静电场自主招生

1、库仑定律库仑定律 场强叠加原理场强叠加原理 电势能与电势电势能与电势 导体空腔导体空腔 导体的静电平衡性质导体的静电平衡性质 电容器电容器 库仑定律库仑定律在真空中，在真空中，两个静止点电荷间的两个静止点电荷间的相互作用电力的相互作用电力的方向沿着它们的连线方向沿着它们的连线；同号电荷相斥，异号电荷同号电荷相斥，异号电荷相吸相吸；其；其大小与它们的电量的乘积成正比大小与它们的电量的乘积成正比，与它，与它们之间距离的平方成反比。们之间距离的平方成反比。1785年，库仑通过实验得到真空中两个静止年，库仑通过实验得到真空中两个静止电荷间的电相互作用力：电荷间的电相互作用力：221rqqkf 可表示为

2、：可表示为：库仑定律的常用形式：库仑定律的常用形式：041k229/CmN109875.8kNmC108541. 822120 在国际单位制中：在国际单位制中：真空介电常数真空介电常数 令：令：在一直线上的在一直线上的a、b两点各有一个点电荷两点各有一个点电荷Q1、Q2，已知，已知 Q1 = + 9Q，Q2 = Q ，a b 距离为距离为 r。问：。问：(1)如果在直线上放上第三个点电荷如果在直线上放上第三个点电荷Q3，要使三个点电，要使三个点电荷都处于平衡状态，荷都处于平衡状态，那么那么Q3带什么电带什么电？带电量多少带电量多少？放在何处？放在何处？(2)Q1、Q2、Q3的平衡是稳定平衡还是

3、不稳定平衡？的平衡是稳定平衡还是不稳定平衡？394QQ(1)Q3带正电。带正电。b点点Q2平衡平衡根据根据a点点Q1平衡有平衡有23229rQQkrQk232299rrQQkrQk2/rr (2)Q3与与Q1对对Q2的作用力平衡的作用力平衡因此因此Q1、Q2和和Q3组成的组成的系统系统是不稳定平衡。是不稳定平衡。2/rr 232231rQQkrrQQk231 rrQQk2r232 rQQk r) (rf0qfE定义：定义： 电场强度电场强度描述场中各点电场的强弱变化的物理量描述场中各点电场的强弱变化的物理量 电场强度电场强度讨论讨论),(zyxEE 静电场为矢量场：静电场为矢量场： 国际单位制

4、国际单位制电场强度单位：电场强度单位：-1mV或：或：-1CN 电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理1. 点电荷的场强点电荷的场强qrerQqf204EfqrerQE204 球对称球对称Qrer根据库仑定律和场强的定义根据库仑定律和场强的定义)(),(rEzyxEconst.)(crrE2. 点电荷系的场强点电荷系的场强qfEniiqf1iiEE如果带电体由如果带电体由n个点电荷组个点电荷组成，如图成，如图或：或：iniiirrqE1304qfnii1场强叠加原理！场强叠加原理！由电力由电力叠加原理：叠加原理：iqqir真空中一半径为真空中一半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面,总电量为总电量

5、为q (q0).今今在球面面上挖去非常小的一块面积在球面面上挖去非常小的一块面积D DS (连同电荷连同电荷)，且假，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去设不影响原来的电荷分布，则挖去D DS后球心处的电场强后球心处的电场强度大小和方向度大小和方向. 24qR204SERD方向背向小面积元方向背向小面积元 例例 均匀带电（均匀带电（q）圆环（）圆环（R）轴线上的场）轴线上的场解：在圆环上任取电荷元解：在圆环上任取电荷元D Dq304qErr DDxyzoxqDrEDR对称性对称性 304xqxEr DD333000444xqxxqxEqrrr DD 322204qxRx 204qExRx 若若为

6、点电荷场为点电荷场!223/204()qxEixR204qr 0 x若若0Exyzox符合对称性要求符合对称性要求!典型带电体的电场分布典型带电体的电场分布 无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面 kE220 均匀带电球面均匀带电球面 220out4rkqrqE0inErER无限长均匀带电线（无限长均匀带电线（l l）弯成如图形状（）弯成如图形状（R已知）已知）,求圆心处场强求圆心处场强 RD Dl1 D Dl2 D Dq q q q 2014RREqlDD22204lELlDD22coscossin2RLRLlqqqqqDDD2212200cos4cos4RREERRlqqqlqDDD D圆心

