线性代数-第四章

1、1中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰3. .4 线性方程组的解线性方程组的解 1. 线性方程组解的情况2. 齐次线性方程组解的情况3.非齐次线性方程组解的结构 第四章第四章 线性方程组线性方程组 2中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰3. .4 线性方程组的解线性方程组的解 百鸡问题 (张丘建算经) 鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？第四章第四章 线性方程组线性方程组 1003135100zyxzyx3中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰3. .4 线性方程组的解线性方程组的

2、解 百鸡问题 (张丘建算经) 鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？v 1.公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只 v2.公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只 v3.公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只 第四章第四章 线性方程组线性方程组 4中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰3. .4 线性方程组的解线性方程组的解 我们知道 n个未知数m个方程的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111可以写成AXB 其中A(aij)为线性方程组的系数矩阵.线性方程组还可以写成向量形

3、式4.1 线性方程组的解线性方程组的解 (4.1)(4.2)nnxxx2211(4.3)5中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 如果未知量 的一组值 满足方程组(4.1)，则称这一组值为(4.1)的解，由它们组成的向量称为(4.1)的解向量，记为4.1 线性方程组的解线性方程组的解 nxxx,21)0()0(2)0(1,nxxx.),()0()0(2)0(1)0(TnxxxX 如果线性方程组(4.1)有解 就称它是相容的, 如果无解就称它不相容. 6中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰4.1 线性方程组的解线性方程组的解 可见，一个线性方程组是否

4、相容,完全由其系数和常数决定,为了讨论求解的需要,我们将方程组的系数和常数构成一个矩阵称 为线性方程组(4.1)的增广矩阵. 可用向量表示为mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211A.,111A7中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰4.1 线性方程组的解线性方程组的解 定理4.1 线性方程组(4.1)相容的充要条件是:).( r)( rAA 证明 必要性. 设线性方程组(4.1)相容，即有一组数.2211nnkkknkkk,21 因此.,2121nn 充分性. 设).( r)( rAA ,2121nnAA的极大无关组也必为 的线性无关组,又

5、因此 的极大无关组，因而必可由 线性表示，所以 有一组数 ,使,21nnkkk,21.2211nnkkk).( r)( rAA 的的极大无关组也为AA8中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰4.1 线性方程组的解线性方程组的解 例 1 判别下面的线性方程组是否有解？1424524132321321321xxxxxxxxx 解：直接求 的秩, A的秩也可得出.100021001312 110021001312041245241312AA 显然 线性方程组无解.2)( r , 3)( rAA9中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 当方程组(4.1)右边

6、的常数项 均为零时，为齐次线性方程组mbbb,21000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.4)齐次线性方程组的相容性齐次线性方程组的相容性 必是齐次线性方程组的解，故(4.4)总是相容的.021nxxx可用矩阵形式 AX0 和向量形式02211nnxxx(4.5)(4.6)10中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 定理4.2 设线性方程组(4.1)右边的系数矩阵与其增广矩阵的秩相同 (1) 如果r=n, 则方程组(4.1)有唯一解. (2) 如果rn, 则方程组(4.1)有无穷多解.rAA)( r)( r二二

7、 线性方程组解的判定线性方程组解的判定 11中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 证明 若 n 则增广矩阵(A B) 的行最简形形如 ndddB1 00 0 100 01210 B0对应方程组为 nndxdxdx 2211 故方程AXB有唯一解. )( r)( rAA定理定理4.2（1）的证明）的证明12中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰定理4.1 (2) 的证明 若rn 则线性方程组的增广矩阵(A b)的行最简形形如 00 00 00 00 00 00 1 00 0 10 0 01,12, 2211, 1110rrnrrrnrndbbdbbd

8、bbB B0对应方程组为 rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112, 212121, 11111 令自由未知数xr1c1 xncnr 即得方程Axb的含nr个参数的解. 由于参数可任意取值 故方程Axb有无限多个解. 13中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 定理4.2 设线性方程组(4.1)的系数矩阵与其增广矩阵的秩相同 (1) 如果r=n, 则方程组(4.1)有唯一解. (2) 如果rn, 则方程组(4.1)有无穷多解.二二 线性方程组解的判定线性方程组解的判定 总结： 判定线性方程组解的情况:无解有无穷多解有唯一解),( r)(

9、 r,)( r)( r,)( r)( rAAnAAnAArAA)( r)( r14中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 2 判别下面的线性方程组解的情况？752462 213232131321xxxxxxxx 解：1530051101312 514051101312752462021312A 线性方程组有唯一解., 3)( r)( rAA15中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 3 判别下面的线性方程组解的情况？2222462 213232131321xxxxxxxx 解：0000511013122222462021312

10、A 线性方程组有无穷多解., 32)( r)( rAA16中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 定理4.3 设齐次线性方程组(4.4)的系数矩阵的秩r(A)=r (1) 如果r=n, 则方程组(4.4)只有零解. (2) 如果rn, 则方程组(4.4)有非零解.齐次线性方程组解的判定齐次线性方程组解的判定 17中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 4 k为何值时，下面线性方程组只有零解或有非零解？000321321321kxxxxkxxxxkx 解：2) 1)(2(111111kkkkkA（1）当k1且k2时,|A| 时,r(A)=3

