勾股定理培优讲义

1、勾股定理知识点汇总一、基础知识点：1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 I;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2 -b2 =c22. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法4S.&方形EFGH =S正方形 ABCD，1 2 24 ab (b - a)二c ,化简可证.2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角

2、形的面积与小正方形面积的和为S =4 -ab c2 =2ab c2 大正方形面积为 S =(a - b)a2 2ab - b22所以a2亠b2 =c2方法三:1S梯形寸b)(a b)，S梯形=2S ade ' S abe=2 ab亠-c2，化简得证2 2ba3. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，|它只适用于直角三角形|，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。4. 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC中，乙C=90，则c»a2 b2 , b»c2-a2 , ba = c -b 知道直角三角形一

3、边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时， 以a, b , c为三边的三角形是直角三角形； 若a2 b2 : c2，时，以=a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以=a , b , c为三边的三角形是锐角三角形；= 定理中a ,

4、b , c及a2 bc2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a, b , c满足2 2 2a c =b ,那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边6 .勾股数满足a2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：(3, 4, 5 ) (5 , 12, 13 ) (6, 8, 10 ) ( 7, 24, 25 ) ( 8, 15, 17 )(9 , 12, 15 )用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n21 （ n _2, n为正整数）;2n

5、 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n为正整数）m2n2,2mn,m2 n2 （ m .n, m ， n 为正整数）7. 勾股定理的应用在使用勾股勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行 计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .8 .勾月勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用

6、两边的平方和 与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。经过证明被确认正确的命题叫做定理如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴

7、影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.2. 如图，以Rt ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的 关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S3< S 1D. S 2- S 3=S4、四边形 ABCD中, Z B=90°, AB=3 BC=4, CD=12, AD=13 求四边形 ABCD勺面积。5、在直线 上依次摆放着七个正方形（如图 4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3

8、,正放置的四个正方形的面积依次是考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm, 2cm，则斜边长为 2. （易错题）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、 已知直角三角形两直角边长分别为 5和12,求斜边上的高.4、 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、在 Rt ABC中，Z C=90°若 a=5, b=12，贝U c=;若 a=15, c=25，贝U b=;若 c=61, b=60,则 a=;若 a : b=3 : 4, c=10 贝U Rt

9、ABC的面积是=6、 如果直角三角形的两直角边长分别为n2 -1 , 2n （n>1）,那么它的斜边长是（）A 、2nB n+1C、n2- 1D、n217、在 Rt ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（)八2|22A. a +b =c b.2 a c2 .2 2.2 2=b c.c+b=aD.以上都有可能8、 已知 Rt ABC中，/ C=90°,若 a+b=14cm c=10cm,则 Rt ABC的面积是（）2 2 2 2A、24 cmB 36 cmc、48 cmd 60 cm9、 已知x、y为正数，且|x2-4 I + （ y2-3 ） 2=0,如果以x、y

10、的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角 三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C 7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰 _± 中，一丄 二，一匸是底边上的高，若 求 AD的长；厶ABC的面积.考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4 C. 11, 12, 132、若线段a, b, c组成直角三角形，则它们的比为（A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6 C 、5 ： 12 ： 133、

11、下面的三角形中：厶 ABC中，/ C=Z A-Z B;厶ABC中，三边长分别为 8,A. 1个 B . 2个D. 8),15, 17厶 ABC中，/ A:Z B:15, 17 .其中是直角三角形的个数有C . 3个 D . 4个C=1:2: 3;厶 ABC中，a: b: c=3 :).4: 5;若三角形的三边之比为于A，则这个三角形一定是D.不等边三角形）A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形已知a, b, cABC三边，且满足（a2- b2）（a 2+b2- c2） = 0,则它的形状为（A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形将直角三角形的三条边长

