平稳随机过程的概念

1、第一节第一节 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 一、平稳随机过程的概念一、平稳随机过程的概念 二、应用举例二、应用举例 三、小结三、小结一、平稳随机过程的概念一、平稳随机过程的概念 在实际中在实际中, 有相当多的随机过程有相当多的随机过程, 不仅它现不仅它现在的状态在的状态, 而且它过去的状态而且它过去的状态, 都对未来状态的都对未来状态的发生有着很强的影响发生有着很强的影响.如果过程的统计特性不随时间的推移而变如果过程的统计特性不随时间的推移而变化化, 则称之为平稳随机过程则称之为平稳随机过程.1. 定义定义和和如果对于任意的如果对于任意的Ttttnn ,), 2 , 1(21维维随随机

2、机时时当当任任意意实实数数nThthththn,21 )(,),(),(21ntXtXtX变变量量)(,),(),(21htXhtXhtXn 和和具有相同的分布函数具有相同的分布函数, 则称随机过程则称随机过程 ),(TttX 具有平稳性具有平稳性, 并同时称此过程为并同时称此过程为平稳随机过程平稳随机过程,或简称或简称平稳过程平稳过程 (严平稳过程严平稳过程或或狭义平稳过程狭义平稳过程).平稳过程的参数集平稳过程的参数集T, 一般为一般为:., 2 , 1 , 0, 2, 1, 0), 0),( 或或 为为平平稳稳随随称称平平稳稳过过程程为为离离散散情情况况当当nXT,机序列机序列, 或平稳

3、时间序列或平稳时间序列.说明说明(1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重要的实际意义要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤过程若是平稳的可使问题的分析尤为简化为简化.(2) 平稳过程的数字特征有很好的性质平稳过程的数字特征有很好的性质. 平稳过程数字特征的特点平稳过程数字特征的特点:)()(存存在在的的均均值值函函数数设设平平稳稳过过程程tXEtX线线都都在在水水平平直直线线平平稳稳过过程程的的所所有有样样本本曲曲)1(.,X 平平均均偏偏离离度度为为上上下下波波动动Xtx )(的的自自相相关关函函数数设设平平稳稳过过程程)()2(tX.

4、)()(),(2121存存在在tXtXEttRx 的单的单函数仅是函数仅是那么平稳过程的自相关那么平稳过程的自相关 12tt.变函数变函数(即不随时间的推移而变化即不随时间的推移而变化).协方差函数可以表示为协方差函数可以表示为 )()()(XXXtXtXEC .)(2XXR ,0 若若令令.)0()0(22XXXXRC 则则说明说明 要确定一个随机过程的分布函数要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定并进而判定其平稳性在实际中不易办到其平稳性在实际中不易办到.2. 广义平稳过程广义平稳过程定义定义1如果对任意如果对任意给定二阶矩过程给定二阶矩过程,),(TttX :,Ttt )()(常常数

5、数XtXE )()()( XRtXtXE .,),(或或广广义义平平稳稳过过程程为为宽宽平平稳稳过过程程则则称称TttX 说明说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也则它必定也是宽平稳的是宽平稳的. 反之不成立反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的宽平稳的正态过程必定也是严平稳的. 定义定义2同时考虑两个平稳过程同时考虑两个平稳过程: )()(tYtX和和如果它们的互相关函数也只是时间差的单如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数变量函数, 即即),()()(),( XYXYRtYtXEttR 或或两两过过程程是是是是平平稳稳相相关关的的

6、和和称称那那么么,)()(,tYtX联合宽平稳的联合宽平稳的.二、应用举例二、应用举例 例例1是是互互不不相相关关的的随随机机变变量量设设, 2 , 1, kXk则则有有且且序序列列, 0,22 kkXEXE , 0,),(2lklkXXElkRlkx ,有关有关即相关函数只与即相关函数只与lk 所以它是宽平稳的随机序列所以它是宽平稳的随机序列. 则序列是则序列是是独立同分布的是独立同分布的如果如果,21kXXX严平稳的严平稳的.例例2上上服服是是在在的的函函数数是是一一周周期期为为设设), 0(,)(tTts 为随机为随机称称从均匀分布的随机变量从均匀分布的随机变量)()(, tstX.试讨

