数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.4.3　余弦定理、正弦定理第二课时　正弦定理

1、 第六章第二课时正弦定理借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题.课标要求素养要求通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正弦定理解三角形，提升逻辑推理素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.正弦定理的表示(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.正弦2.正弦定理的变形形式1.思考辨析，判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形.( )(2)在ABC中，等式asin Absin B总成立.( )(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值

2、.( )提示(1)正弦定理适用于任意三角形.(2)只有AB时才能成立.C解析由B60，C75，得A180(BC)45.A解析由正弦定理得sin Asin Cac75.课堂互动题型剖析2题型一利用正弦定理解三角形角度1已知两角及任意一边解三角形【例1】已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B.解根据正弦定理，得又B180(AC)180(4530)105.已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.思维升华ba，A60或A120.当A60时，C180AB75，当A120时，C180AB15，已知三角形的两边及其中

3、一边的对角解三角形的步骤：(1)求正弦.根据正弦定理求另外一边所对角的正弦.(2)求角.先求另外一边所对角的取值范围(根据大边对大角)，再根据其正弦求角，最后根据三角形的内角和定理求第三个角.(3)求边.根据正弦定理求第三条边.思维升华C75所以B45，从而A180(4560)75.【例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.题型二判断三角形的形状解在ABC中，由正弦定理得即a2b2c2，A90，BC180A90.又sin A2sin Bcos C，sin 902sin Bcos(90B)，B45，C45.ABC是等腰直角三角形.

4、利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状.思维升华【训练2】在ABC中，若acos Abcos B，试判断ABC的形状.所以2sin Acos A2sin Bcos B，即sin 2Asin 2B，因为A，B为三角形内角，所以ABC是等腰三角形或直角三角形.解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.题型三正弦定理和余弦定理的综合应用因为0Ab，所以AB，即B30.B60或120ba，BA，且0B180，B60或120.三、解答题9.在ABC中，已知a10，B75，C60，试求c及ABC的外接圆半径R.解ABC180，A180756045.10.在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，所以ABC为等腰三角形或直角三角形.A由正弦定理得2sin Csin Bsin B，所以sin B(2s