高中数学小专题精品97

1、数学小专题微专题97不等式选讲一、基础知识：(一)不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：a b b aa b,b c a c (不等式的传递性)注：a b,b c a c, a c等号成立当且仅当前两个等号同时成立 TOC o 1-5 h z abacb cab,c0 ac bc;ab,c0 ac bcab0anbn n2,nNab0njan/b n2,nN2、绝对值不等式：| ab|a b a b|a b ab等号成立条件当且仅当 ab 0| a b a b等号成立条件当且仅当 ab 0号成立当且a b b c a c ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中仅当a b b c

2、0 3、均值不等式(1)涉及的几个平均数:调和平均数:Hnn1111Laa?an几何平均数:代数平均数:平方平均数:Gnn a1a2L anaa2LanQna2a； L2anLan(2)均值不等式：Hn Gn An Qn ,等号成立的条件均为：为 a2第-1 -页共15页数学小专题数学小专题(3)三项均值不等式:Dabc 33 abca2b2c2 3abcabc3abc32,22abc24、柯西不等式：ai2 anbi2b2b2a1bl a2d L2 anbn等号成立条件当且仅当aibia2b2bnb2bn 0(1)二元柯西不等式:b2acbd等号成立当且仅当 ad bc(2)柯西不等式的几个

3、常用变形 柯西不等式的三角公式:aibi2a2 b2L2anbn2a22 anbnaia2 Lanbib2 L bn2ai2a2bib22anbnbib2 Lbnaia22an式体现的是当各项a2,L2,an系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系,刚好是均值不等式的一个补充。bib2anbn2a2L ana1bla2b2 Lanbn5、排序不等式：设21a2L an, bib2Lbn 为两组实数，ci,c2,L ,cn 是 b1，b2,L ,bn的任一排列，则有:aibna?bn iLanbia1cla2c2Lancnaibia2b2Lanbn即“反序和 乱序和顺序和”(二)不等式

4、选讲的考察内容:1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立第-2 -页共I5页数学小专题数学小专题2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利 用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型一将式子向定值放缩（消元）一验证 等号成立条件” 3-解不等式（特别是含绝对值的不等式一一可参见“不等式的解法” 一节）二、典型例题： 例1：若不等式x 1 x 3 m 1包成立，则m的取值范围为思路：本题为恒成立问题， 可知m 1 x最小值即可，一种思路可以构造函数f x2x 4,x类讨论得到分段函数：f x 2, 32x 4,x以想到绝对值不等式：x 1 x

5、3 xm 12,从而 1 m 3答案：1 m 3例2：若存在实数x使得x2 4x a 2思路：本题可从方程有根出发，得到关于a1 x 3 min ,所以只需求出 x 1 x 3的x 1 |x 3 ,通过对绝对值里的符号进行分1x 1 ,进而得到f x min 2,另一种思路可31 x 32 ,进而直接得到最小值，所以a 10成立，求实数a的取值范围向不等式，从而解出 a的范围解：依题意可知二次方程x2 4x a 2 a 10 有解 TOC o 1-5 h z 16 4 a 2 a 10当 a 2时，2a 3 4az a2,22当1 a 2时，2 a a 1 41 4恒成立a 1,2当 a 1时

6、，2 a 1 a 4 a2,1综上所述，可得a第-3 -页共15页数学小专题数学小专题例3:已知函数f x(1)当a 1时，解不等式f x(2)若不等式f x 4对一切xR恒成立，求实数a的取值范围(1)思路：所解不等式为4,可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式解：(1)当x 1时,x 1,2当0 x 1时，x 20.1当x 0时，x 2 1综上所述：不等式的解集为2922 一,03(2)思路：若不等式 f x4恒成立，可知只需min4即可，f x含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数3x2a2a2a,xx, x3x,xa,0,a,0,通过分析函数性质即可得到 f x min解：Q f

7、 x4恒成立min3x2a,xa,考虑2ax, x0,a,a单调递减,min例4:2a已知a,b,c都是正数，且a思路一：已知a 2b 3c为常数,3x,xa,0单调递增2b 3c 6,求J3c 1的最大值从所求入手，发现被开方数的和为a 2b 3c 3也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值第-4 -页共15页数学小专题数学小专题解：/、,年3n222,a 1 2b 1、3c 1a 1 2b 1 3c 1,3ca 2b 3c 33、，3等号成立当且仅当2b1 3c 12b3c所求可西不等式（活用 1 ） 2、.3c 11 .2b 1 1 . 3c而可得：1 -a