7、论它的平稳性试讨论它的平稳性相位周期过程相位周期过程解解的概率密度为的概率密度为 ., 0,0,/1)(其他其他TTf X(t) 的均值函数为的均值函数为 )()( tsEtXE TTiisTTts0.d)(1d1)( 的周期性的周期性利用利用)( s.d)(1)(0常常数数知知 TsTtXE 而自相关函数而自相关函数)()(),( tstsEttRX d1)()(0TtstsT 具有周期性具有周期性有有关关仅仅与与 )( XR 所以所以随机相位周期过程是平稳的随机相位周期过程是平稳的. 特别特别, 随机相位随机相位正弦波是平稳的正弦波是平稳的. d)()(1 ssTTii例例3考虑随机电报信

8、号考虑随机电报信号 t)(txIoI 2/1)()( ItXPItXP这这里里),(),( ttNtt内内变变化化的的次次数数而而正正负负号号在在区区间间由只由只信号信号)(tXII 或或取取.的电流给出的电流给出是随机的是随机的, .),(服服从从泊泊松松分分布布假假设设 ttN即事件即事件),(kttNAk 的概率为的概率为, 2 , 1 , 0,!)()( kekAPkk .0的数学期望的数学期望是单位时间内变号次数是单位时间内变号次数其中其中 .)(的平稳性的平稳性试讨论试讨论tX解解0)( tXE)()( tXtXE下下面面计计算算内变号偶数次内变号偶数次如果电流在如果电流在), t

9、t,)()(2ItXtX必必同同号号且且乘乘积积为为和和 内变号奇数次内变号奇数次如果电流在如果电流在), tt,)()(2ItXtX 乘乘积积为为和和 的的概概率率为为事事件件)()(2ItXtX .)()()(420 APAPAP的概率为的概率为事件事件)()(2ItXtX )()(31APAP 0012222)()()()(kkkkAPIAPItXtXE .!)(2202 eIkeIkk结果与结果与t 无关无关,0 tt令令时时而而 22)()( eItXtXE有有关关只只与与 则自相关函数则自相关函数:.)(是是一一平平稳稳过过程程所所以以随随机机电电报报信信号号tX其图形为其图形为:

10、2I o)( XR其其概概率率密密度度为为变变量量是是服服从从瑞瑞利利分分布布的的随随机机其其中中设设随随机机过过程程, )cos()(AttAtX 0, 00,)(2222aaeaafa ?)(,)2 , 0(是是不不是是平平稳稳过过程程问问是是一一常常数数随随机机变变量量相相互互独独立立的的上上服服从从均均匀匀分分布布且且与与是是在在tXAn 解解2d)(022222 aeaAEa因因例例4202022322d2d)(2222 aaeaeaAEaa故故 )cos( tAE )cos()cos(),(2121 tAtAEttRX.)(是是平平稳稳过过程程所所以以tX )cos( tEEA00

11、 EA )cos()cos(212 ttEEA)(cos212122tt cos2 ?),0()(:.,),(是是否否仍仍为为平平稳稳过过程程问问变变量量而而且且不不恒恒等等于于一一个个随随机机过过程程是是一一个个零零均均值值的的平平稳稳设设 tXtXttX解解 是是一一个个零零均均值值的的平平稳稳因因 ttX),(,过程过程0)( tXE)(),( XXRttR 故有故有例例5),0()()(XtXtY 令令.)0()()(不不是是平平稳稳过过程程可可见见XtXtY )0()()(XEtXEtYE 则则)0(X )0()()0()(),(XtXXtXEttR )0()()()0()(2XtXEtXEXRX 三、小结三、小结