第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、2 3IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性，需要加相位校正网络但相位非线性，需要加相位校正网络FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统极点在原点极点在原点可用可用FFT计算实现计算实现有限长卷积有限长卷积但阶次比但阶次比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多4 窗函数法窗函数法频率采样法频率采样法等纹波逼近法等纹波逼近法计算机优化设计方法计算机优化设计方法5 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z

2、系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 6h(n)为实序列时，其频率响应：为实序列时，其频率响应：即群延时即群延时 是常数是常数( )dd 0( ) 第二类线性相位：第二类线性相位：( ) 第一类线性相位：第一类线性相位：()()jjH ee 10()( )Njj nnH eh n e()( )jHe 线性相位是指线性相位是指 是是 的线性函数的线性函数 H(w):H(w):幅度特性幅度特性, ,幅度函数，幅度函数，(w):(w):相位特性。相位特性。7( ) ( )(1)01h nh NnnN 即：nh(n)为实序列；为实

3、序列； nh(n) 关于关于 (N 1) /2 偶对称偶对称N为偶数时为偶数时N为奇数时为奇数时80( ) ( )(1)01h nh NnnN 即：nh(n)为实序列；为实序列； nh(n) 关于关于 (N 1) /2 奇对称奇对称N为偶数时为偶数时N为奇数时为奇数时91100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z (1)1()NzH z 1mNn 令系统函数：系统函数：( )(1)01h nh NnnN 由1(1)0( )NNmmzh m z 10(1)11 ( )( )()2NH zH zzH z得11(1)001( )( )2NNn

4、Nnnnh n zzh n z1(1)01( )2NnNnnh nzzz11122120( )2NNnnNNnzzzh n (1)1 ()NH zzH z 由1111221cos 221sin 2jNNnnz eNnzzNjn 11122120( )2NNnnNNnzzH zzh n12112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn 11122120( )2NNnnNNnzzH zzh n13n频率响应：频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn1

5、2N为第一类线性相位为第一类线性相位1( )2N n相位函数：相位函数：14n频率响应：频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )sin2jNNjjz enNH eH zjeh nn12N112201( )sin2NNjjnNeh nn0/21( )22N n相位函数：相位函数：为第二类线性相位为第二类线性相位15n 当当h(n)为实序列为实序列n 且当且当h(n)奇或偶对称奇或偶对称且当且当h(n)h(n)偶对称时为第一类线性相位，偶对称时为第一类线性相位，当当h(n)h(n)奇对称时为第二类线性相位奇对称时为第二类线性相位时，其相位特性为线性相位时，其相位特性为线性相

6、位16A、h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn对呈偶对称101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：幅度函数：1cos2Nn17-32011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah其中：其中：11,.,2Nn1( )22Na nhn18120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah11,.,2Nn其中：其中：1( )22Na nhn19( )0, , 2 H对呈偶对称cos()0, 2 n对，呈偶对

7、称120( )( )cos()NnHa nnh(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数202112012 ( )cos2NnNh nn101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：幅度函数：22/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：其中：23( )H对呈奇对称，并且为0n不能设计成高通、带阻滤波器，可不能设计成高通、带阻滤波器，可以实现低通、带通滤波器。以实现低通、带通滤波器。 /211( )( )cos2NnHb nnh(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数0,2处为偶对称2411sin(1)sin22NNNnn 11sin22NNn对呈奇对称

8、101( )( )sin2NnNHh nn幅度函数：幅度函数：1sin2Nn 25-3201( )2 ( )sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121( )( )sin()NnHc nn11,.,2Nn1( )22Nc nhn其中：1( )02Nh nNh奇对称且 为奇数26121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn27( )0, 2H故对， 呈奇对称，且为0121( )( )sin()NnHc nnn sin()0, 2 n因对，呈奇对称，且为0h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数n不能设计成高通、带阻、低通滤波不能

9、设计成高通、带阻、低通滤波器，只能实现带通滤波器。器，只能实现带通滤波器。 28/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 29( )H对呈偶对称/211( )( )sin2NnHd nnh(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数0 2( )H ， ，0n不能设计成低通、带阻滤波器，只不能设计成低通、带阻滤波器，只能实现高通、带通滤波器。能实现高通、带通滤波器。 303132(1)(1)要设计一个线性相位的低通要设计一个线性相位的低通DFDF 从幅度特性考虑，只能用第一种或第二种，从幅度特性考虑，只能用第一种或第二种， 即即h(n)h(n)为偶对称为偶对称(2)

