质心系(精心整理)

1、1. 1. 质心质心抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C COXY 质 点 系 的 质质 点 系 的 质量中心，简称量中心，简称质质心心。具有长度的具有长度的量纲，描述与质量纲，描述与质点系有关的某一点系有关的某一空间点的位置。空间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心

2、与重心位置重合。心与重心位置重合。2. 2. 质心运动定理质心运动定理iiicmrmr 设有一个质点系，由设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心个质点组成，它的质心的位矢是：的位矢是：nnnnmmmrmrmrm212211质心的速度为质心的速度为trvccddiiimtrmddiiimvm质心的加速度为质心的加速度为tvaccddiiimtvmddiiimam由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得nfffFtvmam1131211111ddnfffFtvmam2232222222ddnnnnnnnnnfffFtvmam32dd质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理对于内力对于内力iiiF

3、am, 0, 02112niinffffiiicmamaMFmFaiiicciaMF质心运质心运动定理动定理 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。用其上的一个质点的运动一样。3. 3. 动量守恒定律动量守恒定律Mvmviic=常矢量常矢量iiim vPcvm=常矢量常矢量 如果系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ），），则系统的

4、总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。定律。0iF条件条件0iF定律定律动量守恒定律动量守恒定律直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式nxnxxvmvmvm2211=常量常量nynyyvmvmvm2211=常量常量nznzzvmvmvm2211=常量常量8 一、质心系一、质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系一般是非惯性系，引入惯性力，质心系一般是非惯性系，引入惯性力，在处理二体系统时为惯性系，在处理二体系统时为惯性系， 质点系的复杂运动通常可分解为质点系的复杂运动通常可分解为： 在质心系中考察质点

5、系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题讨论天体运动及碰撞等问题质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 94 质点系统相对于质点系统相对于L系、系、C系系的动能间的关系的动能间的关系质心参照系质心参照系1 质心系是质心系是零动量参照系零动量参照系2 质点系相对于质点系相对于 L系系 、C系系的角动量之间的关系的角动量之间的关系3 相对于一质点系的相对于一质点系的质心的外力质心的外力(转转) 矩与该矩与该质点系内部角动量的关系质点系内部角动量的关系。10考虑由质量分别为考虑由质量分别为m1、m2、 mn 的的N个质点个质

6、点组成的质点系，每个质点相对于任一点组成的质点系，每个质点相对于任一点O的位置的位置矢量分别为矢量分别为 ；其质心相对于；其质心相对于O点的点的定义为：定义为：nOOOrrr., 21;mrmriiOiCO iimm其中其中m为质心系的总质量，为质心系的总质量，每一个位矢每一个位矢 ，动量可写为，动量可写为 ： iOim viOriCrCOrciOroimCOiiCiiOimmmvvv (2)COiCiOrrr (1) 质心参照系质心参照系 1 质心系是零动量参照系质心系是零动量参照系110 mrmriiCiCC 、 表示的第表示的第i个质点相对于质心个质点相对于质心C的位矢和速度。的位矢和速

7、度。因为质心相对于质心的位矢恒为零，即因为质心相对于质心的位矢恒为零，即 , 所以所以在质心系中质心的速度也恒为零在质心系中质心的速度也恒为零 iCriCv0 CCr0 CCv 0 mmiiCiCCvv也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，质心系是质心系是零动量参照系零动量参照系。iCrCOrciOroim12为了方便书写下面作以下符号代换：为了方便书写下面作以下符号代换：;mrmriiOiCO ;mrmriiiC L系系不代撇不代撇0 mrmriiCiCC0 mrmriiiCC系系代撇代撇0 mmiiCiCCvv0 mmiiiCvvC系系代撇代撇