8、- 1 .2b 1 1 3c 1 212, 2b 1 2，3c 1 2即 1、a1 1 J2b1 13c-13 a 2b 3c 327以可知ain ,2b 1. 3c 1 3.3小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下:22aa2,2,221 4 4 2 4 4勺a1 1a2 1n个12Lan 1a2a1a2a1a2aia2anan222n a1a2 L an22.2aa2Lan22,2n aa? L an22.2aa2Lan例5：已知a,b,c是实数，且a2b 2c的最大值是

9、思路：考虑将2a b 2c向a2 b2 c2进行靠拢，由柯西不等式可知第-5 -页共15页数学小专题数学小专题.22.22222ax by cz a b c x y z ,对照条件可知令x 2,b 1,z 2即可，所以 2ab2c2 a2 b2c22212229,贝U2ab 2c 3答案：3小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。例6：已知实数a,b,c,d满足a b c d 3,a2 2b2 3c2 6d2 5,则a的取值范围是思路：本题的核心元素为a,若要求a的取值范围，则需要

10、寻找两个等式中项的不等关系，即关于b,c,d的不等22Iaia2Kbib2_ 2222b 3c 6d验证等号成立条件:答案：a 1,2系，考虑到b c d 32L包 h b2 L bnbn11 12- b c d 2 3 51,a 2时均有解。a,2b2 3c2 6d2司 a2 Lan，代人可得：5 a225 a ,联想到柯西不等2, 贝U 有23 a 解得：a 1,2 ,例7：已知a,b,c均为正数，求证：a2 b2 c2a,b,c为何值时，等号成立思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系,右侧为常数，所以可想到基本不等式中a,b2Vab,右侧为2 . 22小3 2. 2 2 111a

11、b c 3.abc,一 一 a b c9 ,从而将左侧的项均转化为与abc相关的项,abc然后再利用基本不等式即可得到最小值6后,即不等式得证解：由均值不等式可得：a2 b2 c2 33 a2b2c2第-6 -页共15页数学小专题数学小专题113abc1b2等号成立条件:例8:已知(1)(2)求证:(1)思路:式的变式:解：1 a0,b2,2. 2a b33a2b2c2934，的最小值1 bab a b从所求出发可发现其分母若作和,则可与2a1bi12abc33 a2b2c2926 J 3 abcb 2找到联系，从而想到柯西不等2 a2b212由柯西不等式可得:Qa b 2(2)所证不等式等价

12、于:2 anbn222, 2a ba a2b1b2L a nL bn从而121 231 a b1222a2 ba2bab2 ab ,观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项,即:2. 222.a b a 2a ba2b2 b2 2ab2 ,三式相加即完成证a2 b2 2ab证明：由均值不等式可得:a2b2a2b22a2 ab2b22a2b2ab22ab三式相加：2 a2b2b2a2b ab2ab即 a2b2a2 b2a2b ab2abab a b第-7 -页共15页数学小专题数学小专题小炼有话说：对于求倒数和（即a2,L , an为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式

13、可供使用：,罡L 田 一 比L 第和bib2bnbi b2 L bn2%曳L 亘 a1a2L一a一，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第b1b2 bna1bla2 b2L anbn一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。 a b c例 9：设 a,b,c R ,求证：aabbcc abc 3思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证 不等式等价于3alna 3bln b 3cln c a

14、 b c In a In b Inc，化 简后可得：2aln a 2bIn b 2clnc aln b aln c bln a blnc cln b clna，所证不等式为轮换对称式，则不妨给 a,b,c定序，即a b c 0,则lna ln b lnc ,由的特点想到排剩下的组合为乱序和或反序和，必序不等式，则aln a blnb cln c为顺序和，是最大的,alna bln b clncalna bln b clncaln bblncblnacln bclna r 一 r ,两式相加即可完成证明。alnc证明：Qa,b,c R将所证不等式两边同取对数可得:abca, b c , -wab

