结构动力学-第八章连续系统振动及精确解

1、第八章连续系统振动及精确解8-1 波动方程设张力T，单位长度质量密度，长L，取微段dx，假设弦的横向挠度y很小因而随挠度而变的张力变动极小，可以不予考虑。1 弦的振动由牛顿第二定律微振动条件下，有故运动微分方程为边界条件为：8-1 波动方程等截面均匀细直杆，单位体积质量密度为，长L，面积A，弹模E，轴向力P(x)。取微段dx。2 杆的纵向振动由材料力学，在截面x处，有OxxdxuLPdm微段dx运动微分方程:8-1 波动方程3 杆的扭转振动不作介绍，后面以例子说明弦的振动、杆的纵向振动和杆的扭转振动有相同形式的运动微分方程，解的形式也一样。4波动方程的解设统一形式的微分方程：具有解：或分离变量

2、：他们的解都是简谐函数：波动方程的通解为：四个积分常数由边界条件和初始条件确定。例设张力T，单位长度质量密度，长L。求：固有频率及振型。解：弦的振动：边界条件：第r阶振型为：第1阶振型 第2阶振型第1阶振型第2阶振型第3阶振型某特大桥结构竖向弯曲振型图第1阶 某特大桥结构竖向弯曲振型图第2阶 123m中承式钢管混凝土拱桥桥面L/4位置跳车时各测点竖向加速度响应谱图 L/4和L/2测点190m中承式钢管混凝土拱桥桥面L/4位置跳车时各测点竖向加速度响应谱图 L/8、L/4、3L/8和L/2测点例已知：L，扭矩T0，t=0时释放。求：t0时的运动。解：扭转振动运动微分方程为：T0Lox式中：(x)

3、为扭转角， 为单位体积质量密度，G为剪切弹模。边界条件：xL处，端点应力（应变）为零，由于即：扭转振动固有频率：一阶固有频率：一阶振型函数为：任意阶振型i的响应为：总响应：初始条件：(1)t=0，各点速度为零，即(2)t=0，轴的静扭转角，于是有：各种边界条件和初始条件：弦：杆：8-2 梁的弯曲振动具有对称面的等截面细直梁，EI，(kg/m)，取微段dx由材料力学有：QqdxMdx取q为惯性分布载荷，有类似波动方程，有(1)简支梁情况(铰支铰支)(2)固支梁情况(固支固支)(3)悬臂梁情况(固支自由)(4) 自由自由边界条件(5) 固支铰支边界条件(6) 铰支自由边界条件(7) 附加质量、附加

4、弹簧的梁例1简支梁情况代入得求解得例1简支梁情况简支梁第r阶固有频率和振型分别为例2悬臂梁情况代入得求解得例2悬臂梁情况因为C和D不能同时为零，否则A和B也为零，是零解，不是我们希望的解。C和D非零解的条件是：矩阵系数行列式为零，由此可以得到：此式是求解系统频率的方程，为超越方程。例2悬臂梁情况固有频率求解可以采用图解法或其他方法，图解法得到的固有频率与L的关系为：1L2L3L4L5L6L1.875 4.694 7.855 10.996 14.137 17.279 8-3 主振型叠加法梁的横向振动通解为：具有分布载荷作用的梁横向振动微分方程为：两边乘以j(x)dx并对全梁积分，得：(1)和(2

5、)式积分相减，得：由梁的自由横向振动微分方程，有实际上，对于铰支、固支和自由边界条件，有当ij时，i j，于是有：当ij时，i j，有：振动微分方程(*)式可改写为(将式(1)与(2)代入)：取归一化模态质量Mi1，则：可按单自由度系统方法求解。注意初始条件的确定：8-4 具有拉力的梁的横向振动具有对称面的等截面细直梁，拉力T，EI，(kg/m)，取微段dxQMdxTTxy可以得到两个常微分方程：对于两端铰支的边界条件，有：由(5)与(7)得：AB0另外式(8)可以改写为：由(6)与(9)得：振型为：对于两端固定的边界条件，经过推导，有频率方程 式中：T吊杆的拉力(N)， L吊杆长(m)， 吊

6、杆的质量密度(kg/m)， 吊杆的固有频率(rad/s)，EI 吊杆的弯曲刚度(Nm2)。该式是超越函数方程，不能从测得的频率直接解出吊杆的拉力，但可以采用对分法或迭代法进行求解，此时，给定拉力及其它参数可以求出吊杆的前几阶固有频率，并将计算结果与测量的吊杆前几阶固有频率进行比较，若误差较大，则重新给定拉力或修改其它参数，直到计算结果与测试结果吻合较好为止。 若吊杆弯曲刚度和质量密度不能确切知道又如何？ 一般地，桥梁会有多对吊杆拉力需要测量，对这些吊杆拉力测量采用整体误差极小化的方法将可能得到较好的测量结果。 假设需要测量拉力的吊杆数为N，由于各杆材料特性及几何特性基本相同，故可设各杆的弯曲刚度和质量密度均相同，要通过该式的求解使N根吊杆计算得到的固有频率与测试频率吻合较好，可使下式具