光学021光波场描述

1、简谐振动简谐振动: : 振动的物理量随时间振动的物理量随时间t t 的变化的变化具有周期性，且在每个周期中都按正弦具有周期性，且在每个周期中都按正弦或余弦函数规律变化或余弦函数规律变化) cos()() 2cos()(ootAtEtTAtE 振动方程式：振动方程式：A- 振幅；振幅； - 时间周期；时间周期； - 时间频率时间频率 - 时间圆频率时间圆频率, 表示在表示在2 时间内的振动次数时间内的振动次数 ( t+ o) - 简谐振动的相位。简谐振动的相位。 、 和和 间的关系：间的关系： ) cos()() 2cos()(ootAtEtTAtE 振动方程式：振动方程式： o - 是是 t

2、= 0时刻的位相值时刻的位相值，称为初位相称为初位相 波函数波函数: 描述波动过程的函数。是描述波动过程的函数。是r 和和 t 的函数。的函数。波动：振动在空间的传播。波动：振动在空间的传播。( , )cos () cos2 () cos()ooozz tAttzATAtkz一维平面简谐波的波函数一维平面简谐波的波函数光波场的数学描述光波场的数学描述矢量波：波函数为矢量的波。（光波）矢量波：波函数为矢量的波。（光波）标量波：波函数为标量的波。（声波）标量波：波函数为标量的波。（声波） 光波是矢量波，有些情况下可做标量光波是矢量波，有些情况下可做标量处理，可理解为是电磁波的某个分量。处理，可理解

3、为是电磁波的某个分量。 例如：线偏振光；自然光例如：线偏振光；自然光 一般：讨论干涉、衍射时做标量处理，一般：讨论干涉、衍射时做标量处理， 讨论偏振光时才做矢量波处理。讨论偏振光时才做矢量波处理。波动的基本特点：具有时空周期性。波动的基本特点：具有时空周期性。时间周期：时间周期： T时间频率时间频率: t t 增加到增加到 nTnT 时，振动重复原来的状态时，振动重复原来的状态。空间周期：空间周期： 空间频率空间频率: 1/ 1/ 表示单位长度内的波长数。表示单位长度内的波长数。Z1和和 Z1+ n n 的两点具有相同的振动态。的两点具有相同的振动态。时间周期性和空间周期性通过波速时间周期性和

4、空间周期性通过波速 联系在一起联系在一起T比较比较 22kT时间圆频率时间圆频率-时间内的振动次数时间内的振动次数空间圆频率空间圆频率-长度内的波长数长度内的波长数 理想单色光波（简谐波）的一般描述理想单色光波（简谐波）的一般描述 简谐波：一个无能量损失的电偶极子简谐波：一个无能量损失的电偶极子辐射出的光波是一种严格意义上的理想辐射出的光波是一种严格意义上的理想单色光波，通常称为简谐波。单色光波，通常称为简谐波。一般标量形式一般标量形式)(cos)(),(0ptpAtpEt Z t Z E (p,t) t 时刻在时刻在 p点看到的振动，是一个点看到的振动，是一个 时空函数。时空函数。)(cos

5、)(),(0ptpAtpE时空函数时空函数空间位相因子空间位相因子时间位相因子时间位相因子振幅振幅描述振幅的描述振幅的空间分布空间分布描述位相的描述位相的空间分布空间分布描述位相的描述位相的时间分布时间分布)(cos)(),(0ptpAtpE讨论简谐波的意义讨论简谐波的意义1.许多实际波动过程可近似看成是简谐波许多实际波动过程可近似看成是简谐波 实际光源：实际光源：一个振子发光的时间一个振子发光的时间 10-8S 振动周期振动周期 10-1410-15S 0点的位相落后于点的位相落后于Z=0点的振动位相。点的振动位相。 ( (-i t) ) 时间位相因子。时间位相因子。t t 0 0点的位相落

