第二章传递函数-梅逊公式

1、第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型2.3 传递函数与系统动态结构图传递函数与系统动态结构图2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义nn 1nn 110nn 1mm 1mm 110mm 1d c(t)dc(t)dc(t)aaaa c(t)dtdtdtd r(t)dr(t)dr(t)bbbb r(t)dtdtdt设系统的标准微分方程为C(t)为输出量， r（t）为输入量在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到nn-1nn-110mm-1mm-110a s C(s) a s C(s)asC(s) a C(s)b s R(s) b s R

2、(s)bsR(s) b R(s)+整理得mm 1mm 110nn 1nn 110b sbsbs bC(s)R(s)a sasa s a传递函数，记作G（s） 传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s)mm 1mm 110nn 1nn 110b sbsb sbC(s)G(s)|R(s)a sasa sa零初始条件用方框图表示 G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)2.3.2传递函数的性质传递函数的性质1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。2）传递函

3、数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。4）传递函数是复变量）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数大于等于分子多项式的次数m。 5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。）传递函数具有正、负号（输入量和

4、输出量的变化方向）。 6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。7）传递函数可以写成）传递函数可以写成 ，K=bm/an，称为增益。称为增益。-zj(j=1,2,m)成为传递函数的零点，成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,n)成为传递函数的极成为传递函数的极点点mjj1nii1(sz )G (s )K(sp )上图所示的是)22)(3()2)(1()(2ssssssG的零、极点分布图。 比比例例环环节节的的传传递递函函数数r(t)c(t)t01C(t)r(t)微微分分环环节节的的传传递递函函数数4tKdttdKtut)()()()

5、(ssKsUtsKssUsGt)()()(输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为微微分分环环节节的的传传递递函函数数5)()()()()()()(1)()()(112212111RtiRtitutititidttiCRtiRtitucrRRRK21()2121RRCRRT)() 1()(sUTsKsUrc) 1()()()(TsKsUsUsGrc积积分分环环节节的的传传递递函函数数3 惯惯性性环环节节的的传传递递函函数数2C(t)r(t)振振荡荡环环节节的的传传递递函函数数6延延迟迟

6、环环节节的的传传递递函函数数72.3.1 动态结构图动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。 动动态态结结构构图图的的组组成成 1）信号线带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。2）综合点3）引出点4）方 框在信号线上的“”，表示信号引出的位置。方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。如果输入的信号带“”号，就执行加法；带“”号就执行减法。动态结构图建立步骤是 建立系统各元部件的微分建立系统各元部件的微分

7、方程。要注意，必须先明确系方程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考统的输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。虑相邻元件间的负载效应。 按照系统中各变量传递顺按照系统中各变量传递顺序，依次连接序，依次连接3）中得到的结）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，构图，系统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系输出量放在右端，即可得到系统的动态结构图。统的动态结构图。 将得到的系统将得到的系统微分方程组进行拉微分方程组进行拉氏变换。氏变换。 按照各元部件的输按照各元部件的输入、输出，对各方程进入、输出，对各方程进行一定的变换，并据此行一定的变换，并据此绘出各元部件的动态结绘出

8、各元部件的动态结构图。构图。1234CR2R1U1U2I1I2IR2U2(S)步骤一 列写方程组步骤二 画出对应方程的部分结构图1R1U2(S)U1(S)_U (S)CS步骤三 依次连接得到系统结构图CRirucu例：2.3-1 画出该系统的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：rccuR iudui=Cdt取拉氏变换rccU (s)RI(s)U (s)I(s)CsU (s)rccU (s)U (s) I(s)RI(s)U (s)Cs即动态结构图如下： 例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图( (a a) ) 电电路路图图ru1i2i1R2Rcu1C2

9、C解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：rc111c1c22c1121c22uuiRuuiR1u(ii )dtC1ui dtC取拉氏变换取拉氏变换)4()()()3()()()()2()()()()1()()()(222212111111sCsIsURsUsUsIsCsIsIsURsUsUsIccCCCr动态结构图- - - -C CB BA A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式2.4.1

