全等三角形的提高拓展训练讲义讲义

1、第一讲全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)一、基础知识精讲1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等

2、，找出对应的元素是关键.2、全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证

3、明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.二、典型例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知MBC中，/A=60：BD、CE分别平分/ABC和NACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BE十CD=BC,理由是：在BC上截取BF=BE,连结OF,利用SAS证得与EO03FO,，4=/2,/A=60/BOC=90,+1/A=120、'，/DOE=120'，2-ADOE=180，AEOADO=180',.13=180， /2+/4=180：:，/1=/2,，/3=/4,利用AAS证彳#iCDO心FO,CD=

4、CF,BC=BF+CF=BE+CD.例2如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作/DMN=60：射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？DDMBEAMBE【解析】猜测DM=MN.过点M作MG/BD交AD于点G,AG=AM,，GD=MB又./ADM+/DMA=120：/DMA+/NMB=120，/ADM=/NMB,而/DGM=/MBN=120” -.DGM©加BN,.DM=MN.【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN_LDM且与/ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM

5、=MN.在AD上截取AG=AM,.DG=MB,.ZAGM=453，/DGM=/MBN=135），/ADM=/NMB, DGM©4MBN,.DM=MN.【例3】已知：如图，ABCD是正方形，/FAD=/FAE.求证：BE+DF=AE.【解析】延长CB至M,使得BM=DF,连接AM. .AB=AD,ADLCD,ABXBM,BM=DF .BMzADF .zAFD=ZAMB,ZDAF=/BAM1. AB/CDzAFD=/BAF=/EAF+/BAE=/BAE+ZBAM=/EAM，zAMB=/EAM.AE=EM=BE+BM=BE+DF.MBD、MCE,连结CD、BE相交于点O.求例4以MBC的A

6、B、AC为边向三角形外作等边证：OA平分/DOE.【解析】因为MBD、&ACE是等边三角形，所以AB=AD,AE=AC,/CAE=BAD=60,贝U/BAE=/DAC,所以ABAE©ADAC,则有/ABE=/ADC,/AEB=/ACD,BE=DC.在DC上截取DF=BO,连结AF,容易证得MDF©MBO,MCF©MEO.进而由AF=AO.得/AFO=/AOF;由/AOE=/AFO可得ZAOF=/AOE,即OA平分/DOE.【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，MBC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120cs的等腰三角形，以D为顶点作一个60

7、。的NMDN，点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE=BM.在4DM与必DE中，因为BD=CD,jMBD=2ECD=90,，BM=CE,所以ABDM©鲂DE,故MD=ED.因为/BDC=120'，/MDN=60'，所以BDM+NDC=60.又因为Zbdm=/CDE,所以/MDN=/EDN=60：1在&MND与生ND中，DN=DN,MDN=EDN=60,，DM=DE,所以AmNDw生ND,则NE=MN,所以&AMN的周长为2.【例6】五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180&

8、#176;,求证：AD平分/CDEAA【解析】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC.ABC+C+ZAED=180°,AEF+ZAED=180°.zABC=ZAEF.AB=AE,BC=EFABg/AEF.EF=BC,AC=AF.BC+DE=CD.CD=DE+EF=DFADCSDF，"DC=/ADF即AD平分/CDE./BAC=60,，AD是/BAC的平分线，且AC=AB+BD,求/ABC的板块二、全等与角度【例7】如图，在MBC中,【解析】如图所示，延长AB至E使BE=BD,连接ED、EC.由AC=AB+BD知AE=AC,而/BAC=6。"，则MEC为等

9、边三角形.注意到NeAD=/CAD,AD=AD,AE=AC,故MedMcd.从而有de=dc,/dec=ndce,故BED二，BDE=/DCEDEC=2DEC.所以DEC-DCE=20',ABC-BECBCE=60；20'；=80.【另解】在AC上取点E,使得AE=AB,则由题意可知CE=BD.在Aabd和Med中，ab=ae,/bad=/ead,ad=ad,则Mbd©Med,从而bd=de,进而有DE=CE,/ECD=/EDC,AED=/ECDEDC=2ECD.注意到/ABD=/AED,则：13：ABCACB=ABCABC=-ABC=180BAC=120,22故AB

10、C=80.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE,利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例81在等腰MBC中，AB=AC,顶角/A=20'在边AB上取点D,使AD=BC,求/BDC.【解析】以AC为边向MBC外作正MCE,连接DE.在MBC和况AD中，AD=BC,AB=EA,ZEAD=/BAC+/CAE=20+60'=80'=/ABC,则M

11、BCAEAD.由此可得ED=EA=EC,所以AEDC是等腰三角形由于.AED-BAC=201贝U/CED=/AEC-ZAED=60°20=40二，从而DCE=70/，DCA=DCE-ACE=70：-60：=10',贝UBDCZDACZDCA=20；10：'=30.【另解1】以AD为边在MBC外作等边三角形&ADE,连接EC.在MCB和切AE中，/CAE=600+20'=/ACB,AE=AD=CB,AC=CA,因止匕MCBcae,在acad和aced中,AD=ED,CE=CA,CD=CD,从而/CAB=/ACE,CE=AB=AC.故此AD色ACED,从而