6、后于点的位相落后于t t = =0 0点的振动位相点的振动位相。复振幅：不含时间因子的波函数。复振幅：不含时间因子的波函数。 复振幅描述了波场的振幅和位相的空间分布复振幅描述了波场的振幅和位相的空间分布( (波场分布波场分布) )。)()(okziAez )(*)(okziAez 复指数函数和简谐函数之间只是对应关系，不是相等关 系。只有进行线性运算时，最后结果中相应实部才有效。复振幅的共轭复数复振幅的共轭复数12 三维三维平面简谐波平面简谐波设设: :平面波在三维空间沿任意方向平面波在三维空间沿任意方向( )( )传播传播a. 波面垂直于波矢波面垂直于波矢 b. 两波面间距离为两波面间距离为

7、 c. 波矢的大小波矢的大小d. 波场中任意点波场中任意点P( x,y,z) 的振动应与的振动应与PO点同点同K1) P 点的波函数点的波函数)(cos),(ookrtAtp P点的波函数点的波函数初初位位相相。点点的的位位置置矢矢。波波面面上上（场场点点P P）每每一一。 其其大大小小传传播播矢矢量量, , orkk 2 kkrro )cos(),( otrkAtp )(cos),(ookrtAtp 2) 平面波的特点平面波的特点a. 振幅振幅A是常数，与场点坐标无关。是常数，与场点坐标无关。 对等相面对等相面，面积面积S1，平均能流密度，平均能流密度I1。对等相面对等相面，面积面积S2，平

8、均能流密度，平均能流密度I2。据能量守恒定理，据能量守恒定理， 有有 I1 S1= I2 S2 S1= S2 I1 = I2 又 I1=A12, I2=A22 A1=A2 有有 A1=A2 =A3=A（P）=A设：一列平面波通设：一列平面波通 过空间传播。过空间传播。 S1 S2 I1 I2b位相的空间分布是直角坐标系的线性位相的空间分布是直角坐标系的线性 函数函数 波面为平面波面为平面 cos ,cos ,cos cos,cos,cosz zyyxxrkkkkkkzyx 场场点点的的位位置置矢矢量量则则波波矢矢的的三三个个分分量量为为为为若若传传播播方方向向的的方方向向余余弦弦 ）（orkp

9、）（ zkykxkrkzyx ozyxkp)coscoscos()( 可以证明：平面波的等相面是一平面可以证明：平面波的等相面是一平面波面：任意时刻，振动状态相同的各点组波面：任意时刻，振动状态相同的各点组 成的面，即等相面。成的面，即等相面。等相面要求等相面要求 常量 rkp)( rkp )( 若若 上上P P点点的的位位置置矢矢。 时时刻刻波波面面是是t tr r方方向向传传播播，k k设设：平平面面波波沿沿o o常常数数常常数数 时时刻刻t t对对t t常常数数则则等等相相面面方方程程为为o ootrkt-rk由解析几何由解析几何,上述方程代表以上述方程代表以 为法线的平面为法线的平面.

10、k3)3)空间频率空间频率 三维单色平面波的波三维单色平面波的波场中，某点的振动随空间场中，某点的振动随空间变化的周期分布与考察方变化的周期分布与考察方向有关。向有关。 cos xd cos zd cos yd kddx，dy ，dz和和dk分别是波函数分别是波函数 (p，t) 在在x，y，z，k方向上的空间周期。方向上的空间周期。两个相距两个相距的的 波面在波面在x、y、z 轴上和轴上和k方向上的方向上的截距分别为截距分别为空间频率空间频率 空间周期的倒数分别是空间周期的倒数分别是x、y、z三三个方个方向上的空间频率：向上的空间频率： cos xf cos yf cos zf ( fx2+

