高中数学常见题型解法归纳空间几何点的坐标的写法

1、高中数学常见题型解法归纳空间几何点的坐标的写法【知识要点】一、空间向量的正交分解rr r r , r r r r r r r仝间的任息向重a ,均可分解为不共面的二个向重xi、yj、zk ,使a xi y j zk ,如果i,j,k两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解 二、空间向量基本定理urp ,存在一个唯一的有序实数组x,y,z使r r ra, b,c叫基向量.个单位，则这个基底叫做单位正交基底，通常用r r r如果三个向量 a,b, c不共面，那么对于空间任意一个向量ur r r rr r rp xa yb zc.我们把a,b, c叫做空间的一个基底，其中三、单位正交分解如果空间一个

2、基底的三个基向量互相垂直，长度都为1r r r I, j,k表示.四、空间直角坐标r r rI,j,k的方向为x轴，y轴，z轴的正方r rxi yjrzk ,我们把x, y, z称作向量在单r r r若i, j,k为有公共起点 O的三个两两垂直的单位向量，分别以ur向建立空间直角坐标系O xyz ,有序实数组x, y,z使得pr r rinur位正交基底i,j,k下的坐标，记作 p (x,y,z),则坐标(x,y,z)就是向量p的坐标.五、写空间点的坐标常用的有直接观察法、向量法、作坐标线法三种【方法讲评】直接观察法使用情景点的位置比较特殊，一般在坐标轴上或其它特殊位置.解题步骤直接利用空间向

3、量点坐标的定义观察写出点的坐标【例1】如图，在直三棱柱 ABC AB1cl中，BC J2,AB AC AA1 1, D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与 AG的延长线的交点，且 PB /平面BDA1 .(1)求证：CD C1D；(2)求二面角 A B1D P的正弦值.【解析】（D连接与上交与4于。:理1门平面电必,男尸匚面严,面严n面刀4。二0刃，耳p# 0D又。为出X的中点,，管为HP中点，G为4尸中点.AACDAPClD :.CD = Cp*.ABAC(2)1在直三棱柱 ABC4B1G 中,BC=J14B=ACl以4为坐标原点以4营口 4G 4K所在直线建立空间直角坐标系如图所示.由(

4、1)知Ci为AP中点1.点 A，Bi，D,P 坐标分别为 A(0,0,0) , Bi(1,0,0), D(0,1, ), P(0, 2,0)2LT设平面ABQ的法向量m (x,y, z)LTIT. m AB1 且 mAD.1取 z 2y z 02/.ffl =(0.-L2)同理：平面用的法向量7 =(工L2)设二面角同一为刃尸平面角为e则8包亘& = IMEI 5【点评】该题中的几何体比较特殊的几何体直三棱柱，题目中的各个点比较容易直接观察得到，所以选择直接观察法写出各点的坐标 .在正方体、长方体、直棱柱、正棱柱等特殊几何体中也常用直接观察法【反馈检测1】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面A

5、BCD是正方形，侧棱 PD，底面ABCD ,PD DC, E是PC的中点，作EF PB交PB于点F.(1)求证：PA /平面EDB ；(2)求二面角F DE B的正弦值.方法向量法使用情景点在一般位置，不是特殊位置 .解题步骤利用向量的关系计算出空间点的坐标.【例2】己知四棱锥P ABCD ,其中底面ABCD为矩形侧棱PA 底面ABCD ,其中BC 2, AB 2PA 6, M ,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示：(1)求证：AN|平面MBD;(2)求二面角B PC A的余弦值.【解析】(1)证明：连结WC交EDbd于。,连结加，二底面/3CD为矩形为KC中点,以为侧棱FC的三等份点，：

6、.CM = CNf tOMAN,加仁平面/仁平面MBDn二心平面MHD(2)易知 ABP为等腰直角三角形，所以BP为外接圆的直径，所以PB 3我,PA 3,如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系 A xyz ,则 A(0,0,0) , B (3,0,0) , C (3,6,0) , D (0,6,0) , P (0,0,3),uuur 2 uu1r2设 M 坐标为(xm4miZm),由题得 PM PC,所以(Xmm,Zm 3) -(3,6, 3) (2,4, 2)33 TOC o 1-5 h z Xm2Xm2所以yM4yM4,所以M坐标为(2,4,1),同理N点坐标为(1,2,2),设平面