10、系统结构图的等效变换系统结构图的等效变换 原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变一、三条基本法则：1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积 12( )( )( )( )( )C sG sG s G sR s即)()(1sGsGnii对于n个环节串联，则有2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 G1(s)G2(s)1C(s)2C(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)121212C(s)=C (s)+C (s)=R(s)G (s)+R(s)G (s)C(s) G(s)=G (s)G (s)R(s)若若G2(s)为负反馈，为负反馈，12G(s)=G (s)-G

11、 (s)则对于n个环节并联，则有niisGsG1)()(3、反馈联接（闭环）G(s)H(s)(+)R(s)E(s)C(s)B(s)(s)R(s)C(s)C(s)E(s)G(s)E(s)R(s)B(s)(B(s)C(s)H(s)C(s)G(s)R(s)-C(s)H(s)C(s)1+G(s)H(s)=G(s)R(s)C(s)G(s)(s)=R(s)1G(s)H(s)负反馈时）整理得E(s)R(s)B(s)(C(s)G(s)(s)=R(s)1G(s)H(s)同理正反馈时）(s)1闭环传递函数的通式为前向通道的传递函数闭环的开环传递函数负反馈时，分母项取负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取；正反馈时

12、，取“-”（1）前向通道：G(s)（2）反馈通道：H(s)（3）闭环的开环传递函数：KB(s)G(s =G (s)H (s)R (s)）（4）单位反馈系统：H(s)=1任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)H(s)G(s)1H(s)R(s)C(s)Hm(s)(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Cm(s)E(s)U(s)D(s)C(s)God(s)R(s)1a2a1C (s)2C (s)1cv01rcv0mr(t)d(t)D(s)=0C(s)C (s)G (s)G (s)G (s)C

13、 (s)C(s)(s)R(s)R(s)1+G (s)G (s)G (s)H (s)只考虑，不考虑时，即1cv0m2od12oddcv0md(t),r(t)R(s)=0C (s)G (s)G (s)G (s)H (s)C(s)C (s)G (s)D(s)C(s)C (s)C (s)G (s)C(s)(s)R(s)1+G (s)G (s)G (s)H (s) 只考虑不考虑，即，二、其他等效变换法则1、连续综合点或引出点之间的次序可任意交换，但相邻的综合点与引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2）2X (s)1X (s)4X (s)3X (s)Y(s)2X (s)1X (s)4X (s)3X

14、 (s)Y(s)2X (s)1X (s)4X (s)3X (s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)4X (s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)4X (s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)4X (s)Y(s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)Y(s)2X (s)1X (s)3X (s)2X (s)2、综合点或引出点只能在紧靠环节的前后两端移动，移动时中间不得夹杂引出点或综合点，并要等效。综合点前移，所加的方框为移过方框的传递函数的倒数所加的方框为移过方框的传递函数的倒数，如图（a）所示。综合点后，所加的方框为

15、移过方框的传递函数所加的方框为移过方框的传递函数，如图（b）所示。 引出点前移，所加的方框为移过方框的传递函数所加的方框为移过方框的传递函数，如图（a）所示。 引出点后移，所加的方框为移过方框传递函数的倒数所加的方框为移过方框传递函数的倒数，如图(b)所示。 3、通常综合点应有由综合点的方向移动，引出点应向引出点的方向移动例2.4-1求下面系统结构图的的传递函数11R11C s21R21C s123abc 解： 该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先要移动其综合点或引出点，接触交叉。这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点1、将综合点2移至综合点1之前综合点前移，所加

16、方框为移过方框传递函数的倒数，相邻综合点可以任意交换2、引出点b移至引出点c后面引出点后移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻引出点可以任意交换C(s)R(s)11R11C s21R21C s123abc1R2C s等效为：等效为：1(s)2(s)11111111/R 1/C s1(s)1+1/R 1/C sR C s122222221/R 1/C s1(s)1+1/R 1/C sR C s 1c12r1212112212U (s)G (s)G (s)1U (s)1 G (s)G (s)R C s(R C s 1)(R C s 1)+R C s R(s)C(s) 例2.4-2 已知系统结构