12、同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形 D. 等腰三角形2 2 27、若 ABC的三边长 a,b,c 满足 a b c ' 200 = 12a ' 16b ' 20c,试判断 ABC的形状。8、 ABC的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，贝U c应为，此三角形为。例3:求(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为 1： 、.3 : 2,则其最小角为 。考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3所示，其中二_ -米，二二二，_

13、，因某种考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为 果梯子的顶端下滑 或“小于”)10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为1米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，(填“大于”，4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；？另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A外，距离以直线计算，如果两只猴

14、子所经过的距离 相等，试问这棵树有多高？活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ,面积为mm计算两圆孔中心 A和60TC05、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位: 的距离为.6、如图：有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，至少飞了 米.7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走 3km,再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点（ A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三

15、角形纸片，两直角边AC=6 BC=8,将厶ABC折叠，使点 C落在A边上上的点E,折痕为AD,连接DE贝U CD等于（A.25B.223D.3第6题图BC?于 M 交 AB于 N,若 AC=4, MB=2MC 求 AB 的长.BC边上的点2、如图所示，已知 ABC中，/ C=90°, AB的垂直平分线交3、折叠矩形ABCD的边AD,点D落在求CF和EG4、如图，在长方形 ABCD中，DC=5在DC边上存在一点 E,沿直线 人丘把厶ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设 此点为卩，若厶ABF的面积为30,求折叠的厶AED的面积5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3叫将其折

16、叠，使点D与点F重合，那么折叠后DE的长是多少?6、如图，在长方形 ABCD中，将.：ABC沿 AC对折至厶AEC位置，CE与AD交于点F。(1 )试说明：AF=FC (2)如果AB=3, BC=4,求AF的长7、如图2所示，将长方形 ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm AB=8cm则图中阴影部分面积为 .8、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3, BC=7, 重合部分厶EBD的面积为.9、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点 A与CD边上的点M重合，折痕交 AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点

17、G 如果 M为CD边的中点，求证： DE DM EM=3 4: 5。10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3 BC=4若将该矩形折叠，使C点与A点重合，？则折叠后痕迹 EF的长为( )A. 3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.772-511、如图1-3-11 ,有一块塑料矩形模板 ABCD长为10cm宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A D重合），在AD上适当移动三角板顶点 P: 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边

18、PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cn?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由.E、F分别是AB12、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜边BC的中点, AC边上的点，且 DEL DF,若BE=12, CF=5.求线段 EF的长。13、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30°，点A处有一所中学，AP= 160m。假设拖拉机行驶 时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/

19、h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 5,则正方形 A, B, C, D的面积的和为 2、已知 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD再以Rt ACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 .考点九、图形问题1、如图1,求该四边形的面积 2、如图 2，已知，在 ABC中, Z A = 45 ° , AC =2,长为.3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD

20、是长方形 ，上部是以AD为直径的半圆 ，其中AE =2.3 m, BC =2 m ,现有一辆装满货物的卡车，高为2.5 m ,宽为1.6 m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由D4、将一根长24 cm的筷子置于地面直径为 5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围5、如图，铁路上 A B两点相距 25km C、D为两村庄，DA?垂直AB于A, CB垂直AB于B,已知AD=15km BC=10km 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地

21、，已知 AD=8m CD=6m Z D=90° , AB=26m BC=24m求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCA B C D'的表面上，求从顶点 A到顶点C'的最短距离.（图I）2、如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm, 只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点,则最少要爬行_cm_3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案

22、最省电线.30°的方向上，已知在 C岛周围9考点十二、航海问题1、 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里.2、 如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的 M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行 30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿 BC方向以15km/h的速度向D移动，

23、已知城市 A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？*ABD北考点十三、网格问题1、 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（A. 0 B . 1 C . 2 D . 32、 如图，正方形网格中的 ABC若小方格边长为 1,则厶ABC是 （）A.直角三角形 B.锐角三角形 C钝角三角形 D.以上答案都不对3、 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD勺面积是（）A.25 B. 1

