、 X (k-1)、 X (k) 的点集的中心的点集

23、的中心(几何中心几何中心) X (S) iii.以以 X (H) 指向指向 X (S) 的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点点 X (R) 。iv.若若 f (X (R) ) f (X (H) ) ，则以，则以 X (R) 代替代替 X (H) ，构成新的复合形。，构成新的复合形。 kjjSXkX211 HSSRXXXX561）内点法构造惩罚项的方法）内点法构造惩罚项的方法 对于约束优化问题对于约束优化问题内点法的惩罚函数为内点法的惩罚函数为 muukkXgrXfrX11,min. .0,1,2,nufXXRstgXum*四、四、 惩罚函数