8、132 质点系相对于质点系相对于实验室参照系实验室参照系(L系系)的角动量与它相的角动量与它相对于对于质心参照系质心参照系(C系系)的角动量之间的关系的角动量之间的关系CrC1m2m1r x y z2rOx y z 以两个质点的系统为例以两个质点的系统为例1v2vCv在在L系中质点系中质点m1、m2及其及其质心的速度分别为质心的速度分别为 、 、0 vCv1v2在在C系中质点系中质点m1、m2及其及其质心的速度分别为质心的速度分别为 、 、2211prprL Cmmmpvvv111111 Cmmmpvvv222222 14)v()()v()(CCCCmprrmprrL222111 CCrmrm

9、pprprprLv)( 2211212211（）12()vCCLLrmm021 ）(pp质心系是零动量参照系质心系是零动量参照系CCCmmrrmrmv)(v)212211 （质心定义质心定义相对质心的角动量相对质心的角动量内部角动量（自旋角动量）内部角动量（自旋角动量）质心相对质心相对L系的角动量系的角动量外部角动量（轨道角动量）外部角动量（轨道角动量）15相对于相对于L系的外部角动量，就好象这系统系的外部角动量，就好象这系统的全部质量都集中在质心上一样。的全部质量都集中在质心上一样。12()vCCLLrmm3 相对于一质点系的相对于一质点系的质心的外力质心的外力(转转) 矩矩与该与该质点系质

10、点系内部角动量内部角动量的关系。的关系。以两个质点的系统为例以两个质点的系统为例2211FrFrM )(212211FFrFrFrMC CCMMrF外外力对质心的转矩外力对质心的转矩合外力作用在合外力作用在质心上对质心上对 O的转矩的转矩Ciirrr CiiiMrF1612()vCCCLLrmm021 CCmmdtrdv)(12()vCCCCCdLdrdpdLmmrdtdtdtdt外外FrdtpdrCCC CCMMrF外dtpdrdtLdFrMCCCCC 外外dtLdM dtLdMCC 以上证明具有普遍性。以上证明具有普遍性。角动量角动量 定理在质心系中也成立。定理在质心系中也成立。而而不论质

11、心系是否为惯性系不论质心系是否为惯性系。17*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，合外力矩为：合外力矩为：gmrgrmgmrMCiiiiii 外上式表明，重力的合力矩与系统的全部上式表明，重力的合力矩与系统的全部质量集中在质心上所受到的力矩等价。质量集中在质心上所受到的力矩等价。若取质心为参考点，则有若取质心为参考点，则有 ，即重力对质心，即重力对质心的合力矩恒为零。所以的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系，不论质心系是否为惯性系，只受到重力的质点系角动量守恒只受到重力的质点系角动量守恒。0 Cr下面的学习中请注意这点。下面的学习中请注意这点。

12、184 质点系统相对于质点系统相对于实验室参照系实验室参照系(L系系)的动能与它相对的动能与它相对于于质心参照系质心参照系(C系系)的动能（内动能）之间的关系的动能（内动能）之间的关系CrC以两个质点的系统为例以两个质点的系统为例1v2v Cv在在L系中质点系中质点m1、m2及其及其质心的速度分别为质心的速度分别为 、 、0 vCv1v2在在C系中质点系中质点m1、m2及其及其质心的速度分别为质心的速度分别为 、 、1m2m1r x y z2rOx y z Cvvv 11Cvvv 22在在L系中：系中：19Cvvv 11Cvvv 2222221122221121212121)v v()v v(

13、vvCCkmmmmE CCmmmmmmv) v v(v)( v v 2211221222211212121在在L系中：系中：0212211 mmrmrmrC0212211 mmrmrmrC02211 rmrm2222112121vvmmEdefk 内内221222211212121CkmmmmEv)(vv 质点系相对于质心系质点系相对于质心系的动能叫做内动能。的动能叫做内动能。为零为零20*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等于两部分之和：于两部分之和： iikkmEE2Cv21内内在在L系中：系中：相对于质心的相对于质心的内部运动内部运动质心的平动运动

