线代线性相关与线性无关

1、一、向量一、向量 向量组与矩阵向量组与矩阵二、线性表示的概念及判定二、线性表示的概念及判定三、线性相关性的概念及判定三、线性相关性的概念及判定四、线性相关性的有关结论四、线性相关性的有关结论4.2 4.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2an一、向量、向量组与

2、矩阵一、向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.12 n,nm n 个m维列向量所组成的向量组构成一个矩阵矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT ,21 TmTTB 2

3、1 12 (,)nA 线性方程组线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb当时，称为齐次线性方程组当不全为零时，称为非齐次线性方程组021 mbbbmbbb,21b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义

4、., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合二、线性表示的概念及判定二、线性表示的概念及判定121211221212.mmmmmmn 对于 维行（列）向量， ， ，如果存在一组数 ， ， ，使得则称向量是向量组， ，的一个线性组合，或称向量 能由向量组， ，线性表示（线义性表出）定定2 21、如果 可以由 线性表示，则称 与 成比例。1212122,(0,0,1,0,0),1,2, ;( ,),.ninnninnb bb 、已知 维单位向量其中任一 维向量能由线性表示维维基基本本向向量量n121

5、1223 .mmmxxxb、判断 能否由向量组， ，线性表示 非齐次线性方程组 是否有解12121122 :, 0mmmmAkkkkkk不不全全 为为给给 定定 向向 量量 组组如如 果果 存存 在在使使零零 的的 数数注意注意1211122 1. ,0, 0.nnnn 若线性无关 则只有当时 才有成立 2. ,.对于任一向量组 不是线性无关就是线性相关定义定义3 3三、线性相关性的概念及判定三、线性相关性的概念及判定则称向量组则称向量组 是是线性相关的，线性相关的，否则称它否则称它线性无关线性无关A., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组

6、组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 5.,.对两个组线关条两对应于含有向量的向量它性相的充要件是向量的分量成比例.,. 621一一定定线线性性无无关关维维基基本本向向量量nn 123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6).判别向量组的线1：性相关性例1211220mmmxxx 判断， ，是否线性相关仅有零解仅有零解线性无关有非零解线性相关123112223331123 , , .bbbb b b 已已知知向向量量组组线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关 例例2 20 ,332211321bxbxbxxxx使设

7、有, 0)()(133322211 xxx）（即即 , 0)()()332221131 xxxxxx （亦即亦即线线性性无无关关，故故有有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行. 线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解321321,0bbbxxx 定理定理1 1向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分

8、性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.m ,21m 即有即有112211 mmm 四、线性相关性的有关结论四、线性相关性的有关结论故故 01112211 mmm 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线

9、性表示.1 证毕证毕.定理定理 2 2向量组向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的. .m ,21m ,21 ,21m 向量组中一部分向量构成的向量组，称为该向量组的子向量组子向量组.定理定理 3 3 中中，若若存存在在某某子子向向量量组组维维向向量量组组在在mn ,21反反之之，一一定定线线性性相相关关线线性性相相关关，则则向向量量组组.,21m 子子向向量量组组线线性性无无关关，则则它它的的任任意意若若向向量量组组m ,21.都都线线性性无无关关定理定理 4 4 )(,2

10、1snsnnm 同同时时去去掉掉相相应应的的维维向向量量组组 ，其其中中维维数数向向量量组组个个分分量量后后得得ms ,21则则,2 , 1,2121mjaaaaaasjjjjnjjjj .,)2(2121也也一一定定线线性性无无关关线线性性无无关关，则则若若mm ;,)1(2121也也一一定定线线性性相相关关线线性性相相关关，则则若若mm . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用

11、；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，四个定理四个定理（难点难点）五、小结五、小结作业：作业：P113 1, 3（1）题型题型 向量组的线性相关性的判断向量组的线性相关性的判断方法一方法一 利用定义或结论判别利用定义或结论判别（1）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例（2）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含 有零向量的向量组必线性相关有零向量的向量组必线性相关（3）向量组线性无关，则该向量组的任何部分）向量组线性无关，则该向量组的任何部

12、分向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相关，则该向量组必线性相关。关，则该向量组必线性相关。（4）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关。（5）任意）任意n+1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关方法二方法二 1122121 111 2212 112 22211220(,),000mmiiim immmmnnn mmxxxaaaaxaxaxaxaxaxaxaxax设其 中得 到12m 若给方程组有非零解，则向量组， ，线性相关；若只有零解，则线性无关。题型题型 判断向量能否由向量组线性表出判断向量能否由向量组线性表出112212 ,tttxxxx xx 方法一先根据定义设 =由向量相等的关系，写出以为未知元的非齐次线性方程组。然后求解该方程组。如果有解就能线性表出，如果无解就