11、=n,方程组只有零解；18中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 4 k为何值时，下面线性方程组只有零解或有非零解？000321321321kxxxxkxxxxkx 解：（2）当k=1时,000000111111111111Ar(A)=1n=3,方程组有非零解；19中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 4 k为何值时，下面线性方程组只有零解或有非零解？000321321321kxxxxkxxxxkx 解： （3）当k=2时,000330211211121112A r(A)=2n=3,方程组有非零解。20中国地质大学（北京）继

12、续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题) 2)(1(000) 1( 23301212112112121211121211222kkkkkkkkA例 5 讨论下面线性方程组， 当k取何值时有解、无解？23213213212222kxxxkxxxxxx 解：（1）当k1且k 2时， 方程组无解；, 3)(2)(ArAr（2）当k=1或k =2时， 方程组有无穷多组解。, 32)()(ArAr21中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 6 根据k的取值，讨论线性方程组解的情况：4243212321321xxxkxkxxkxxx 解：)4)(1(211111

13、1kkkkA（1）k1且k4时，|A| 0，由克莱姆法则知，线性方程组有唯一解；22中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 6 根据k的取值，讨论线性方程组解的情况：4243212321321xxxkxkxxkxxx 解：832050004111421111114111A（2）k=1时，有可知， 线性方程组无解；, 3)(2)(ArAr23中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 6 根据k的取值，讨论线性方程组解的情况：4243212321321xxxkxkxxkxxx 解：（3）k=4时，有00004110441182202

14、055044114211161414411A可知， 线性方程组有无穷多组解。, 32)()(nArAr24中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰一 齐次线性方程组解的性质4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 v性质1 若XX1为AX=0的解 k为实数 则XkX1也是AX0的解. 这是因为 A(kX1)k00.k(AX1)v性质2 若XX1 XX2为AX0的解 则XX1X2也是AX0的解. AX1=0,AX2=0A(X1+X2)=AX1+AX2=025中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 则齐次线性方程组AX0的基础解系存在, 且每一

15、个基础解系中恰有nr个向量. 定义4.1 如果X1, X2,Xr为齐次线性方程组AX=0的解向量的极大无关组, 则X1, X2,Xr称为该齐次线性方程组的一个基础解系. 设X1 X2 Xt为方程AX0的基础解系 则方程AX0的通解为Xc1X1c2X2 ctXt (c1 c2 ctR). v定理4.4 如果齐次线性方程组AX0的系数矩阵A的秩r(A)n. 二 齐次线性方程组解的结构 26中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 证明 设r(A)r. 用初等行变换把系数矩阵A化为行最简形 00001001 ,1, 111rnrrrnrbbbbA nrnrrrrnrnrxbxbx

16、xbxbx,11, 11111 则方程组AX0的通解为 其中xr1 xn为自由未知数. 二 齐次线性方程组解的结构 27中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 方程组AX0通解可以写成 nnrrnrnrrrrnrnrxxxxxbxbxxbxbx 11,11, 11111 其中xr1 xn为自由未知数. 二 齐次线性方程组解的结构 28中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 100 010001, 121221111211rnrrnrnrrnrrrbbcbbcbbcxxxxx 方程组AX0通解可以写成 其中c1 cnr 为任意常数. 把上式记作xc1X

17、1c2X2 cnr Xnr .因为X1 X2 Xnr线性无关 且任一解X都可由X1 X2 Xnr 线性表示 所以X1 X2 Xnr是方程组AX0的基础解系. 二 齐次线性方程组解的结构 29中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 定理4.5 对于齐次线性方程组AX0 只要求出其一个基础解系X1 X2 Xn-r, 则它的全部解(也称通解)可表示为 Xk1X1k2X2 kn-rXn-r (4.9)其中k1 k2 kn-r 为任意实数. 说明 基础解系不唯一, 故通解的表示形式也不唯一.二 齐次线性方程组解的结构 30中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰

18、例例 题题例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：I只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.)4)(1(220110112111111kkkkkkkk当k-1且 k4时方程组只有零解.当k=-1或 k=4时方程组有非零解.31中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题00010013200001112111111112321例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：I只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.当k=-1时32312321xxxx基础解系

19、含一个解向量32中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：I只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.当k=-1时2311X取x3=2, 得到基础解系通解为1kXX 33中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：I只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.当k=4时32313xxxx000110301220550411211141411基础解系含

20、一个解向量34中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题1131X例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：I只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.当k=4时通解为取x3=1, 得到基础解系1kXX 35中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：II 直接对系数矩阵进行初等变换只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解.kkkkkk220110112111111 显然k=-1时,r(A