7、BCP的Zm 32Zm1iruunuuiruuuuur法向量为m(x,y,z), QBP( 3,0,3), BC(0,6,0),并且 m BP,mBC,3x 3z 0 ,令 x 1居 y 0,z 1,6y 0，平面MBD的一个法向量为 -(1,0.1), 设平面PAC法向量为1 =(孙k逐)j 同理可得.二(21。) m fi 2 /Tocos K /H1H= -mn &后 5由图可知二面角0 尸C -幺为锐甬？，二面角3-m一/的余弦值为萼.uuurPMuuur2 unrPC, PN1 uuurPC列出方3【点评】本题中的点 M , N的坐标不是很好写，所以要根据向量的关系 程，再解方程即可

8、推算出 M ,N的坐标.【例3】如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC AB1cl中，侧面A1ACC1 底面ABC , AAC 60 .(I)求侧棱 AA1与平面AB1c所成角的正弦值的大小；unr unr uur(n)已知点D满足BD BA BC ,在直线AA1上是否存在点P ,使DP /平面AB1C ?若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.AC于点O ,【解析】（I），.侧面A1ACC1底面ABC ,作AOAO 平面 ABC ,又 ABCAAC 60O,且各棱长都相等,AO 1, OAi OB , 3, BO AC故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ,则A (0

9、, 1, 0), B (Vs, 0, 0), Ai(0,0,V3), C (0, 1, 0), AA1 = (0,1,73).设理三7,2)7由题得直二瓯所以卫二(Q L瓦忑,y所以=所以为(道.L曲)二福二(62而ac二m谡平面AB.C的法向量为再;飙乂 1)n AB1 = y/3x+2y+y/3 = 0人 JI I -1-Jn -fiC=2y 0I石|日广云互=彳而侧接与平面4JQ所成角,即是向量 而与平面 皿C的法向量所成锐角的余角,，侧楂与平面/瓦c所成再的正弦值的大小为. 4uur uuu uur(n) . BD BA BC , uuu _uuur_而 BA ( ,3, 1,0) ,

10、BC ( .3,1,0) uuur .BD (-2百0,0).又 B(J3,0,0) , 点 D 的坐标为 D( 73,0,0).假设存在点P符合题意，则点 P的坐标可设为 P(0, y,z).uuurDP (.3, y,z)r DP /平面AB1C , n ( 1,0,1)为平面AB1c的法向量,uuu，由APLUITy 1aa，得 ll，y 0-又DP平面AB1C ,故存在点P ,使DP /平面AB。，其坐标为(0,0,J3),即恰好为Ai点.uur uuur【点评】本题中的点 B的坐标不是很好写， 但是AA = BB利用列出关于点 81坐标的方程便可以比较方便地写出它的坐标.【反馈检测2

11、】正三棱锥O ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为 2. E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱 OA、OB、OC或其延长线分别相交于A、B1、C1 ,已知 0Al(1)证明：BiCi平面OAH ； (2)求二面角O AB1 Ci的余弦值；(3)求点B到平面A1B1C1的距离.方法三作坐标线法使用情景点所在的三角形是直角三角形.解题步骤作出点的坐标线，根据坐标线写出点的坐标、3.3【例4】如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，且PA AD 1 , AB 2, PAB 120,PBC 90.(I)求证：DA 平面PAB ;(n)求直线 PC与

12、平面ABCD所成角的正弦值.【解析】C I )平面尸皿，平面5;ZPflC = 90 ：.BCPB1四棱锥P的底面ABCD为拒形二BCAB:尸8匚平面匚平面且咫.BC_L平面尸AB.以，平面尸期(n)以点 A为坐标原点， AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得uurj3 5可得 CP =(二,-5,-1) 22ur平面ABCD的单位法向量为m = (1,0,0),设直线PC与平面ABCD所成角为q ,_ 苴贝U cos(-= 二 I= j 二 =回 ii iJOTi sNtJ?*痛点帽例8言,即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为 噂.【点评】本题中点 P的坐标，直接观