10、(2)要设计一个线性相位的高通要设计一个线性相位的高通DFDF 从幅度特性考虑，可用第一种（从幅度特性考虑，可用第一种（h(n)h(n)偶，偶， N N为奇）或第四种（为奇）或第四种（h(n)h(n)为奇，为奇，N N为偶）为偶）(3)(3)要设计一个线性相位的带阻要设计一个线性相位的带阻DFDF 从幅度特性考虑只能用第一种（从幅度特性考虑只能用第一种（h(n) h(n) 为偶，为偶，N N为奇）为奇）(4)(4)要设计一个线性相位的带通要设计一个线性相位的带通DFDF 从幅度特性考虑，可以四种中的任一种设计从幅度特性考虑，可以四种中的任一种设计3334nh(n)为奇对称时，有为奇对称时，有9

11、00相移，适用于相移，适用于900移相器，而选频滤波器采用移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时。为偶对称时。35( )0iH z*, 1/iizz即 也是零点(1)1( )()NH zzH z 得：得：由由1）若）若 z = zi 是是H(z)的零点，则的零点，则 z = zi-1 也是零点也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对即共轭成对且镜像成对(1)1()( )0NiiiH zzH z 3637 设设N为偶数，有为偶数，有1112002( )( )( )( )N

12、NNnnnNnnnH zh n zh n zh n z1122(1)0012(1)0( )( )(1)( )NNnN mnmNnN nnH zh n zh Nmzh nzz 令m=N-n-1,则有( )(1)h nh Nn 381112(1)201( )( )()2NNnN nnNH zh n zzhz 12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz N为偶数：为偶数：N为奇数：为奇数：中间项h(N-1)/2单独列出仅需要仅需要N/2个乘法器个乘法器仅需要（仅需要（N N1 1）/2/2个乘法器个乘法器39第一类线性相位网络结第一类线性相位网络结构构x(n)y(n)z1z1z1z1z1

13、z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz 40第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111414210()( )Njj nddnHeh n e1( )2jj nddh nHeed( )( )dH zZT h n43线性相位理想低通滤波器的频率响应：

14、线性相位理想低通滤波器的频率响应：()( )0,jjjccddcceHeHe 1sin()( )2()ccjj nccdcnh needn其理想单位抽样响应：其理想单位抽样响应：中心点为中心点为 的偶对称无限长非因果序列的偶对称无限长非因果序列44 h hd d(n)(n)为偶对称，无限长非因果序列为偶对称，无限长非因果序列45n将将n可以将可以将看作是看作是与矩形窗与矩形窗RN(n)相乘相乘( )01( )0dh nnNh n其它12N( )( )( )dNh nh n Rn464710()( )Njj nddnHeh n e1( )2jj nddh nHeed( ) ( )H zZT h

15、n( )( )( )dNh nh n Rn窗函数法窗函数法48n时域加窗处理时域加窗处理n频域卷积频域卷积( )( )( )dNh nh n Rn11()()()()22jjjjjdNdNH eHeReHeRed 49n时域表示时域表示n频域表示频域表示n幅度幅度n相位相位101( )0NnNRn其它1120sin(2)()sin(2)NNjjj nNnNReeesin(2)( )sin(2)NNR12N50nFIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性11()()()( )()22jjjjdNdNH eHeReeHRd1( )( )()2dNHHRd511( )( )()2dNHHRd52(0)(

16、 )NHR近似于的全部积分面积()0.5(0)cHH2cHN为最大值，正肩峰2cHN为最小值，负肩峰( )H随，绕零值波动( )(0)HH随，绕波动0n cn 2cNn 2cNn 2cNn 2cNn 1( )( )()2dNHHRd幅度函数：幅度函数：53n在理想特性不连续点在理想特性不连续点c c附近形成过渡带。附近形成过渡带。过滤带的过滤带的宽度近似等于宽度近似等于R RN N()()主瓣宽度，主瓣宽度，=4/N =4/N ，过渡，过渡带越小越好。带越小越好。 n通带内增加了波动，最大的峰值在通带内增加了波动，最大的峰值在c c- - 2/N2/N 处。处。阻带内产生了余振，最大的负峰在阻