14、质心的平动运动 相对于质心的内动能（相对于质心的内动能（固有固有动能）动能）。 质心平动动能质心平动动能（轨道轨道动能动能） 。*一个体系的内能就是指：一个体系的内能就是指：内能内能=质点系各质点质点系各质点 相对于质心的相对于质心的内动能内动能 +质点间相互作用的质点间相互作用的内势能内势能*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍然成立然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系质心相对质心的速度为零）。无论质心系是惯性系还是非惯性系。（证明从略）是惯性系还是非惯性系。（证明从略）所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。所以在质心系中分析问题方便

15、。见刚体力学。21例例1：求两个质点系统相对于质心的动能与求两个质点系统相对于质心的动能与相对速度间的关系相对速度间的关系vvvvv212112 uCvvv 11Cvvv 22质心系是零动量参照系质心系是零动量参照系02211 v vmmummm2121 vummm2112 v相对质心的动能：相对质心的动能：2222112121vvmmEdefk 内内222121222122121ummmmmmmmEk)()( 内内2121vvmm u vv1222222121222122121ummmmmmmmEk)()( 内内2212121ummmmEk 内内22122121CkmmuEv)( kCkkE

16、EE 内内2121mmmm 折合质量折合质量221uEk 内内称为两个质点系称为两个质点系的相对动能的相对动能高能粒子与静止靶高能粒子与静止靶上粒子的碰撞，可上粒子的碰撞，可用来研究其结构和用来研究其结构和相互作用以及反应相互作用以及反应机制。机制。23选选C参照系用带撇量表示参照系用带撇量表示：质心动能碰撞前后不变质心动能碰撞前后不变02211202101 v v v vmmmm2122112202021010v)(21)vv(21mmmQmm 22002121uQu ummm2121 v孤立系统孤立系统20 21uEk 内内当当 0 时，时，反应前后质心动能不变，真正有用的能反应前后质心动

17、能不变，真正有用的能量是相对动能，所以为提高能量使用率，应减少质心量是相对动能，所以为提高能量使用率，应减少质心的动能，采用两个质点对撞。如正、负电子对撞机见的动能，采用两个质点对撞。如正、负电子对撞机见陆果书上陆果书上pp7924例例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量求两个质点系统相对于质心的动量和角动量vvvvv212112 uCvvv 11Cvvv 22质心系是零动量参照系质心系是零动量参照系02211 vvmmummm2121 vummm2112 vuummmmp 21211uummmmp 21212每个质点相对质心每个质点相对质心的动量分别为：的动量分别为：25;mrmrmr

18、C2211 L系系;)(211222121211mmrmmmrrmrrrC ;)(211212112122mmrmmmrrmrrrC 2211prprLC 两个质点两个质点相对质心相对质心的角动量的角动量为：为：) ( ummrmummrmLC 2112121122ur 12与一个位矢为与一个位矢为 ，动量为，动量为 的质点的角动量相同的质点的角动量相同12r u *计算一个氢原子的角动量时必须用电子计算一个氢原子的角动量时必须用电子质子系统质子系统的折合质量来代替电子质量。的折合质量来代替电子质量。26221101vvvmmm 例例3.24质量为质量为m1和和m2的两个小球，用长为的两个小球

19、，用长为l、质量和、质量和伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面上，开始时桌面上，开始时m2固定不动，固定不动， m1绕绕m2作匀速圆周运作匀速圆周运动，线速率为动，线速率为v0 ，如果，如果 突然失去约束，求杆中张力？突然失去约束，求杆中张力？ 解：解：m2失去约束前后，失去约束前后，m1和和m2组成的系统是孤立系统，只有杆组成的系统是孤立系统，只有杆中内力相互作用，系统动量守恒中内力相互作用，系统动量守恒质心的动量不变质心的动量不变Cmmmmmmmv)()(0v)(21210121 1m2mCov1l2l方向垂直于杆与初速同向。方向垂直