12、ZACD=/ECD,/CAB=ACE=22ACD,故/ACD=101因此NBDC=300【另解2如图所示，以BC为边向MBC内部作等边ABCN，连接NA、ND.在式DA和MNC中，CN=BC=AD,CAD=20',.ACN=.ACBBCN=80；-60=20,，故Aad=2acn,而AC=CA,进而有比DA©4ANC.则/ACD=/can=10",故BDC=DACDCA=30。【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在AABC中，AC=BC,NC=20口，又M在AC上,N在BC

13、上，且满足/BAN=50©,/ABM=60©,求/NMB.【解析】过M作AB的平行线交BC于K,连接KA交MB于P.连接PN,易知MPB、AMKP均为正三角形.因为/BAN=500，AC=BC,/C=201所以/ANB=501BN=AB=BP,/BPN=/BNP=801则，PKN=4014PN=1800-600-80口=40口，故PN=KN.从而以MPN©AmKN.1进而有/PMN=/KMN,ZNMB=-ZKMP=30.2【另解】如图所示，在AC上取点D,使得/ABD=20°,由/C=20，AC=BC可知/BAC=80。而/八8口=20:故/八口8=80

14、*,BA=BD.在MBN中，/BAN=50：/ABN=80",故/ANB=50二从而BA=BN,进而可得BN=BD.而ZDBN=/ABC-/ABD=80°-20。=60口，所以iBDN为等边三角形.在MBM中，ZAMB=1800-ZABM-/BAM=1800-80O-600=40D,/DBM=ZADB/AMB=800403=40、故ZDMB=2DBM，从而DM=DB.我们已经得到DM=DN=DB,故D是mMN的外心，1从而.NMB二一.NDB=30.2【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师RossHonsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题

15、的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易/BDC=28,求/DBC的【例10四边形ABCD中，已知AB=AC,/ABD=601/ADB=76：【解析】如图所示，延长BD至E,使DE=DC,由已知可得：ZADE=180/ADB=180176'=104二/ADC=NADB+NBDC=760+28*=104:故ADE=ADC.又因为AD=AD,DE=DC,故AADEMDC,又因为AB=AC,而已知/ABD=60;因此AE=AC,NE=/ACD,/EAD=CAD.故AE=AB,/ABC=/ACB.所以AABE为等边三角形.于是ZACD=/E=/EAB=60*,故/cad=180

16、°/ADC/ACD=162则AAB=/EAB-AAD-EAD=28,.一1从而/ABC=-(180。/CAB)=76°,2所以DBC=ABC-ABD=16.三、典型习题精练ZDAC=12,/CAB=36,【例10】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中,/ABD=48;NDBC=24：求ZACD的度数.【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12口的倍数，这使我们想到构造60口角，从而利用正三角形在四边形ABCD外取一点P,使/PAD=120且AP=AC,连接PB、PD.在MDP和&DC中，/PAD=/CAD=12：AP=AC,AD=AD,故MdpMdc

17、.从而APD二)ACD.在MBC中，/CAB=36口，/ABC=72口，故/ACB=72:AC=AB,从而AP=AB.而/PAB=/PAD+DAC+/CAB=12-12n+36°=60故即AB是正三角形，/APB=601PA=PB.在iDAB中，/DAB=/DAC+/CAB=120+36*=48Z/DBA,故DA=DB.在iPDA和妒DB中，PA=PB,PD=PD,DA=DB,故ZiPDA件DB,1_从而ZAPD=/BPD=/APB=30,2贝卜ACD=30.【例11（河南省数学竞赛试题）在正MBC内取一点D,使DA=DB,在MBC外取一点E,使/DBE=/DBC,且BE=BA,求/

18、BED.【解析】如图所示，连接DC.因为AD=BD,AC=BC,CD=CD,则MDC©姐DC,P/BAC=/BCA=44：M为AABC内一点,故BCD=30）.而ndbe=/dbc,be=ab=bc,BD=BD,因此ABDE©瓯DC,故/BED=/BCD=30.【例12】【解析】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在MBC中,使得/MCA=30:/MAC=16;求/BMC的度数.B在&ABC中，由/BAC=/BCA=44可得AB=AC,/ABC=92.如图所示，作BD_LAC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA,则有ZOAC=NMCA=30:/BAO=/BAC-ZOA

19、C=4430'=14：ZOAM=/OAC-/MAC=300-16'=141所以BAO=MAO.又因为ZAOD=900/OAD=90030*=60,=/COD,所以.AOM=120=.AOB./BOM=120而AO=AO,因此MBOMMO,故OB=OM.由于/BOM=120:则/OMB=/OBM=1800：BOM=30*,故.BMC=180ZOMB=150.四、家庭作业优化设计设计时间：分钟实际时间：分钟一、选择题1 .（2009年江苏省）如下左图，给出下列四组条件：AB=DE,BC=EF,AC=DF；AB=DE,/B=/E,BC=EF；/B=/E,BC=EF,C=/F;AB=DE,AC=DF,2B=/E.其中，能使ABCzXDEF的条件共有（）A.1组B.