第一章 矢量分析电子科技大学 电磁场与电磁波

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢

2、量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版31. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：A

3、AeA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等

4、教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版4zzyyxxAeAeAeAcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos)xyzAA eee矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版5（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减

5、在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版6（2 2）

6、标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)

7、()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB直角坐标系中，用坐标分量表示为直角坐标系中，用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CB

8、CACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版91.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标

9、系直角坐标系 xezeye第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版101. 直角坐标系直角坐标系坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,位置矢量位置矢量 线元矢量线元矢量 xzydlzdlxdlydlOzeyexerzyxddlle l线元矢量可表示成它在三个坐标方向，所增加微分元的矢量和。直角坐标系中：ddddyzlexeyezx从坐标原点指向空间位置点的矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢

10、量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版11面元矢量面元矢量ddSn S nSddd dxxSe y zdd dzzSe x ydd dyySex z在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别为：体积元体积元zyxVddddx yz直角坐标系的体积元直角坐标系的体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学

11、电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版122. 圆柱坐标系圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高

12、等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版13ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教

13、育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版144. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱

14、坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版15本节重点本节重点回顾矢量的基本计算回顾矢量的基本计算熟练掌握三种常用坐标系熟练掌握三种常用坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社

15、出版出版16两个相隔一定距离的物体之间的相互作用：两个相隔一定距离的物体之间的相互作用： 超距作用超距作用以太论以太论场场1.3 标量场的梯度标量场的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版17q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速

16、场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第第1

17、 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版181.1. 标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空

18、间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版19当点当点M沿射线沿射线 趋近于趋近于 时时,比值比值l 0M0()()u Mu Ml 的极限称为标量场在点的极限称为标量场在点 处沿处沿 方向的方向导数方向的方向

19、导数, ,记作记作000()()limlMu Mu Mull l 0MM0lMl方向导数的概念方向导数的概念 2. 方向导数的概念方向导数的概念 l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版20直角坐标系中，方向导数的计算公式：直角坐标系中，方向导数的计算公式：0coscoscos

20、|Muuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 证明：证明： 0uu Mu Muuuxyzolxyz 如函数如函数u(x,y,z)在在M0点可微点可微 oluuxuyuzlxlylzll00coscoscos|limMluuuuullxyz 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版213. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu梯度的

21、概念梯度的概念：max|lugrad uel在直角坐标系中：在直角坐标系中：coscoscosuuuulxyzcoscoscosxyzxyzuuueeeeeexyzlG e cos,lGG e 由梯度定义可知：由梯度定义可知：xyzuuugradueeexyz标量场标量场u u在点在点M M处的梯度为一个矢量，其方向沿处的梯度为一个矢量，其方向沿u u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率变化率最大的方向，大小等于其最大变化率第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等

22、教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版22梯度的表达式梯度的表达式：zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 哈密顿算符哈密顿算符 xyzeeexyz zuuuueeez 圆柱坐标系圆柱坐标系 sinruuuueeerrr 球坐标系球坐标系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版23标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场

23、变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &

24、高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版24 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的

25、方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版25表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿

26、el方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)12 21222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版26而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函

27、数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版27本节重点本节重点熟练掌握标量场梯度的意义及计算方法熟练掌握标量场梯度的意义及计算方法第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等

28、教育电子音像出版社 出版出版281.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &a

29、mp; 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版292. 矢量场的通量矢量场的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念ddnSeS其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；ddFS 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SnSSeFSFdd矢量矢量 穿过面积元穿过面积元 的通量，定义为：的通量，定义为：dSF矢量矢量 穿过曲面穿过曲面S的通量为：的通量为：F

30、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版300通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果通量的物理意义通量的物理意义第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编

31、写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版313. 矢量场的散度矢量场的散度0( , , ) d ( , , )limSVF x y zSdiv F x y zV 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 如何研究场域内，每一点处的通量特性呢？或者说是通量如何研究场域内，每一点处的通量特性呢？或者说是通量源的分布特性？源的分布特性？ 某一点的散度，描述了该点单位体积内散发出来的矢量的某一点的散度，描述了该点单位体积内

32、散发出来的矢量的通量。也即该点通量源的密度。通量。也即该点通量源的密度。F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版32直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 000000000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFx y zx000000000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 即流出即流出

33、不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的体积元点的体积元 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF02xxx02xxx和和02xxx两面元的通量为：两面元的通量为：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版33于是根据定义求得散度为：于是根据定义求得散度为： 同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：同理，可计算出应流出另两组侧面的通量

34、，最后得：0d limySxzVFSFFFdiv FVxyz zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd div FF 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版34圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)

35、()(为常量)()()()为常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版354. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）dSFS体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S矢量通过曲面矢量通过曲面S的通量的通量dVF VddSVFSF V（S围成体积围成体积V内的通量源）内的通量源） 对通量源密度进行体积分对通量源密度进行体积分（S围成体积围成体积V内的通量源）内的通量源） 该式为矢量场的散度的体该式为矢量场