7、处场强为零圆心处场强为零 D Dq q q q LR静电场力作功的特点静电场力作功的特点qbaE0Aq ElDDrrqE3040304q qrlrD1. 点电荷点电荷的静电场的静电场lD0204q qrrD0204abiiq qArrDbarrqq11400点电荷场力作功与具体路径无关！点电荷场力作功与具体路径无关！2. 一般一般电荷分布电荷分布的静电场的静电场0()abAq ElD0()iiqElD Aab 与路径无关！与路径无关！qbaEld0()abAq ElD0()iiqElD Aab 与路径无关！与路径无关！qbaEld类比：万有引力做功、引力势能类比：万有引力做功、引力势能 00b

8、baaWWElqqD 00qWqWab与试验电荷无关，只与电场在与试验电荷无关，只与电场在a、b两点的性质有关。两点的性质有关。可以引入一个新的物理量可以引入一个新的物理量电势电势0qWV 0()()bbaaWWq ElD1. 点电荷场电势点电荷场电势点电荷的电势是球对称的，对称中心在点电荷处；点电荷的电势是球对称的，对称中心在点电荷处；204iriQrrDrQV04 电势叠加原理电势叠加原理EPPVElD304PQrlrDQrP电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。2. 任意带电体电势任意带电体电势0WPVElD（2） 电势叠加原理电势叠加原理i

9、iEEiiVV0WiiPElD对于点电荷系对于点电荷系0WPVElD0WiPiElD（1） 由电势定义式出发进行计算由电势定义式出发进行计算 例例 计算均匀带电球面的电势分布计算均匀带电球面的电势分布PVElD2004RirRiQrrrD DRQo解：利用电势定义式进行计算解：利用电势定义式进行计算Rr （1）场点在球面内即）场点在球面内即 ，如图，如图均匀带电球面电场的分布为：均匀带电球面电场的分布为：)( 4)( 030RrrrQRrE.PRQ04.PRQo204iriQVrrDrQ04（2）场点在球面外，即）场点在球面外，即 RrPVElD2004RirRiQrrrD DRr （1）场点

10、在球面内即）场点在球面内即 ，如图，如图RQ04RrrQRrRQV ,4 ,400电势分布电势分布与电量集中在球心的与电量集中在球心的点电荷点电荷的电势分布相同的电势分布相同电势示意电势示意VrO等势体等势体R 例例 电荷密度分别为电荷密度分别为+ 和和- 的两块无限大均匀带电平行平的两块无限大均匀带电平行平面（如图所示），求电势分布。面（如图所示），求电势分布。解：建立如图所示坐标系解：建立如图所示坐标系a-a, xxax -aE , 0 ,00IxVE xD0axxD0a电场强度分布为：电场强度分布为：00axD-aao+ - x.IIIIII以以 x = 0 为势能零点：为势能零点：0I

11、IIxVE xD0II0 xVxD0a000axaxxD D0a0 x-aao+ - x.IIIIII在两个极板间：在两个极板间：在点电荷在点电荷q的电场中，选取以的电场中，选取以q为中心、为中心、R为半径的球面为半径的球面上一点上一点P处作电势零点，则与点电荷处作电势零点，则与点电荷q距离为距离为r的的P点的电点的电势为势为04qr0114qrR04qrR0114qRr(A) (B) (C) (D) 电荷以相同的面密度电荷以相同的面密度 分布在半径为分布在半径为r1和和r2的两个同心球的两个同心球面上设无限远处电势为零，球心处的电势为面上设无限远处电势为零，球心处的电势为U0. (1) 求求

12、电荷面密度电荷面密度 . (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷改变量？电荷改变量？ 012UUU120()rr0012Urr(1) (2) 120 10 2044qqrr2211rqqr 222122121444()rqrrr rrr D 如图所示，三根等长的细绝缘棒，连接成等边三角形如图所示，三根等长的细绝缘棒，连接成等边三角形ABC，p点为三角形的内心，点为三角形的内心，Q点与三角形共面，且与点与三角形共面，且与p点相对棒点相对棒AC对称三棒都带有电荷，电荷的分布与假设三棒皆为导体棒对称三棒都带有电荷，电荷的分布与假设三棒皆为导体棒时电荷分布完全