11、fy2+ fz2 )1/2= 1/ = | f | f 称为空间频率矢量，它与波矢量称为空间频率矢量，它与波矢量 k 的关系为的关系为K = 2 fK又称为空间圆频率矢量。又称为空间圆频率矢量。 例例1. 1. 一列平面波的传播方向平行于一列平面波的传播方向平行于xzxz面，与面，与z z轴成倾角轴成倾角 ，写出它在，写出它在z=0z=0面上的复振幅分布。面上的复振幅分布。)cossin(exp),( zxikAzyx sinexp),( ikxAyx 在波前在波前 z = 0 面上面上设设0=0，则，则解解: :该平面波波矢的三个分量该平面波波矢的三个分量 分别为分别为 kx=ksin, k

12、y=0, kz=kcosk例例2复振幅互为复数共轭的复振幅互为复数共轭的波，称为共轭波。上题中那列波，称为共轭波。上题中那列平面波的共轭波是怎样的一列平面波的共轭波是怎样的一列波？波？解：与上列相共轭的波解：与上列相共轭的波k)cos()sin(exp)cossin(exp),(zxikAzxikAzyx)sin(exp),(ikxAyx在在 z = 0 面上面上13 球面简谐波球面简谐波1 1）发散的球面波）发散的球面波A：波源强度即单位距离处的振幅。：波源强度即单位距离处的振幅。A/r：距球心：距球心r处处P点的振幅。点的振幅。)exp()(exp),(tikriratro 2 2）会聚的

13、球面波）会聚的球面波)exp()(exp),(tikriratro 3）球面简谐波的特点）球面简谐波的特点a场点场点P的振幅与该点到振源的距离成反比的振幅与该点到振源的距离成反比证明：根据能量守恒定理，单位时间内通过任证明：根据能量守恒定理，单位时间内通过任一波面的能量相同。有一波面的能量相同。有rAArIIIrIIr1 141442212221121 )(exp),(okriratr A单位距离单位距离r1处的振幅，处的振幅，r1=1(单位距离单位距离)可见可见: r 相同的各点组成等相面相同的各点组成等相面 波面为球面波面为球面 。b波面为球面，位相与波面为球面，位相与r 成线性关系成线性

14、关系okrp)( 振幅分布：振幅分布：随随r 振幅振幅 a/ r ， 振幅的空间分布无周期性。振幅的空间分布无周期性。位相分布：位相分布：沿半径方向位相分布的周期为沿半径方向位相分布的周期为 空间频率空间频率1/ ，其它任意方向无其它任意方向无 周期性。周期性。由由rr高斯光束高斯光束2 波动方程和叠加原理波动方程和叠加原理一维波动微分方程一维波动微分方程222221tvz 三维波动微分方程三维波动微分方程2222222221tvzyx 波的叠加原理波的叠加原理线性齐次微分方程的解满足叠加原理线性齐次微分方程的解满足叠加原理),(),(1trCtrniii 波的叠加原理波的叠加原理 ),(),

15、(),(21tptptp 几列波在空间相遇时，在重叠区内任意几列波在空间相遇时，在重叠区内任意点任意时刻的合振动等于每个波单独存在时点任意时刻的合振动等于每个波单独存在时各自在该点的振动合成。各自在该点的振动合成。3 3 傅里叶（傅里叶（FourierFourier）分析）分析3.1 傅立叶级数傅立叶级数周期函数的傅立叶级数展开周期函数的傅立叶级数展开一周期函数满足一周期函数满足Dirichlet条件条件,可按傅氏级数展开可按傅氏级数展开设函数设函数 g(X) 的周期为的周期为2 ，则傅，则傅氏氏级数为级数为的的傅傅立立叶叶系系数数)(,)sincos(2)(1XgbaamXbmXaaXgmmommmo 其中变量其中变量X无量纲，物理上周期现象的变数和周期都有量纲，应加以变换无量纲，物理上周期现象的变数和周期都有量纲，应加以变换时域时域 变数变数 X tX t 时间时间, 时间周期时间周期 T a. 若将若将t / T视为变数视为变数 无量纲无量纲 b. 使使 t =T时时, 周期函数的变数周期函数的变数 X=2 即即 X= 2 t / T= 0t 上式建立了上式建立了 t X变量间的关系。变量间的关系。)2sin2cos(2 )2sin2cos