21、)=23方程组有非零解.36中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题kkkkkk220110112111111例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：II只有零解或有非零解？有非零解时, 求出其通解. k-1时,kk40011011若k4, r(A)=3，方程组只有零解37中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题kkkkkk220110112111111例 7 讨论k为何值时, 齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxkxxx 解：II只有零解或有非零解？有非零解时,

22、 求出其通解. k-1时,000110411若k=4, r(A)=23，方程组有非零解38中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰三三 用矩阵的初等变换解齐次线性方程组用矩阵的初等变换解齐次线性方程组 如果对齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A施以初等行变换, 实际上相当于对方程组进行了三种变换： (1) 交换两个方程的位置 (2) 用一个非零的数乘以某个方程的等式两端 （3）把一个方程的k倍加到另一个方程上去这实质上就是方程组的消元法. 因此, 可以通过对系数A进行初等变换后, 化为等价的最简方程组求得齐次线性方程组的通解. 39中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数

23、主讲教师：耿凤杰例例 题题000002622012131 393302622012131551323411112131A000001311012131例 11 求齐次线性方程组的通解05532034023543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx 解 方程个数小于未知数个数，所以有无穷多解.00000131104720140中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题551323411112131A000001311047201例 11 求齐次线性方程组的通解05532034023543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx 解：方程

24、个数小于未知数个数，所以有无穷多解.03047254325431xxxxxxxx543254313472xxxxxxxx等价的方程组为41中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题取为543,xxx,100,010,001543xxx例 11 求齐次线性方程组的通解05532034023543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx543254313472xxxxxxxx 解：将自由变量得到原方程的基础解系10014,01037,00112321XXX42中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题10014,01037,00

25、112321XXX例 11 求齐次线性方程组的通解05532034023543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx 解：原方程的基础解系因此得到原方程的通解),(321332211为任意实数kkkXkXkXkX43中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题543254313472xxxxxxxx554433543254313472xxxxxxxxxxxxxx由等价的最简方程组求通解也可以用以下方法；将等价的最简方程组写成将方程组写成向量形式54354321100140103700112xxxxxxxxX记为),(321332211为任意实数kkkX

26、kXkXkX44中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题00001001116547812213173710723723A例 12 求齐次线性方程组的通解0116540782023432143214321xxxxxxxxxxxx 解 考察系数矩阵43243173710723723xxxxxx取自由变量70,0743xx45中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题00001001116547812213173710723723A例 12 求齐次线性方程组的通解0116540782023432143214321xxxxxxxxxxxx 解

27、得到方程的一个基础解系221121,70323,071023XkXkXXX46中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题000011003011211133221211A例 13 求齐次线性方程组的通解020332202432143214321xxxxxxxxxxxx 解434213xxxxx取自由变量10,0142xx47中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题000011003011211133221211A例 13 求齐次线性方程组的通解020332202432143214321xxxxxxxxxxxx 解得到方程的一个基础解系2

28、21121,1103,0011XkXkXXX48中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰总结总结000001311047201A10014,01037,00112321XXX0000100173710723723A70323,07102321XX000011003011A,1103,001121XX49中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构一 非齐次线性方程组解的性质 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111若bi,i=1,2,m不

29、全为零,则上述方程组为非齐次线性方程组, 其矩阵形式 AX=B (B0)其对应的齐次线性方程组 AX=0称为上述方程组的导出组.50中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰一一 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质v性质1 若X1是非齐次线性方程组AXB的解 X0是对应导出组AX0的解 则X1X0也是方程组AXB的解. 证明 AX1=B, AX0=0, A(X1X0)=AX1+AX0=B. v性质2 若X1 X2都是AXB的解 则X1-X2是方程组AX0的解. 51中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰二二 非齐次线性方程组解的结构非齐次线

30、性方程组解的结构v定理4.6 如果X*是AXB的一个特解 X0是其导出组AX0的通解 则X=X* X0是方程组AXB的通解, 其中 X0=k1X1k2X2+kn-rXn-r , ki 为任意实数.v求非齐次线性方程组通解的方法： 若 ，则非齐次线性方程组AXB有无穷多个解. 首先找出AXB的一个特解，再求出其导出组AX0的通解. X=X* X0即为所求.nAA)( r)( r52中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰三三 用矩阵初等变换求解非齐次线性方程组用矩阵初等变换求解非齐次线性方程组v步骤v写出AXB的增广矩阵 v对增广矩阵施行初等行变换, 将其化为最简阶梯形矩阵v

31、根据最简阶梯形矩阵判断非齐次线性方程组AXB的解的情况v从最简阶梯形矩阵中求出AXB的一个特解和其导出组AX=0 的一个基础解系, 从而得到AXB的解.53中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题例 14 求非齐次线性方程组的通解7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx54中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题88414044270442701115177391111833312111151A 解00000000001001000000000044270111517474727137137355中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题77391111833312111151A0000000000100174747271371373 解43243174727471373713xxxxxx0074713X56中国地质大学（北京）继续教育学院 线性代数 主讲教师：耿凤杰例例 题题77391111833312111151A0000000000100174747271371373 解,70413,072321XX0074713X为任意实数所以，通解为212211,kkXkXkXX