弹性力学简明教程第四版课后习题解答徐芝纶第一章绪论试举例说明什么是均匀的各向异性体什么是非

1、弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满均匀性假定，但不满各向同性假定；均匀的各向异性体，就是不满均匀性假定，但满各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：材，材。均匀的各向同性体如：混凝。【1-2】般的混凝构件和钢筋混凝构件能否作为理想弹性体？般的岩质地基和质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】般的混凝构件和质地基可以作为理想弹性体；般的钢筋混凝构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本

2、假定在建立弹性力学基本程时有什么作？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引这假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本程时就可以坐标的连续函数来表他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型任何形变。这假定，还包含形变与引起形变的应力成正的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引这假定后，应力与形变服从胡克定律，从使物理程成为线性的程，其弹性常数不随应力或形变的变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同材料组成的，引

3、这假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因物体的弹性常数不随位置坐标变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个向都相同，引此假定后，物体的弹性常数不随向变。变形假定：假定位移和变形是微的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远于物体原来的尺，且应变和转都远于1。这样在建立物体变形以后的平衡程时，就可以便的变形以前的尺来代替变形以后的尺。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的次幂或乘积相对于其本都可以略去不计，使得弹性力学中的微分程都简化为线性的微分程。程都简化为线性的微分程。【1-4】应力和力的符号规定有什么区

4、别？试画出正坐标和负坐标上的正的应力和正的力的向。【解答】应力的符号规定是：当作的外法线向指向坐标轴向时（即正时），这个上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正向为正，沿坐标轴的负向为负。当作的外法线指向坐标轴的负向时（即负时），该上的应力以沿坐标轴的负向为正，沿坐标轴的正向为负。力的符号规定是：当力的指向沿坐标轴的正向时为正，沿坐标轴的负向为负。由下图可以看出，正上应力分量与力分量同号，负上应力分量与力分量符号相反。正的应力正的力1-5】试较l弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作于正

5、坐标上的切应力以沿坐标轴的正向为正，作于负坐标上的切应力以沿坐标轴负向为正，反之为负。【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直减，故为正的切应变。O(z)1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、力和应力的向。【解答】XOzA(Ty0-工fy疔4y1正的体力、力正的体力、应力1-8】试画出图1-5中三形薄板的正的力和体

6、力的向。【解答】x【1-9】在图1-3的六体上，y上切应力yz的合力与z上切应力zy的合力是否相等？【解答】切应力为单位上的力，量纲为L1MT2,单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的积，设六体微元尺如dxxdyxdz，则y上切应力yz的合力为：yzdxdz(a)z上切应力zy的合力为：zydxdy(b)由式(a)(b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作在两个相互垂直上并垂直于该两交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。第章平问题的基本理论【2-1】试分析说明，在不受任何力作的空间体表附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平应力的情况。【解答】在不

7、受任何力作的空间表附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表都力，且在薄层内所有各点都有zxzyz0,只存在平应力分量x,y,xy,且它们不沿z向变化，仅为x,y的函数。可以认为此问题是平应力问题。【2-2】试分析说明,在板上处处受法向约束且不受切向力作的等厚度薄中(2-15),当板边上只受x，y向的力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时z0,且不受切向力作,则xzyz0(相应zxzy0)板边上只受x，y向的力或约束，所以仅存在x,y,xy，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平应变的情况。【2-3】在图2-3的微分体中,若将对形的力

8、矩平很条件MC试问将导出什么形0改为对点的力矩平衡条件，式的程？【解答】将对形的力矩平衡条件MC改为分别0，对四个点A、B、D、E的平衡条件，为计算便，在z向的尺取为单位1。MA0 xyxdxdydyydx1(xdx)dy1(xydx)dy1dxydy12x2x2(a)ydxdydxyx(ydy)dx1(yxdy)dx1dyfxdxdy1fxdxdy10y2y22MB0(xxdydxdx)dy1(yxyxdy)dx1dy(yydy)dx1x2yy2dydxdydxM(ydxdyxydy1dxxdy1yxdx1dyy22(c)xdxdydydxxdx1(xdx)dy1fxdxdy1fydxdy1

9、02x222dy)dx1yME0dxdydxxdy1yxdx1dyydx1y222(d)dydydx(xxdx)dy1(xyxydx)dy1dxfxdxdy1fydxdy10(xxdx)dy1(xyxydx)dy1dxfxdxdy1fydxdy10 x2x22（ydy）dx1略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶量（亦即令d2xdy,dxd2y都趋于0）,并将各式都除以dxdy后合并同类项，分别得到xyyx。【分析】由本题可得出结论：微分体对任点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分程？