17、图如下，试用等效变换法求传递函数(s)1G (s)2G (s)5G (s)4G (s)H(s)3G (s)R(s)a解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，如下C(s)1a1G (s)2G (s)5G (s)4G (s)H(s)3G (s)R(s)C(s)H(s)122a思考题思考题1： 化简所示的系统的结构图，求传递函数。 解：解：化简的方法是，先通过移动引出点和综合点，消除交叉连接，使用权动态结构图变成独立的回路，然后再进行串联、并联及反馈的等效变换，最后求得系统的传递函数。)()()()()(1)()()()()(3212321sGsGsGsHsGsGsGsGsR

18、sC思考题思考题2: 用方块图的等效法则，求所示系统的传递函数C(s)/R(s)。R R( (s s) )A A- -B BC C( (s s) )1G2G3G4G1H2H- -C解：解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简。 R R( (s s) )- - - -C C( (s s) )1G2H5G6G7G21GH51G4325GGGG 串联和并联25561HGGG 反馈公式a51aCG将 移至，所在分支乘上21125512521

19、1255152161617111111GHGHGGGHGGHGHGGGGGHGGGGG71575211215123423412112( )( )( )11()1 ()()GGGC sG sR sGG HG H GGGG G GGG GGGHG H G思考题3：化简12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr解：解：综合点1和2交换- - -sCR111sCR221sCR21)(sUr)(sUc- - -sCR21) 1)(1(12211sCRsCR)(sUr)(sUc1)(121221122121sCRCRCRsCCRR)(sUr)(sUc2.4.2信号流图与梅

20、逊公式信号流图与梅逊公式信号流图的基本概念及绘制信号流图的基本概念及绘制节点节点用以表示变量或信号的点称为节点，用符号 表示，相当于结构图上的信号线。传输传输两节点间的增益或传递函数称为传输。支路支路联接两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。输出支路输出支路背向节点的支路输入支路输入支路指向节点的支路源点源点只有输出支路而无输入支路的节点称为源点或输入节点。阱点阱点只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点。混合节点混合节点既有输入支路也有输出支路的节点称为混合节点。 结构图变为信号流图的不同处结构图变为信号流图的不同处 P49 表表2.4-2例2.4-4 已知两级RC滤波网络的动态

21、结构图如下所示，试画出相应系统的信号流图解：在结构图上用小圆圈表示各变量对应的节点。综合点之后，引出综合点之后，引出点之前必须设置一个节点。点之前必须设置一个节点。1234567由结构图上的信号的传递关系，自左到右，依次画出各节点间的支路，并表明相应的增益增益为1可以省略，节点7处增加一条增益为1的输出支路，并增画节点8，表示系统的输出点例2.4-5 根据结构图画信号流图12345概念：概念：前向通路前向通路如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路总增益。用Pk表示第K条前向通路的总增益。例2.3-4中，前向通道只有1条

22、：12345678，例2.3-5中，前向通路有3条：123456，12456，12356；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s)211212P1/R R C C s单独回路单独回路起点与终点在同一个节点上，且信号通过任一节点的次数不大于一次的回路。回路增益用La表示。例2.3-4中，单独回路有三个，它们分别是：2342，La1= -1/R1C1s；34563，La2= -1/R2C1s；5675，La3= - 1/R2C2s。例2.3-5中，单独回路有2个，分别是：242，La1= -G1(s)H(s)；2342， La2= -G2(s)H(s)不接

23、触回路不接触回路如果回路间没有任何公共节点。例2.3-4中的La1与La3 2、梅逊公式、梅逊公式nkkk 1abcdefabcdefC(s)1G(s)PR(s)1LL LL L L aabcbcdefdefkkLL LL L LPKKK1所有单独回路增益之和所有两两互不接触回路增益之和所有每三个互不接触回路增益之和第 条前向通路的总增益第 条前向通路的余因子（ 中除去与第 条通路接触的有关前向通路与所有回回路所在项后，余下路接触时，余因的分）子必为部例2.4-6 利用梅逊公式求传递函数（1）单独回路：1：2342，La1= -1/R1C1s；2：34563，La2= -1/R2C1s；3：5

