材料力学教材(PDF)_cl10

1、第十章能量法第一节概 述任何弹性体在载荷作用下都要发生变形，与此同时，载荷的作用点也要发生 相应的位移。因此，在弹性体的变形过程中，一方面，载荷在相应的位移上作功, 称为外力功，用卩表示；另一方面，在弹性体内将储存应变能因而，在卸载 时弹性体有恢复其原状的能力。根据能量守恒定律可知，若在加载过程中无能量损耗，则储存在弹性体内的 应变能，在数值上等于载荷所作的功，即U = W(10-1)通常将式(10-1)表达的原理称为功能原理，根据这个原理求解变形固体的位 移、变形等问题的方法称为能量法。能量法内容丰富、解题步骤简单；不受构 件材料和形状的限制；既可解静定问题，也可解超静定问题；既可解线弹性问

2、 题，也可解非线性问题和塑性问题。随着计算力学的发展，功能原理将得到更 广泛的应用。第二节弹性应变能的计算一、弹性应变能的一般公式广义力与广义位移设作用在弹性体上的外力为Fi (i=1, 2)，且弹性体因受约束只有变形引起的位移，而无刚性位移，如图10-1所示。 用& (i=1, 2,)表示外力Fi作用点沿该外 力方向的位移。这里的外力和位移泛指广义 力和广义位移，即力与相应的线位移，力偶 与相应的角位移。根据弹性体中的应变能只 决定于外力和位移的最终值，与施加外力的 次序无关(若有关，则按一个储存能量多的 次序加载，再按一个储存能量较少的次序卸 载后，弹性体内的能量就会增加，这与能量 守恒定

3、律相矛盾)，可选择等比例加载次序，将各力用由零同时加到终值，各&也由零同时增加到终值。对于线弹性体，Fi 与&有线性关系，引进一个在01之间变化的参数0,则对于外力册,有与之对应 的位移若加载中给0 一个增量d0 ,则外力和位移分别有相应的增量用d0 和3 ,d0,这时外力在位移增量上作的功为dW =工(0FOd0 + 2 FR03R0)略去二阶微量项Fd03d0/2的影响后，上式成为dW =(工 FiSi )0d0积分上式得到W =(工 FtSt )/0010 = 2 2 尸根据功能原理式(10-1),弹性体的应变能为u = W = 21 晌(10-2)上式表示线弹性体的应变能等于每一个外力

4、与其相应位移乘积的二分之一的总 和，这一结论称为克拉贝依隆(Clapeyron)原理。由于位移3和外力Fi是线性关系，所以将式(10-2)中的位移用外力代替， 则应变能就成为外力的二次函数。同理，若将外力用位移表示，则应变能成为位 移的二次函数。二、杆件应变能的计算1.轴向拉伸或压缩应变能杆件在轴向拉伸或压缩时的变形为/ = Fnl/(EA),根据式(10-2)有(10-3)当轴力Fn沿轴线变化时，可先求出微段dx的应变能dU,然后通过积分求得 整个杆件的应变能U = /i dU = /(10-4)2.扭转应变能对于受扭圆轴，若扭矩卩沿轴线变化时，可先求出微段dx(见图10-2)内的 应变能d

5、U = 1T (x)d =T 2(x)dx2GI p积分求出总应变能=JdU=r T 2(x)dxJi 2GIp(10-5)若扭矩T沿轴线不变，则有(10-6)对于非圆截面杆，上述各式中的Ip应换为It。3.弯曲应变能对于梁微段dx (见图10-3)的弯曲应变能为dU = 1M (x)d0M 2( x)dx2EI于是积分求得全梁的弯曲应变能为U = J dU = J 卑泸(10-7)4.剪切应变能如图10-4所示，考虑发生纯剪切变形的微段dx,由式(10-2)有dU =丄(TA)d2 =丄(勿)和T AdxFQdx=a2G2GA总的剪切应变能为U = J dU =faFJi 2GA(10-8)

6、式中Fq为梁横截面上的剪力，A为横截面面积，a为截面系数，对于矩形截面a =6庐，实心圆截面a =10/9，薄壁圆环截面a=2。应当注意，在一般细长梁中，由于剪力所作的功远小于弯矩所作的功，因此， 剪切应变能通常忽略不计。5.组合变形下的应变能如图10-5所示，考虑组合变形下杆件的微段dx,其两端横截面上作用有轴力Fn(x)、弯矩M(x)和扭矩T(x).与各力相对应的位移有轴向位移d(A /),相对转角d0和相对扭转角d。由式(10-2)可求得微段的应变能为dU = 1 Fn (x) d(Al) +1M(x)d0 +1T(x)d。FN (x)dx M 2(x)dx T 2(x)dx=112EA2EI2GI p积分上式，求得整个杆件的应变能为U f FN (x)dx o(io-23)于是得到最小势能原理，即在满足梁的约束条件的所有挠曲线中，真实挠曲线使 梁的势能为最小值。现在考虑梁只受集中力作用的情况，如图1 o-15所示。根据式(io-21),并将U表示为81、82、8”的函数，使用最小势能原理，有z=1i=1i8V = t 8 妙-E F,妙