17、带内产生了余振，最大的负峰在c c+ +2/N2/N处。处。n通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 R RN N()()波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈快，快， R RN N()()旁瓣的大小直接影响波动的大小。旁瓣的大小直接影响波动的大小。n这些影响是对这些影响是对h hd d(n)(n)加矩形窗引起的，称之为加矩形窗引起的，称之为吉布斯吉布斯效应效应。 54时域截断，频域产生吉布斯现象时域截断，频域产生吉布斯现象频域截断，时域产生吉布斯现象频域截断，时域产生吉布斯现象信号与系统信号与系统551 1

18、、在、在cc附近形成过渡带，过渡带越小越好。附近形成过渡带，过渡带越小越好。 =4/N=4/N2 2、在通带和阻带内出现波动，使阻带衰减减、在通带和阻带内出现波动，使阻带衰减减 弱，甚至不满足阻带衰减要求。弱，甚至不满足阻带衰减要求。因此：减小过渡带，加大阻带衰减。因此：减小过渡带，加大阻带衰减。56n增加矩形窗口的宽度增加矩形窗口的宽度N，可以减少过渡带的宽度，可以减少过渡带的宽度， =4/N 。n但但加大加大N不能减少吉布斯效应的影响。不能减少吉布斯效应的影响。 N加大时，主、旁瓣幅度同时加高，相对值不变，总加大时，主、旁瓣幅度同时加高，相对值不变，总是最大肩峰比是最大肩峰比H(0)高高8

19、.95%,最大负峰比最大负峰比0值超过值超过8.95%。 不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值，即不能不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值，即不能加大阻带衰减。加大阻带衰减。-见见p206页图页图 n选择合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更选择合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可；旁瓣的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。这样总是以加宽过渡带为代价的。sin/2sin/2( )NxNxRN（）57n矩形矩形 (Rectangle)窗窗n三角（

20、三角（Bartlett）窗）窗 n汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗n汉明（汉明（Hamming）窗）窗 n布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗n凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗584N主瓣宽度最窄：主瓣宽度最窄：旁瓣峰值幅度：旁瓣峰值幅度：13dB阻带最小衰减：阻带最小衰减：21dB 1120()( )NNjjj nRRnWew n eWe窗谱：窗谱：sin2( )sin2RNW幅度函数：幅度函数： 101( )0nNw n其它59旁瓣峰值幅度：旁瓣峰值幅度：20log第一旁瓣峰值主瓣峰值阻带最小衰减：阻带最小衰减：20log第一旁瓣面积主瓣面积6021012( )212112nNn

21、Nw nnNnNN8N主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣峰值幅度旁瓣峰值幅度25dB阻带最小衰减阻带最小衰减25dB12()NjjW eWe窗谱：窗谱：2sin24( )sin2NWN幅度函数：幅度函数： 1N 6112( )1 cos( )21Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣峰值幅度旁瓣峰值幅度31dB阻带最小衰减阻带最小衰减44dB22( )0.5( )0.25RRRWWWWNN幅度函数：幅度函数： 1N 622( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN8N主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣峰值幅度：旁瓣峰值幅度：41dB阻带最小衰减：阻带最小衰减：53dB22( )0.54

22、( )0.23RRRWWWWNN幅度函数：幅度函数： 1N 6324( )0.420.5cos0.08cos( )11Nnnw nRnNN12N主瓣宽度最宽：主瓣宽度最宽：旁瓣峰值幅度：旁瓣峰值幅度：57dB阻带最小衰减：阻带最小衰减：74dB22( )0.42( )0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN幅度函数：幅度函数： 1N 6465窗型变化，旁瓣减小，阻带窗型变化，旁瓣减小，阻带衰减增大，主瓣宽度增加衰减增大，主瓣宽度增加6667 ：第一类变形零阶：第一类变形零阶 贝塞尔函数贝塞尔函数0( )I 2002111( )( )nINw nI01nN改变 可同时调整主瓣 宽度和旁

