能量原理及其变分法

1、第四章 能量原理及其变分法 变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相关的，是有限元法的基础。关的，是有限元法的基础。 单位体积中具有的应变能，称为单位体积中具有的应变能，称为应变能密度应变能密度或或比能比能。 弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为 ，其中其中 是受力方向的正应力，是受力方向的正应力， 是该方向的线应变。是该方向的线应变。 对于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定对

2、于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的最终值，所以最终值，所以 4-1 应变能的概念及其表达式应变能的概念及其表达式12012xxyyxyxyU 第四章 能量原理及其变分法对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成012xxyyzzxyxyyzyzzxzxU 将广义虎克定律代入上式，得将广义虎克定律代入上式，得 012TUD展开为展开为222222201122xyzxyzxyyzzxUGG 其中其中11 2E如果用应力表示应变的广义虎克定律，则

3、应变能可写成如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成22222201122xyzxyyzzxxyyzzxUEEG 第四章 能量原理及其变分法 一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须，必须把比能把比能U0在整个弹性体内进行积分，即在整个弹性体内进行积分，即0UU dxdydz第四章 能量原理及其变分法 4-2 虚功原理虚功原理 虚位移虚位移是结构

4、所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为移过程中真实力所作的功，称为虚功虚功。 “如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所所作的总虚功必等于变形体所接受接受的总虚变形功的总虚变形功 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面和表面力力 ）和给定

5、的约束条件下处于平衡状态，用）和给定的约束条件下处于平衡状态，用 x、 y和和 xy表表示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：,X Y第四章 能量原理及其变分法在整个变形体内，各微元体满足在整个变形体内，各微元体满足00 xyxyxyXxyYxy在变形体边界处，各微元体满足在变形体边界处，各微元体满足00 xxyxyylmXlmY其中，其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移给变形体以微小虚位移 u、 v，各微元体将有虚应变，各微元体将有虚应变,xyxyuvvuxyxyxyodsdydx2xyxy

6、dyy2xxdxx2yydyy2xyxydxxXYdxdyyxyydyyxxdxxyxxyyxyxdyyxyxydxxX_Y_第四章 能量原理及其变分法首先，分析变形体内部的微元体由正应力首先，分析变形体内部的微元体由正应力 x所作的虚功。所作的虚功。111xxxxxxxxudxudxu dVxxuudVudVxxx 11dVdxdy其中其中为微元体的体积。同样，为微元体的体积。同样， xy所作的虚功为所作的虚功为1xyxyuudVyy体积力所作的虚功为体积力所作的虚功为1.1XdxdyuX udV 同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形

7、体内微元体上所有力所作的虚功之和为元体上所有力所作的虚功之和为111xyxyyxxxxyxyyydWXuYv dVdVxyxy 第四章 能量原理及其变分法 其次，分析边界处的微元体，以其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直表示斜边的长度，则直角边的面积分别为角边的面积分别为.1.1,.1.1dyldsdxmds微元体的体积为微元体的体积为2111.1222dVdxdyldsdxmdsdy 设斜边中点处的虚位移为设斜边中点处的虚位移为 u、 v，应力分量为，应力分量为 x、 y和和 xy，直角边直角边dy上正应力上正应力 x所作的虚功为所作的虚功为111.1222xxxxxxudx

8、 ldsudxuudx ldsxxx 直角边直角边dx上剪应力上剪应力 xy所作的虚功为所作的虚功为111.1222xyxyxyxyxyuudy mdsudyuudy mdsyyyy 斜边上表面力所作的虚功为斜边上表面力所作的虚功为X uY v ds第四章 能量原理及其变分法体积力所作的虚功为体积力所作的虚功为2X uY v dV 同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元体上所有力所作的虚功之和为处微元体上所有力所作的虚功之和为22xyxyyxdWXuYv dVxyxy2xxyxyyxxyyxyxyXlmuYlmv dsdV 变

9、形体的总虚功为变形体的总虚功为 W总总xyxyyxVXuYv dVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmv dsdV 第四章 能量原理及其变分法由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以总虚功总虚功xxyyxyxyVdV 所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成其中其中SVX uY v dsX uY v dV总虚功表达式写成总虚功表达式写成最后，得出最后，得出SVX u Y v dsX u Y v dVxxyyxyxyVdV W总总W总总=W外外 + W面面W外外W面面0SVX

10、 uY v dsX uY v dVW总总W外外第四章 能量原理及其变分法 变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的总虚功等于变形体所总虚功等于变形体所“接受接受”的总虚变形功，则变形体各处都的总虚变形功，则变形体各处都处于平衡状态。处于平衡状态。与与是恒等的。是恒等的。前提条件是前提条件是xyxyyxVXuYv dVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmv dsdV W总总SVX uY v dsX uY v dVW总总W面面SVX u Y v dsX u Y v dVxxyyxyxyVdV 第四章 能量原理及其变分法所

11、以所以xyxyyxVXuYv dVxyxy0 xxyxyySXlmuYlmv ds因为虚位移因为虚位移 u、 v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中0,0 xyxyyxXYxyxy成立，同时成立，同时0,0 xxyxyylmXlmY成立。成立。第四章 能量原理及其变分法 虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。 对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到

12、变形体在空间应力状态下的虚功方程式在空间应力状态下的虚功方程式AVxxyyzzxyxyyzyzzxzxVX uY vZ w dAX uY vZ w dVdV 第四章 能量原理及其变分法 4-3 最小势能原理最小势能原理 按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变能的变分能的变分U，应等于外力的总虚功，应等于外力的总虚功W，即，即UWSVWX uY vZ w dsX uY vZ w dV0SVUX uY vZ w dsX uY vZ w dV其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的

13、虚位移上所做的功，即上所做的功，即则则 由于虚位移是微小的，可以把上式中的变分符号提到积分由于虚位移是微小的，可以把上式中的变分符号提到积分号前面，得到号前面，得到0SVUXuYvZw dsXuYvZw dV第四章 能量原理及其变分法其中，外力在实际位移上所做的功其中，外力在实际位移上所做的功SVWXuYvZw dsXuYvZw dVPUW SVUXuYvZw dsXuYvZw dV取其负号，定义为外力势能（以外力为零的自然状态的势取其负号，定义为外力势能（以外力为零的自然状态的势能为零），将弹性体的应变能和外力势能之和，定义为系能为零），将弹性体的应变能和外力势能之和，定义为系统的总势能，记为统的总势能，记为0P 2220PUW 于是于是进一步证明可知，进一步证明可知，对于稳定平衡状态，总势能为极小值。对于稳定平衡状态，总势能为极小值。第四章 能量原理及其变分法于是得出最小势能原理：于是得出最小势能原理：在所有可能的位移中，真实位移使总势能取最小值。在所有可能的位移中，真实位移使总势能取最小值。 最小势能原理是弹性力学的一个变分原理，又因弹性力学最小势能