13、相同，此时测得时电荷分布完全相同，此时测得P，Q两点的电势分别为两点的电势分别为UP、UQ。现将现将BC棒取走，且设不影响棒取走，且设不影响AB,AC棒上原有电荷的分布，棒上原有电荷的分布，求这时求这时p、Q两点的电势两点的电势.出发点：电势叠加、对称性出发点：电势叠加、对称性 设三棒在设三棒在P电势电势Ux，AB，BC在在Q电势电势Uy xPUU32QxyUUU取走取走BC： 2PxUU QxyUUU 解得：解得： 23PPUU 1162QPQUUU 等势面等势面1V2312VVDDczyxV,通常约定相邻等势面的电势差通常约定相邻等势面的电势差为常量，可以得到一系列的等为常量，可以得到一系

14、列的等势面势面将电势相等的场点连成连续的曲面将电势相等的场点连成连续的曲面等势面等势面满足方程：满足方程：2V3V综合势场图 等势面的性质等势面的性质1. 电荷沿等势面移动，电荷沿等势面移动，电场力不做功电场力不做功2. 电场强度与等势面正交；电场强度与等势面正交；电力线由电势高的地方指电力线由电势高的地方指向电势低的地方向电势低的地方3. 相邻等势面相邻等势面间距小间距小处，处，场强大场强大；间距大处，场强小。；间距大处，场强小。 例例讨论电偶极子在均匀外电场中受到的作用力、力矩及讨论电偶极子在均匀外电场中受到的作用力、力矩及它所具有的电势能。它所具有的电势能。解：解：。-q+qEFFqEq

15、EqF)(但力偶矩不为零！但力偶矩不为零！力偶矩为：力偶矩为：qsinFlM EpMqsinqElqsinpE电偶极子受力电偶极子受力0。-q+qEFFqEpM电势能电势能WWWlEVVdqcosqElWVqqV)()(VVqqcosElqcospEEp两个带电量均为两个带电量均为Q的点电荷分别固定于相距的点电荷分别固定于相距2r的的A、B两点。两点。过过A、B连线的中点连线的中点O处有一光滑长细杆，细杆与处有一光滑长细杆，细杆与A、B连线连线方向成方向成角。细杆上套有一带电量为角。细杆上套有一带电量为q、质量为、质量为m的带电小环，的带电小环，此小环正好位于此小环正好位于O点处，在电场力的作

16、用下处于平衡状态。点处，在电场力的作用下处于平衡状态。问此时小环处于何种平衡状态？问此时小环处于何种平衡状态？ ABOrrf1f2l1l2sa ab bq qbacoscos21ffFs122212kQqkQqffll22221222222cos2cos2cos2coslrsrsrrslrsrsrrsqqqq12coscoscoscossrsrllqqab )cos21 (cos)cos21 (cos2/322/32qqqqrsrrsrsrrskQqFs33(cos )(1cos )3(cos )(1cos )skQqrsrrssrrqqqqskQqrFs)cos31 (223q略去略去s2项

17、项 21 3cos0q21 3cos0q21 3cos0q非稳定平衡非稳定平衡 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 静电感应：静电感应：在外电场作用下，导体内自由在外电场作用下，导体内自由电子有宏观移动，导体表面出电子有宏观移动，导体表面出现宏观电荷分布的现象。现宏观电荷分布的现象。一、导体的静电平衡状态一、导体的静电平衡状态静电平衡：静电平衡：当导体内部和表面都没有宏观当导体内部和表面都没有宏观的电荷移动时，导体处于的电荷移动时，导体处于静电静电平衡平衡。此时，感应电荷产生的。此时，感应电荷产生的附加电场与外加电场在导体内附加电场与外加电场在导体内部相抵消。部相抵消。oE-F-+-00EEE