23、瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣宽度6869阻带最小衰减只由窗形状决定阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关都有关70对于窗函数法，加大对于窗函数法，加大N N只能减少过渡只能减少过渡带的宽度，不能加大阻带的衰减，要带的宽度，不能加大阻带的衰减，要加大阻带的衰减只能通过选择合适的加大阻带的衰减只能通过选择合适的窗函数来实现。窗函数来实现。基本原则：在保证阻带衰减的情况下，基本原则：在保证阻带衰减的情况下， 尽量选择主瓣窄的窗函数。尽量选择主瓣窄的窗函数。 71n给出希望设计的滤波器的频率响应函数给出希望设计的滤波器的频率响应函数n计算计算n如果如果不能用简单

24、函数表示，可以用求和不能用简单函数表示，可以用求和 代替积分。代替积分。n根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定窗函数根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定窗函数和和N值，见书表值，见书表7-2, 7-31( )()2jj nddh nHeed222101( )()()MjkjknjkMMMdddMkh nHeeIDFT HeM725. 将将与窗函数相乘得与窗函数相乘得FIR数字滤波器的数字滤波器的冲激响应冲激响应h(n)。6. 计算计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标，若不能满足要求，是否达到所要求的指标，若不能满足要求，根据情况重复根据情况重复4、

25、5、6步。步。 10()( )NjjnnH eh n e73例例7.2.1 用窗函数法设计线性相位用窗函数法设计线性相位FIR低通低通滤波器，设滤波器，设N=11，=0.2 rad 解：理想数字低通滤波器解：理想数字低通滤波器 单位取样响应单位取样响应 0.2()00.2jjdeHesin ()( )()cdnh nn 1(1)52Nsin 0.2 (5)( )(5)dnh nn74n要求设计的要求设计的FIR数字滤波器的单位取样响数字滤波器的单位取样响应应 sin 0.5 (5)( )( ) ( )( )(5)dnh nh n w nw nn75n用矩形窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小，用矩形

26、窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大。布莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大。为保证有同样的过渡带，必须加大窗口长度为保证有同样的过渡带，必须加大窗口长度N 76n函数函数fir1的调用格式为的调用格式为n b= fir1(n, Wc, ftype, Window)n其中，其中，n为滤波器阶数，为滤波器阶数，Wc为截止频率为截止频率nftype决定滤波器类型，决定滤波器类型，ftype= high，设计高通，设计高通FIR滤波器，滤波器，ftype=bandpass、 stop，设计带通、带，设计带通、带阻阻FIR滤波器。滤波器。nWindow指定窗函数类型，默认

27、为指定窗函数类型，默认为Hamming窗；可窗；可选选Hanning、Hamming、Blackman、bartlett和和boxcar窗，每种窗都可以由窗，每种窗都可以由Matlab的相应函数生的相应函数生成。成。77window=boxcar(11);b=fir1(10,0.2*pi,window);h1,w1=freqz(b,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1); hold on;window=hanning(11);b=fir1(10,0.2*pi,window);h2,w2=freqz(b,1);plot(w2/pi,20*log10(abs(h2); hol

28、d on;window=blackman(11);b=fir1(10,0.2*pi,window);h3,w3=freqz(b,1);plot(w3/pi,20*log10(abs(h3); hold on;78/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 50sdB解解：1）求数字频率）求数字频率设计一个线性相位设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，给定抽样频率为给定抽样频率为421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通带截止频率为通带截止频率为3t23 10 (/sec)srad 阻带起始频率为阻带起始频率为阻带衰减不小于阻带衰减不

29、小于-50dB，幅度特性如图所示，幅度特性如图所示792）求）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 802( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）确定）确定N 值值50sdB3）选择窗函数：由）选择窗函数：由 确定哈明窗（确定哈明窗（-53dB）6.6N哈明窗带宽：815）确定）确定FIR滤波器的滤波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616

30、nnRnn6）求）求 ，验证，验证()jH e若不满足，则改变若不满足，则改变N或窗形状重新设计或窗形状重新设计82()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通滤波器全通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：其单位抽样响应：12N()0jjcdeHe其它理想高通的频响：理想高通的频响：831221()()1( )2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 带通滤波器低通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：其单位抽样响应：120()0jjdeHe其它理想带通的频响：理想带通的频响：12N842112()()

