数学球的表面积和体积新人教A必修PPT学习教案

1、会计学1数学球的表面积和体积新人教数学球的表面积和体积新人教A必修必修例题讲解例题讲解课堂作业课堂作业教学目标教学目标重点难点重点难点球表面积球表面积球的体积球的体积课堂练习课堂练习封底封底退出退出课堂小结课堂小结第2页/共29页l掌握球的体积、表面积公式掌握球的体积、表面积公式l掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割想进一步理解分割近似求和近似求和精确求和的思想方法精确求和的思想方法l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力养学生应用数学的能力l能解决球的

2、截面有关计算问题及球的能解决球的截面有关计算问题及球的“内接内接”与与“外切外切”的几何体问题的几何体问题教学目标教学目标第3页/共29页球的体积公式的推导球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点化化为为准准确确和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割重点难点重点难点第4页/共29页R.34,32:33RVRV 从而从而猜测猜测半球半球? 半球半球V331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积第5页/共29

3、页 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等第6页/共29页当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的

4、面积公式法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和第7页/共29页,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr A

5、OB2C2球的体积球的体积AO第8页/共29页OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积第9页/共29页nininRnRrVii,2, 1,)1(1232 niinRRri,2, 1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积第10页/共29页6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理

6、：半径是定理：半径是球的体积球的体积第11页/共29页2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越越大大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体趋近于无穷大时就精确到等于球的体积积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小

7、块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，图求出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方回忆球的体积公式的推导方法法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面

8、，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积第12页/共29页oiS o球的表面积球的表面积第13页/共29页第第一一步步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积第14页/共29页第第二二步步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 3131

9、3131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积球的表面积第15页/共29页第第三三步步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从而从而球的表面积球的表面积Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 第16页/共29页例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .333

10、6125)25(3434cmRV (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例题讲解例题讲解第17页/共29页(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.142

11、34)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例题讲解例题讲解第18页/共29页( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解第19页/共29页例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a

12、,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径心重合，则正方体对角线与球的直径相等。相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解第20页/共29页OABCO 例已知过

13、球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题讲解例题讲解第21页/共29页.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O

14、的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积例题讲解例题讲解第22页/共29页2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习33:2

15、2:1第23页/共29页4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二2422:134:11.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习第24页/共29页7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,36.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二课堂练习课堂练习 94 3312第25页/共29页l了解球的体积、表面积推导的基本思路了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割：分割求近似和求近似和化为标准