24、675，La3= - 1/R2C2s。三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触的回路，所以LbLc=La1La3，LdLeLf=0211212212121La1+La2+La3 +La1La311111R C sR C sR C sR R C C s （）前向通道12345678， 前向通路与三个单独回路都有接触。 2112121P1/R R C C s1 ，21212kk21121221212212122221111RR CCs1G(s)P11111+RCsR CsR CsRR CCs1RR CCsR Cs+R Cs+RCs+1 （2）单独回路：1：242，La1= -G1(s

25、)H(s)；2：2342， La2= -G2(s)H(s)两个单独回路相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0121La1+La21 G (s)H(s)+G (s)H(s) （）前向通道1：123456， P1=G1(s)G2(s)2：12456， P2=G2(s)G3(s)3：12356， P3=G1(s)G4(s)1= 2=3=1112233132314121G(s)(PPP)G (s)G (s)G (s)G (s)G (s)G (s)1+G (s)H(s)+G (s)H(s) 例2.4-7根据系统结构图画出系统的信号流图，并用梅逊公式求传递函数126534单独回路：1：3453，La

26、1= -G1(s)；2：23462，La2= - G1(s)3：234562， La3= - G1(s) G2(s)单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0a1121L12G (s)G (s)G (s) 7前向通道1：1234567， P1=G1(s)G2(s)，1=12：1567，P2=G2(s) , 2=13：123467，P3=G1(s) , 3=14：153467， P3 = -G1(s) ，4=1 74122kkk 1112G(s) G (s)G (s)1G(s)=P12G (s)G (s)G (s) 例2.4-8 用梅逊公式求传递函数单独回路：1：454，La1=

27、-G2(s)H1(s)；2：3453，La2= G1(s)G2(s)H1(s)3：4564， La3= - G2(s) G3(s)H2(s)单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0a211212321L1G (s)H (s)G (s)G (s)H (s)G (s)G (s)H (s) 前向通道1：12345678， P1=G1(s)G2(s)G3(s)，1=12：1278，P2=G4(s) , 该前向通路与三个单独回路都不接触，所以2= 123421121232G (s)G (s)G (s)G(s)=G (s)1+G (s)H (s)-G (s)G (s)H (s)G (s)G

28、 (s)H (s)c0odmG (s)G (s)G (s)H (s)控制装置的传递函数包括了执行调节机构在内的广义被控对象控制通道的传递函数被控对象的干扰通道传递函数检测变送装置的传递函数2.5系统的典型传递函数及自动控制系统的典型环节系统的典型传递函数及自动控制系统的典型环节一、控制系统的典型传递函数一、控制系统的典型传递函数mmmrc0rddodE(s)R(s)C (s)C (s)C(s)H (s)C (s)G (s)G (s)E(s)C(s)C (s)C (s)C (s)G(s)D(s)根据信号传递关系常用闭环系统传递函数常用闭环系统传递函数c0rcrc0mdodcdc0mC sG (s

29、)G (s)C sC s1sD(s)0R sR s1+G (s)G (s)H (s)C sG (s)C s2sR(s)0D sD s1+G (s)G (s)H (s)若系统输出量是 ( )( )( )、( )=( )( )( )( )、( )=( )( )rerc0mdodmedc0mE sE sE s13sD(s)0R sR s1+G (s)G (s)H (s)E s- G (s)H (s)E s4sR(s)0D sD s1+G (s)G (s)H (s)若系统输出量是 ( )( )( )、( )=( )( )( )( )、( )=( )( )rdcrcdrderedR(s)D(s)C(s)

30、=C (s)+C (s)=R(s)(s)+D(s)(S)E(s)=E (s)+E (s)=R(s)(s)+D(s)(S)当和同时作用时cm0odcrcdmcmmmmmm|G (s)H (s)|1G (s)=G (s)11(s)(s)0H (s)G (s)H (s)R(s)R(s)C(s)0C(s)H (s)R(s)H (s)H (s)E(s)R(s)C (s)R(s)C(s)H (s)0当满足，时，即，或 表示了表示了cm(t)能很好地跟踪能很好地跟踪r(t)变化，使跟踪误差变化，使跟踪误差e(t)=0，即跟踪准确、及时即跟踪准确、及时二、自动控制系统的典型环节二、自动控制系统的典型环节1c(