31、()1( )2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()带阻滤波器，高通滤波器+低通滤波器其单位抽样响应：其单位抽样响应：12N120,()0jjdeHe 其它理想带阻的频响：理想带阻的频响：85120,()0jjdeHe 其它理想带阻的频响：理想带阻的频响：见书见书P21686nFIRFIR线性相位滤波器的基本设计思路；线性相位滤波器的基本设计思路；n窗函数法设计线性相位数字滤波器的改进思路；窗函数法设计线性相位数字滤波器的改进思路；n时域加窗，频域产生吉布斯现象；时域加窗，频域产生吉布斯现象；n减少吉布斯现象的措施；减少吉布斯现象的措施

32、；n窗函数法设计窗函数法设计FIRFIR数字滤波器的步骤。数字滤波器的步骤。nMATLABMATLAB实现实现87n对理想滤波器的频率特性对理想滤波器的频率特性在在0,20,2 范围内等范围内等间隔地取样间隔地取样N N个点，得：个点，得：n 对对H Hd d(k)(k)作作N N点逆点逆DFTDFT，即，即IDFT,IDFT,得：得：n DFDF的系统函数为：的系统函数为：2101( )( )0,1,1NjknNdkh nHk enNN2d( )()0,1,1jkNH kHekN( ) ( )H zZT h n88n对理想滤波器的频率特性对理想滤波器的频率特性在在0,20,2 范围范围内等间

33、隔地取样内等间隔地取样N N个点，得：个点，得：n根据插值公式实现根据插值公式实现2d( )()0,1,1jkNH kHekN12011( )( )1NNjkkNzH kH zNez89102()( )( )()jNjz ekH eH zH kkN12sin12 ( )sin2NjNeN内插函数：12011( )( )1NNjkkNzH kH zNez90n从频域分析误差从频域分析误差 12011( )( )1NNjkkNzH kH zNez102()( )NjkH eH kkN n 当当w=2k/N时，时，(w)=1,H(e(w)=1,H(ejwkjwk)=H(k),)=H(k),在采样点在

34、采样点 处，完全恢复，误差为处，完全恢复，误差为0 0。n 当当w w 2k/N时，时，H(ejw)插值实现，有误差。插值实现，有误差。 Hd(ejw)特性愈平滑的区域，误差愈小；特性愈平滑的区域，误差愈小； Hd(ejw)特性曲线间断点处，误差最大。特性曲线间断点处，误差最大。在间断点处形成振在间断点处形成振荡特性，使阻带衰荡特性，使阻带衰减减小，甚至不满减减小，甚至不满足指标要求。足指标要求。见书图见书图P219P21991n从时域分析误差从时域分析误差 1( )2jj nddh nHeed( )()( )dNrh nh nrN Rn由频率域采样定理知道，在频域由频率域采样定理知道，在频域

35、0202之间等间之间等间隔采样隔采样N N点，利用点，利用IDFTIDFT得到的得到的h(n)h(n)应是应是h hd d(n)(n)以以N N为周期，周期性延拓乘以为周期，周期性延拓乘以R RN N(n)(n)，即，即由：由：若若H Hd d(e(ejwjw) )中有间断点，则中有间断点，则h hd d(n)(n)无限长，无限长，h(n)h(n)有时有时域混叠失真，当域混叠失真，当N N增大时，误差减小。增大时，误差减小。921）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH幅度偶对称：幅度偶对称：1 2112kNk

36、kNN 相位函数：相位函数：2kN93 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数采样点数N，N=奇数时：奇数时：( )()1,0,1,2,( )0,1,2,11( ),0,1,2,1ccccH kH NkkkH kkkkNkNkkkNN 942）h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 幅度奇对称：幅度奇对称：11kkN 相位函数：相位函数：2kN95 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为为c，采

37、样点数，采样点数N，N=偶数时：偶数时：( )1,0,1,2,( )0,1,2,1()1,0,1,2,1( ),0,1,2,1gcgcccgcHkkkHkkkkNkHNkkkNkkkNN 96n增加增加N N，使抽样点变密，使抽样点变密，可减小过渡带宽可减小过渡带宽度度，但间断点附近误差依然最大，不能加，但间断点附近误差依然最大，不能加大阻带衰减。大阻带衰减。n在频响间断点处区间内在频响间断点处区间内内插一个或几个过内插一个或几个过渡采样点渡采样点, ,可加大阻带衰减可加大阻带衰减, ,但导致过渡带但导致过渡带变宽。变宽。97增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减不加

