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拉盖尔多项式 I氢原子薛定谔方程广义拉盖尔方程拉盖方程与拉盖尔多项式广义拉盖尔多项式定态薛定谔方程氢原子是最简单的原子,它的核由一个质子组成,其电荷数 Z=1. 为使计算结果也适用于其它类氢原子, 假定原子核有 Z 个质子, 带有正电荷 +Ze . 取核在坐标原点, 根据库仑定律, 势函数薛定谔方程 分离变量. 设势能具球面对称性, 考虑坐标变换薛定谔方程算符其中球坐标系下定态薛定谔方程分离变量法, 设 角动量本征方程 求解结果(见球谐函数) 径向方程角向方程( 球谐函数 )( 拉盖多项式 )令 , 令 渐近行为分析:当时, 方程近似为令称方程为 n 次 (2l +1) 阶广义拉盖尔方程径向薛定谔方程解为 n 次 (2l +1) 阶广义拉盖尔多项式记拉盖尔方程设级数解微分方程 拉盖尔方程多项式解取多项式最高次项系数为拉盖尔多项式拉盖尔方程注: 量子力学教材所用拉盖尔多项式略有不同取广义拉盖尔多项式拉盖尔方程与广义拉盖尔方程比较拉盖尔多项式与广义拉盖尔多项式比较思考题与练习题1. 比较极坐标和球坐标下拉普拉斯表达式异同2. 证明二阶常微分方程的解为
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