13、察不是很方便，需要过点P作PH AB ,垂足为H ,再解三角形APH ,得到AH , PH的长度，即可得到点 P的坐标.【反馈检测3】如图在底面为菱形的四棱锥 P ABCD, ABC 60 ,PA AC 1,PB PD J2 ,一 PE点E在PD上，且 2 . ED(I)求证：PA 平面ABCD ;(n)求二面角 E AC D的正弦值;(m)在棱PC上是否存在点F使得BF P平面EAC ?若存在，试求 PF的值；若不存在，请说明理由.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲:空间几何点的坐标的写法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明过程详见解析;22【反馈检测1详细解析】如图建立空间直角坐标

14、系，点D为坐标原点，设 DC1.（1）证明:连结/G 4c交加于点连结豆G.依题意得盘1O.P（OQ1）.反因为底面是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的生标为（；二0）,且取=（1+0-IXEG = （1.0-1）.所以成;2的，即尸/日EG,而EGu平面EM,且融仪平面EDfi,因此平面.11、.1.(2) B(1,1,0),PB (1,1, 1)，又 DE (0,一)，故 PB DE 0,所以 PB DE .2 2由已知EF PB ,且EF DE E,所以PB 平面EFD .1 1 所以平面EFD的一个法向量为 PB (1,1, 1). DE (0),DB (1,1,0), 22不

15、妨设平面 DEB的法向量为a （x, y,z）z) 0- 1a DE (y贝U2a DB x y不妨取 x 1则 y 1,z 1 ,即 a (1, 1,1)设求二面角F DE B的平面角为cosa PB|a|PB|1一 因为 0,所以sin32,23面角FDEB的正弦值大小为2.2【反馈检测2答案】（1）见解析；（2） Y6； （3） Y6 66【反馈检测2详细解析】C）证明：依题设？即是AABC的中位线，所以即力 吟 则即II平面仃,所以即4G又笈是即的卬点，所以必，即j则应1星c-因为OALOC,所以面叁c,则。(2)作 ON，A1B1 于 N ,连 C1N .因为 OCi，平面 OAiB

16、i ,根据三垂线定理知，CiN AiBi ,ONCi就是二面角O AB Ci的平面角.作EM OBi于M ,则EM / OA,则M是OB的中点，则EM OM i.OB10 AlMBi EM/日 x得，x i3 一 一3 ,解得x 3,2在 Rt 0A1B1 中,ABOAi2 OBi2)卮则，ON 2OAi OBiABi35.所以 tan ONCi0clONOAiBiCi余弦值为6解法二；(1)以直线0A 0C 0封分别为小r工轴建立空间直角坐标系10-砂则找Z 0。灰Q Q 2%乳2 L 6 D /L L 01所以在=43审=(1.；。.而=(022)所以血.。:。，。巨力仃二。所以刀C_L平

17、面MT由EF RC得必G#卫C,故：46_1_平面。3(2)由已知 A(一,0,0),设 Bi(0,0, z)2UUUr iUUUr则 AiE( 一,0,i), EBi(2,UUUT , UULT一 ，由AE与EB共线得：存在i,0, z 1)uuirR有AEUUUTEB/导i2zi (z i)Bi(0,0,3)同理：C1(0,3,0)UULUT 3AB (严UULUTACi“0)设京2。是平面d用G的一个法向量,I -x+32 = 0令x = 2得 Y=x = 二吗=（ZLD,* + 3y =0I 2又叫二是平面。/耳的一个注量 TOC o 1-5 h z -1/6/. cos=r =J4+1+16所以二面角的余弦值为理3r由则m=（一10,2）, ,则点s到平面4及的距离为d二-呵 同【反馈检测3答案】（1）见解析；（2） 1 （3） 22【反馈检测3详细解析】（I）证明：在菱形 ABCD中， ABC 60 , AC AB AD . PA AC 1,PA AB AD 1.PB PD -2,._2_22_2_22 PA AB PB ,PA AD PD .PA AB, PA AD . ABI AD A,PA 平面 ABCD .(n)如图，以 A为原点建立空间直角坐标系，依题