38、过渡抽样点：不加过渡抽样点：s20dB 加一点：加一点：s40 54dB 加两点：加两点：s60 75dB 加三点：加三点：s80 95dB 102NjkH eH kkNn过渡带增加采样点阻带衰减加大过渡带增加采样点阻带衰减加大-见见P220表表98110Int824( )10Int191622ccNNkH kNNk 利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为波器，截止频率为0.50.5，抽样点数为，抽样点数为N N=33=33，要求滤波器，要求滤波器具有第一类线性相位。具有第一类线性相位。解：解：100cjdHe理想低通频

39、率特性其它99得线性相位得线性相位FIR滤波器的频率响应：滤波器的频率响应：816133sin 33sin 33sin233233233sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk2 /33过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-20dB100n增加一点过渡带抽样点增加一点过渡带抽样点令令H(9)=0.54 /33过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-40dB101n增加两点过渡带抽样点增加两点过渡带抽样点令令H(17)=0.5886 H(18)=0.10656 /65过渡带宽：过渡带宽：阻带衰减：阻带衰减：-60dB增加抽样点数为增加抽样点数为N N=65=65102

40、b=fir2(n,f,m,window)-P222例：例： f=0 0.5 0.5 1;f=0 0.5 0.5 1; m=1 1 0 0 ; m=1 1 0 0 ; window=hanning(31); window=hanning(31); b=fir2(30,f,m,window); b=fir2(30,f,m,window); h,w=freqz(b,1);figure(1); h,w=freqz(b,1);figure(1); plot(f,m,w/pi,abs(h); plot(f,m,w/pi,abs(h); figure(2); figure(2); plot(w/pi,20

41、plot(w/pi,20* *log(abs(h); log(abs(h); legend(Ideal,fir2 Designed); legend(Ideal,fir2 Designed);103加过渡带采样点加过渡带采样点f=0 0.5 0.55 0.6 1; m=1 1 0.5 0 0 ;104105n根据阻带最小衰减，选择过渡带采样点的个数根据阻带最小衰减，选择过渡带采样点的个数m m。n确定过渡带宽度确定过渡带宽度BtBt，估计频率采样点数，估计频率采样点数N N。n构造一个逼近的频率响应函数，过渡带可以设置经验值，构造一个逼近的频率响应函数，过渡带可以设置经验值，或累试。或累试。n

42、对对H(k)H(k)进行进行N N点点IDFTIDFT，得到，得到h(n)h(n)。n检验结果。检验结果。2(1)NmBt1()( )0,1,2,12( )()NjkjNdggdgHeHekNHkHkN101( )( )( )NknNkh nIDFT H kH kNW106 利用频率抽样法设计第一类线性相位低通利用频率抽样法设计第一类线性相位低通FIRFIR滤波器，滤波器，截止频率为截止频率为/3/3，阻带最小衰减大于，阻带最小衰减大于40dB40dB，过渡带宽，过渡带宽度小于度小于/16/16。要求程序设计实现，调用函数与不调用函数两种方法。要求程序设计实现，调用函数与不调用函数两种方法。1

43、07T=input(T= ) %键入过渡采样值键入过渡采样值TdatB=pi/16;wc=pi/3; %过渡带过渡带pi/16,通带频率为通带频率为pi/3；m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1; %按（按（7.3.15）式估算采样点数）式估算采样点数NN=N+mod(N+1,2); %确保确保h(n)长度长度N为奇数为奇数Np=fix(wc/(2*pi/N);Ns=N-2*Np-1; %Np+1为通带为通带0,wc采样点采样点,Ns为阻带为阻带wc,2*pi-wc上采样点上采样点Ak=ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np); %N为奇数，幅度采样向量