24、2.5 C. 9 D. 8.5（图1）（图2）C4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： 使三角形的三边长分别为 3、.8、（在图甲中画一个即可）； 使三角形为钝角三角形且面积为4 （在图乙中画一个即可）.甲乙培优题一、选择题1. 一等腰三角形底边长为 10cm腰长为13cm,则腰上的高为（）A. 12cmB.13C.120 13 d.2 .已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为)1，那么此直用三用形的周长是（A. 5B.3C.3+2D. "3+3223、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A、

25、三个角的比为1:2:3 B、三条边满足 a A 、120 B 、121 9 、一个三角形的三边分别是=b2 - c2C、三条边的比为 1:2:3 D、三个角满足关系/B=Z C+Z A4、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（） 12,16,20、9,12,15、13,12,6、9,12,14A、 B 、 C 、 D、15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hem,贝U h的取值范围是（).A. h< 17cmB. h> 8cmC . 15cm< h w 16cm5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为A. 10B.15C.30&直角三

26、角形有一条直角边的长为D. 7cm< hw 16cm6、 ABC中，AB=13,AC=15,高 AD=12,则 BC的长为()A. 14 B. 14或 4 C. 8 D. 4和 87、 ABC中，Z C=90°,若 AB= 5,贝U AB2+AC2+ BC2=()D.5011,另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长（C 、132D 、123ni+1,2m,m2-1,则此三角形是（A.锐角三角形B.直角三角形 C. 钝角三角形D.等腰三角形A10、已知一个Rt的两边长分别为 3和4，则第三边长的平方是（）A . 25 B . 14 C . 7D. 7 或 25二、解答题1、如图

27、（8）,水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，求水池的深度 AC.2、如图3，正方形 ABCD中, E是BC边上的中点,直角三角形吗？为什么？F是AB上一点，且FB二1 AB，那么 DEF是4图33、如图4,已知长方形 ABCC中AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 E,将厶ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F。求CE的长；求折痕 AE的长和重叠部分厶 AEF的面积4、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的

28、地方灯刚好打开？5、如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3 ,PC=4,求厶ABC的边长.6、变式2、如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BC±的点，且/ EAF=45 , 试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由8、变式：如图,人。是厶ABC的中线，/ ADC=45BC的长.，把 ADC沿直线AD翻折，点7、如图，矩形纸片 ABCD勺边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落在CD边上 的点G处，求BE的长.fi9、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，

29、它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿 一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬 行多少路程才能捕到害虫 ？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）10、变式：如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是爬行2cm则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？1cm,假设一只蚂蚁每秒11.已知:如图 13, ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求 BC边上的高.12.如下图，一个牧童在小河的南4k

30、m的A处牧马，而他的小屋 位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河13、如图，在 ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证:14、在正方形 ABCD中, E是AD的三等分点,DF =2FC 7AB2-AP2东CBE与EF垂直吗？请说明理由。15、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为BC=6m,AC=8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。（图2,图3备用）B® 1图216、请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们

31、分割后拼接成一个新的正方形，要求：画 出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.2小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x > 0）,依题意，割补前后图形的面积相等，有x=5,解得x=。由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，于是，画出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形.请你参考小东同学的做法，解决如下问题:现有10个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图中画出1）中用实线画出拼接成的新正方形.（说明:分割线，并在图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 直接画出图形，不

32、要求写分析过程.）17、如图，把长方形纸片 ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起, （1 ）求BF的长 （2）求EF的长18、如图 ABC中，/ ACB=90 , AC=12 BC=5 AN=AC BM=BC求 MN的长度19、如图所示，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , AC=AB / DAE=45，且 BD=3 CE=4 求 DE的长20、如图，已知： C =90 , AM 二 CM , MP _ AB于 P.求证:2 2 2BP=AP BC21、探索与研究（方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以/ BAE=90° ,且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt BAE和Rt BFE的面积之和.根 据图示写出证明勾股定理的过程；（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt BEA