15、cabc 3aln a bln bcln cc-ln a ln b ln c3aln a 3bln b 3clnc a b c ln aln b ln c3a lna 3bln b3clnc alna aln b a lncblna bln bblnc clna clnb clnc2a lna 2bln b2cln c aln b aln c blnablnc cln bcln aQ所证不等式为轮换对称式不妨设a b c 0lna ln b lncalna bln b clnc alnbblnc clna alna bln b clnc blnaclnb alnc 第-8 -页共15数学小专题

16、数学小专题可得：2alna 2bln b 2clnc aln balnc bln a bln c cln b cln aa b c即证明不等式aabbccabc -小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有a,b,c的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点,可添加大小关系的条件，即a bc 0,从而能够使用排序不等式。例10：设正数x,y,z满足2x 2y z(1)求3xy yz zx的最大值(2)证明:125思路:1 xy 1 yz 1 zx26所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由2x 2y1 z,贝U 3xyyz zx 3xyz x y

17、3xy1 z十,土由,下面考虑将2xy进行x xy 2y ,，一、，-2进行放缩，43xyyzzx值即可。解：Q2x2y,再求关于z的表达式的最大3xyyzzx3xy3xyQ xy163xyyz zx1 z3 16516第-9 -页共15页数学小专题数学小专题3xy yz zx的最大值为52x 2y(2)思路：由(1)可知3xyyz zx的最大值为项,所以考虑向3xy yzzx的形式进行靠拢,1 一一一,且所证不等式的左边分母含有xy, yz, zx5联想到柯西不等式的一个变形公式：a1b1a2b2ana1bna1b1a? La2 b2 Lanbn2如一，可得:311 xy 1_1yz 1 z

18、x255 3xy yz zx,进而结合第(1)问的结果再进行放缩即可证明不等式解：由柯西不等式可得:251 xy1 yzzx3 1 xy 1 yz 1zx5 3xyyz zx由(1)知3xyyzzx31 xy1 yzzx253xy yz zx251255 5 26等号成立条件：x三、历年好题精选1、设 f xx 1 ,x(1)求证：f x(2)若不等式f2b 1lb|1 b对任意非零实数b恒成立,求x的取值范围2、(2014吉林九校联考二模，24)已知关于x的不等式(1)当a 1时，求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为 R,求实数a的取值范围.3、(2015,福建)已知 a 0,b 0,

19、c 0,函数 f x第-10 -页共15页数学小专题ax 1ax aC的最小值为4数学小专题(1)求a b c的值1 21 . 22(2)求a-bc的最小值494、(2015,新课标II)设a,b,c,d均为正数，且a b c d ,证明:(1)若ab cd ,则石亚 & 4dja Jb & Jd是a b c d的充要条件5、(2015,陕西)已知关于 x的不等式x a b的解集为 x|2 x 4(1)求实数a,b的值(2)求Vat 12 疯的最大值6、已知定义在R上的函数f x x 1 x 2的最小值为a(1)求a的值(2)若p,q,r是正实数，且满足 p q r a,求证：p2 q2 r2

20、 37、(2014,江西)Xt任意的x,y R, x 1 x | y 1| | y 1的最小值为(A. 1B. 2C. 3D. 48、(2014,浙江)(1)解不等式：2x 2 |x 1 3(2)设正数a,b,c满足abc a b c ,求证：ab 4bc 9ac 36 ,并给出等号成立条件 1八9、(2016,办州局二倜研)设函数 fx x x a a 0 a(1)证明：f x 2(2)若f 35,求实数a的取值范围第-11 -页共15页数学小专题数学小专题习题答案:1、解析：(1) f x(2)恒成立不等式为:max3s 1, Qbmax1时,2x1,1时,1 时，2x2、解析：(1) a

21、1时,不等式为22b 1| |1 bb12,0 U3不成立0.1,1 ,x 1 一或 x2(2)问题转化为x R,不等式axax1恒成立ax 13、解析:axminax 1(1) fax aaxax a-12 -页共15数学小专题数学小专题4a2 9b2 c222 32122-a 2 -b 3 c 1 a b c 2 16231 21,22-a b c4916 8八 一，二一,等3成立条件:14 71 a223b87187274、解析：(1) Va Vba b 2 . ab c d 2 . cd . ab . cd ab cd从而不等式得证 TOC o 1-5 h z 一一.22(2)右ab cd,则 ab c d 22即 a b 4ab c d 4cd Q a b c dab cd ,由(1