44、为奇数，幅度采样向量A(k)=A(N-k)Ak(Np+2)=T;Ak(N-Np)=T; %加一个过渡采样加一个过渡采样thetak=-pi*(N-1)*(0:N-1)/N; %相位采样向量相位采样向量(k) Hk=Ak.*exp(j*thetak); %构造频域采样向量构造频域采样向量H(k)hn=real(ifft(Hk); %h(n)=IDFTH(k)Hw=fft(hn,1024); wk=2*pi*0:1023/1024;Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数计算幅度响应函数Hg()108%计算通带最大衰减计算通带最大衰减Rp和阻带最小衰减和阻带最小衰减

45、RsRp=max(20*log10(abs(Hgw)hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin)%以下绘图以下绘图7.3.4Aw=1,1,0,0,1,1;wk1=0,wc,wc,2*pi-wc,2*pi-wc,2*pi/pi;subplot(3,2,1);plot(wk1,Aw);axis(0,2,-0.2,1.2);xlabel(/);ylabel(Hg(k);hold onwk2=0:N-1*2/N;plot(wk2,Ak,.);n=0:N-1;subplot(3,2,3);stem(n,hn,.);axis(0,65,-0.2,0.5); xlab

46、el(n); ylabel(h(n);subplot(3,2,5); plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw); axis(0,1,-60,3); grid onxlabel(/); ylabel(20lg|Hg()|);109datB=pi/16;wc=pi/3; %过渡带宽度过渡带宽度pi/16,通带截止频率为通带截止频率为pi/3；m=1;N=(m+1)*2*pi/datB+1 %按（按（7.3.15）式估算采样点数）式估算采样点数NF=0,wc/pi,wc/pi+2/N,wc/pi+4/N,1;A=1,1,0.38,0,0;hn=fir2(N-1,F,A,boxcar(

47、N);Hw=fft(hn,1024); %计算频率响应函数计算频率响应函数:DFTh(n)wk=2*pi*0:1023/1024;Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N-1)/2); %计算幅度响应函数计算幅度响应函数Hg()110%计算通带最大衰减计算通带最大衰减Rp和阻带最小衰减和阻带最小衰减RsRp=max(20*log10(abs(Hgw)hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin)%以下绘图以下绘图7.3.4subplot(3,2,1);plot(F,A);axis(0,1,0,1.3);grid onxlabel(/);ylabel(H_d_

48、g();n=0:N-1;subplot(3,2,3);stem(n,hn,.);axis(0,65,-0.2,0.5);xlabel(n);ylabel(h(n);subplot(3,2,5);plot(wk/pi,20*log10(abs(Hgw);axis(0,1,-60,3);grid onxlabel(/);ylabel(20lg|Hg()|);111n频率采样法设计数字滤波器的思路；频率采样法设计数字滤波器的思路；n频率采样法设计线性相位滤波器的条件；频率采样法设计线性相位滤波器的条件；n时域误差分析和频域误差分析；时域误差分析和频域误差分析；n改进措施；改进措施；nMATLABMA

49、TLAB实现实现112n频率采样法优点：频率采样法优点： 频域直接设计，可以频域直接设计，可以 设计任意幅度特性的数设计任意幅度特性的数 字滤波器。字滤波器。n两者的缺点：边界频率不易控制，不能分两者的缺点：边界频率不易控制，不能分别控制通带和阻带波纹幅度，存在一定的别控制通带和阻带波纹幅度，存在一定的资源浪费（如边界满足衰减指标，其他频资源浪费（如边界满足衰减指标，其他频率段有较大富余量）。率段有较大富余量）。n窗函数法优点：窗函数法优点： 时域直接设计时域直接设计113nFIRFIR滤波器的优化设计采用滤波器的优化设计采用“最大误差最小化最大误差最小化”的优化的优化准则，根据滤波器的设计指标，导出一组条件，要求准则，根据滤波器的设计指标，导出一组条件，要求在此条件下，在此条件下，在整个逼近的频带范围内使得逼近误差在整个逼近的频带范围内使得逼近误差绝对值的最大值为最小，绝对值的最大值为最小，从而得到唯一的最佳解。从而得到唯一的最佳解。n最大误差最小化准则也称为最大误差最小化准则也称为切比雪夫准则切比雪夫准则。n采用切比雪夫准则设计的滤波器，采用切比雪夫准则设计的滤波器，误差在整个频带均误差在整个频带均匀分布，匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波