18、二、导体的静电平衡条件二、导体的静电平衡条件（2）导体表面外的场强垂直于导体的表面。否则，）导体表面外的场强垂直于导体的表面。否则，自由电子将继续沿表面宏观移动。自由电子将继续沿表面宏观移动。0EEE0（1）导体内部，场强处处为零。否则，自）导体内部，场强处处为零。否则，自由电子将继续有宏观移动。由电子将继续有宏观移动。E-FbaUU0abVV处于静电平衡时，导体上各点处于静电平衡时，导体上各点电势相等；电势相等；在导体上任意两点间的电势差为：在导体上任意两点间的电势差为：ab三、导体的电势三、导体的电势导体成为导体成为等势体等势体，导体表面成，导体表面成为为等势面等势面。 电荷只分布在导体表

19、面上，导体内部处处不带电电荷只分布在导体表面上，导体内部处处不带电0内E四、导体上电荷的分布四、导体上电荷的分布导体内部没有净电导体内部没有净电荷，电荷只能分布荷，电荷只能分布在导体表面。在导体表面。S+0内E（1）在导体表面曲率为正值）在导体表面曲率为正值且较大的地方电荷面密度较且较大的地方电荷面密度较大，大，3. 静电平衡下的孤立导体静电平衡下的孤立导体实验研究导体电荷的实验研究导体电荷的定性分布：定性分布：其表面处其表面处面电荷密度面电荷密度 与该表与该表面曲率有关（如图）面曲率有关（如图）（2）在曲率较小部分电荷面密度较小）在曲率较小部分电荷面密度较小当表面凹进时，曲率为负值，电荷面密

20、度更小。当表面凹进时，曲率为负值，电荷面密度更小。例题例题 两块近距离放置的导体平板，面积均为两块近距离放置的导体平板，面积均为S，分别带电，分别带电q1和和q2。求平板上的电荷分布。求平板上的电荷分布。解：解：q1q2BA121qSS由静电平衡条件，导体板内没有电场由静电平衡条件，导体板内没有电场022224321 ooooAE41 32 022224321 ooOOBESqq221Sqq221243qSS 2 3 4 1电荷守恒：电荷守恒：特例：特例：当两平板带等量的相反电荷时，当两平板带等量的相反电荷时，Qqq214132 0 SQ电荷只分布在两个平板的内表面！电荷只分布在两个平板的内表

21、面！由此可知：两平板外侧电场强度为零，由此可知：两平板外侧电场强度为零，内侧内侧0E这就是平板电容器。这就是平板电容器。q1q2BA41 32 Sqq221Sqq221 2 3 4 1两个相距很远的导体，半径分别为两个相距很远的导体，半径分别为r1、 r2，都带有的电量，都带有的电量q，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量 20210144rqrq12qqqqrrrq21112212rqqrr两球等势，电荷守恒两球等势，电荷守恒 包括：包括：（1）导体空腔上的电荷分布特征）导体空腔上的电荷分布特征（2）空间电场分布特征）空间电场分布特

22、征本节讨论如图所示有空腔的导本节讨论如图所示有空腔的导体与静电场的相互作用问题。体与静电场的相互作用问题。.qS一、腔内无电荷分布一、腔内无电荷分布内表面没有宏观电荷分布，电荷只能分布在外表面内表面没有宏观电荷分布，电荷只能分布在外表面若内表面有一部分是正若内表面有一部分是正电荷，一部分是负电荷分电荷，一部分是负电荷分布，则不可能静电平衡。布，则不可能静电平衡。*静电平衡条件下，导体内部电场强度为零。静电平衡条件下，导体内部电场强度为零。+Q0腔内E即即或说，腔内电势处处相等。或说，腔内电势处处相等。腔内无电场腔内无电场二、腔内有电荷分布（二、腔内有电荷分布（q和腔体带电和腔体带电Q) 电荷分

23、布电荷分布qQ腔内表面电力线有头有尾电力线有头有尾QqQ腔外表面 腔内的电场由腔内的电场由 q 和腔内表面的感应电荷和腔内表面的感应电荷 -q 共同决定，共同决定，与腔内电荷位置、腔体的几何结构有关。与腔内电荷位置、腔体的几何结构有关。 导体腔外部电场由外表面电荷分布导体腔外部电场由外表面电荷分布 确定；与腔内电确定；与腔内电荷及腔内表面感应电荷无关。荷及腔内表面感应电荷无关。电荷守恒定律！电荷守恒定律！（2）（1）q- -q+ +qQ例题例题 金属球金属球A与金属球壳与金属球壳B同心同心放置。放置。已知球已知球A半径为半径为R1，带电为，带电为q，金属壳金属壳B内外半径分别为内外半径分别为R