36、的散度的体积分与该矢量场的闭合曲积分与该矢量场的闭合曲面积分之间的变换关系，面积分之间的变换关系，在电磁理论中应用非常广在电磁理论中应用非常广泛！泛！第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版36本节重点本节重点矢量场通量的意义及计算方法矢量场通量的意义及计算方法矢量场散度的计算方法矢量场散度的计算方法散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波

37、电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版371.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的任何闭合曲面的通量为零。但在

38、场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。积分不为零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版381. 矢量场的环流矢量场的环流ClzyxFd),(环流的定义：环流的定义：( , , ) dCSH x y zlJ dS 磁场的环流与电流的关系：磁场的环流与电流的关系： CFdl矢量场矢量场 沿闭合路径沿闭合路径C C的环流。的环流。F矢量场矢量场 沿场中一条闭合路径沿场中一条闭合路径C C的曲线积分的曲线积分F第第1 1

39、章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版39SCMFne环流面密度的定义：环流面密度的定义：0drotlimCnSFlFS 称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。ne特点特点：其值与面元其值与面元 的法线方向有关。的法线方向有关。S 在矢量场在矢量场 中的任一点中的任一点M处作一面处作一面元元 ，取，取 为此面元的法向单位矢量。为此面元的法向单位矢量。当面元当面元 保持以保持以 为法向分量

40、而向点为法向分量而向点M无无限缩小时限缩小时FSneneS第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版40以表示旋度以表示旋度rotFSCMdlnerotF2. 矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场矢量场 在点的旋度是一个矢量在点的旋度是一个矢量F大小：该点最大环流密度的值大小：该点最大环流密度的值方向：取得最大环流密度的面元的法线方向方向：取得最大环流密度的面元的法线方向nrot F和方向导数与梯度的关系类似：沿任一方向和方

41、向导数与梯度的关系类似：沿任一方向的环流面密度等于旋度沿该方向的投影。的环流面密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）（旋度在该方向的分量）rotrotnnFeF旋度的定义：旋度的定义： 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版41旋度的计算公式：旋度的计算公式： 在直角坐标系中，由旋度的定义可得旋度的计算公式为：在直角坐标系中，由旋度的定义可得旋度的计算公式为：yyxxzzxyzFFFFFFrotFeee

42、yzzxxyxyzxyzeeexyzFFFF 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版42zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电

43、磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版43旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版443. 斯托克斯定理斯托克斯定理

44、 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消该定理表明矢量场的旋度在曲面上的面积分，等于矢量该定理表明矢量场的旋度在曲面上的面积分，等于矢量场沿限定曲面的闭合曲线上的线积分，即场沿限定曲面的闭合曲线上的线积分，即CSF dlF dS 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高

45、等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版45本节重点本节重点矢量场环流的意义及计算方法矢量场环流的意义及计算方法矢量场的旋度及计算方法矢量场的旋度及计算方法斯托克斯定理斯托克斯定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版461. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源旋度源旋度源1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场仅有散度源而

46、无旋度源的矢量场0F又因为，标量场梯度的旋度恒等于又因为，标量场梯度的旋度恒等于00u 因此，无旋场总可以表示为某一标量场的梯度，即因此，无旋场总可以表示为某一标量场的梯度，即Fu 函数函数u称为无旋场称为无旋场 的标量位函数，简称标量位的标量位函数，简称标量位F重要恒等式重要恒等式第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版47例如：静电场例如：静电场0EE标量位函数的引入，使得我们可以通过对标量场的研究标量位函数的引

47、入，使得我们可以通过对标量场的研究来得到相应的矢量场。这在某些情况下可以大大简化计来得到相应的矢量场。这在某些情况下可以大大简化计算过程。算过程。可以通过研究标量电位可以通过研究标量电位 来得到电场强度来得到电场强度 的分布的分布E第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版48d0CSFlF dS 可知无旋场的曲线积分与路径无关，是保守场。可知无旋场的曲线积分与路径无关，是保守场。由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的

48、环流等于由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的环流等于0无旋场的特点：无旋场的特点： 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版49因此，无散场总可以表示为某一矢量场的旋度，即因此，无散场总可以表示为某一矢量场的旋度，即FA （2）无散场）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场0F又因为，矢量场旋度的散度恒等于又因为，矢量场旋度的散度恒等于00A 重要恒等式重要恒等式函数函数 称为无散场称为无散

49、场 的矢量位函数，简称矢量位的矢量位函数，简称矢量位FA 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版50无散场的特点：无散场的特点：由散度定理可知，无散场通过任何闭合曲面由散度定理可知，无散场通过任何闭合曲面S的通量等的通量等于于0d0SVFSF dV第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等

50、教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版514. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版521.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系uu2)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版53 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F2FFF 在直角坐标系中在直角坐标