24、2，R3，带电为带电为Q。求。求：（1) )系统的电荷分系统的电荷分布（布（2) )空间电势分布及球空间电势分布及球A A和壳和壳B B的的电势。电势。ABqQ解：解：（1）静电平衡时，）静电平衡时，导体（净）导体（净）电荷只能分布在导体表面上。电荷只能分布在导体表面上。球球A的电量只可能在球的表面。的电量只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电量分布在内、外两个表面。有两个表面，电量分布在内、外两个表面。由于由于A、B对称中心重合，电荷及场分布应该对对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球该中心是球对称。对称。 电荷在导体表面均匀分布电荷在导体表面均匀分布球球A的电量只可能在球的表面。的电量

25、只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电量分布在内、外两个表面。有两个表面，电量分布在内、外两个表面。由于由于A、B对称中心重合，电荷及场分布应该对对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球该中心是球对称。对称。 电荷在导体表面均匀分布电荷在导体表面均匀分布qQqq电荷分布如图所示。电荷分布如图所示。可以等效为：真空中三个中心可以等效为：真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。相互重合的均匀带电球面。（2）利用叠加原理求电势）利用叠加原理求电势rqVI04rq04rqQ04qqqQ O3RIIIrqQ04rqVII041AIIr RVV204Rq304RqQ3BIr RVV*同样办法可以得到各个区

26、域内的电场分布。同样办法可以得到各个区域内的电场分布。*注意外球壳接地时的电荷分布和电场分布情况。注意外球壳接地时的电荷分布和电场分布情况。1R2R一个未带电的空腔导体球壳，内半径为一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R在腔内离球心的在腔内离球心的距离为距离为d处处(dR)，固定一点电荷，固定一点电荷(+q). 用导线把球壳接地后，用导线把球壳接地后，再把地线撤去选无穷远处为电势零点，则球心处的电势为再把地线撤去选无穷远处为电势零点，则球心处的电势为多少？多少？ RqdqU00044接地，外表面电荷中和，外电量为零接地，外表面电荷中和，外电量为零 内表面带不均匀分布的负电荷内表面带不均匀分布的负

27、电荷(-q) 电势叠加电势叠加 例题例题 原来不带电的导体球附近有一点电荷原来不带电的导体球附近有一点电荷, ,如图所如图所示。求示。求（1）导体球上的电势；导体球上的电势；（2）若导体球接地，若导体球接地，导导体上感应电荷的电量体上感应电荷的电量解解: :设：感应电荷面密度为设：感应电荷面密度为 DiioRSdqV0044DiiSQqRod（1）导体是个等势体，若求出）导体是个等势体，若求出O点的电势，即为导体球的电势。点的电势，即为导体球的电势。dq040 （2）导体球接地）导体球接地导体是个等势体，导体是个等势体，O点的电势为点的电势为 0 ， 则：则：04400DdqRSiiqdRQ0

28、V设：感应电荷面密度为设：感应电荷面密度为 DiiSQ04400dqRQqRod电容器的电容电容器的电容ABVQCD定义：定义：一般情况下，导体并不是孤立的，而是多个一般情况下，导体并不是孤立的，而是多个导体组成的导体组成的导体组导体组基本单元：两导体组（基本单元：两导体组（A、B）电容器）电容器) ,(ABVQ D设电容器带电设电容器带电 Q，求两个极板的电势差，求两个极板的电势差D DVAB，按定义求按定义求C。电容器电容只与导体组的几何构形（及周围空间介电容器电容只与导体组的几何构形（及周围空间介质）有关，与带电多少无关质）有关，与带电多少无关固有的容电本领固有的容电本领电容器电容的计算步骤电容器电容的计算步骤*几种常见电容器几种常见电容器*球形电容器球形电容器1R2RBA平板电容器平板电容器dSA B柱形电容器柱形电容器1R2RABl电容器电容的计算电容器电容的计算平板电容