10、【解答】微分单元体ABCD的边长dx,dy都是微量，因此可以假设在各上所受的应力如图a所，忽略了阶以上的阶微量，看作是线性分布的，如图（b）所。为计算便，单元体在z向的尺取为个单位。二=,5；QMy各点正应力：CyC(a)(b)(x)Ax；(x)Bx(y)Ay(y)Byxdy；yyydy(x)Dxdx；x(y)Dydxx(x)Cx各点切应力：xdxxy；xy(y)Cyyxdxyyy(xy)Axy；(xy)Bxy(yx)Ayx(yx)Ayxyxyyxxxyydy；dy(xy)Dxyxyxdx；(yx)Dyxdx(xy)Cxyxyxdxxyydy；(yx)Cyxyxxdxyxydy由微分单元体的平

11、衡条件Fx0,Fy0,得1xxxx1dydyxdxxdxdydyxx2y2xxyyxyyxyxyx11dxdxyxdyyxdxdydxfxdxdy0yxyx+2x2yxy1yyyydxdxydyydxdydxyy2x2yxyxyxyxyxy11dydyxy+dxxy+dydxdyfydxdy0 xyxy+yxyx22以上式分别展开并约简，再分别除以dxdy,就得到平问题中的平衡微分程：xyxfx0;yxyfy0 xyyx【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分程适于任意的应力分布形式。【2-5】在导出平问题的三套基本程时，分别应了哪些基本假定？这些程的适条件是什么？【解答】（1）在导出

12、平问题的平衡微分程和何程时应的基本假设是：物体的连续性和变形假定，这两个条件同时也是这两套程的适条件。（2）在导出平问题的物理程时应的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理程的使条件。【思考题】平问题的三套基本程推导过程中都到了哪个假定？【2-6】在地上技术员发现，当直径和厚度相同的情况下，在重作下的钢圆环（接近平应力问题）总钢圆筒（接近平应变问题）的变形。试根据相应的物理程来解释这种现象。【解答】体力相同情况下，两类平问题的平衡微分程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理程可以看出，两类平问题的物理程主要的区别在于程中含弹性常

13、数的系数。由于E为GPa级别的量，泊松取值般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，较两类平问题的系数项，不难看出平应力问题的系数1/E要于平应变问题的系数1/E。因此，平应力问题情况下应变要，故钢圆环变形。【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平问题的应力分量x，y和xy均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？【解答】（1）应力分量：两类平问题的应力分量x，y和xy均相同，但平应力问题zyzxz0，平应变问题的xzyz0,zxy。（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应物理程，两类平问题的物理程不相同，故应变分量xzyz0,x

14、y相同，x,y,z不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平问题也不同。【2-8】在图2-16中，试导出力作时AB边界上的x,y,xy之间的关系式【解答】由题可得：lcos,mcos90sinxAB0,yAB0将以上条件代公式（2-15），得：图2-16xABcosyxABsin0,yABsin(xy)ABcos0(x)AByxtanABABtan2【2-9】试列出图2-17，图2-18所问题的全部边界条件。在其端部边界上，应圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采位移边界条件，若为边界也可写成圣维南原理的三

15、个积分形式，边界上应精确满公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y=0）0-1左(x=0)-10右(x=b)10lmfxsgyh1gyh1fys代公式(2-15)得gh1在主要边界上x=0,x=b上精确满应力边界条件：xx0g(yh1),xyx00;xxbg(yh1),xyxb0;在边界y0上，能精确满下列应力边界条件：yy0gh,xyy00在边界yh2上，能精确满下列位移边界条件：uyh时，可求得固定端约束反力分别为：qq0,vyh02这两个位移边界条件可以应圣维南原理，改三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1Fs0,FNghb1,M0由于yh2为正，故应力分量与力分量同号，则有：bd

16、xgh1b0yyh2b0yyh2xdx0bdx00 xyyh2图2-18上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满公式(2-15)l00m-11fx(s)0-q1fy(s)xh2hy2(y)y-h/2q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1在x=0的边界上，应圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负上应力与力符号相反，有h/2()dxFSh/2xyx0h/2h/2(x)x0dxFNh/2()ydxMh/2xx0在x=l的边界上，可应位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改三个积分的应力边界条件来代替。先，求固定端约束反力，按力正向假设画反力，如图所

17、，列平衡程求反力：FFyq1lFNq1lFN0,FNFN0,FSFSql0FSqlFSq1lh121ql2MA0,MMFSl2ql2q1lh0M2MFSl2由于x=l为正，应力分量与力分量同号，故h/2()dyFqlFN1Nh/2xxlq1lhql2h/2MFSlh/2(x)xlydyM22h/2()dyFqlFxyxlSSh/2【2-10】试应圣维南原理，列出图2-19所的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并较两者的力是否是是静力等效？【解答】由于hqb2qb212I，OA为边界，故其上可圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：上端OA上力x0,y图2-19由于OA为负，故应力主、主矩与力主、主矩符号相反，有bbxqbbdxdxqdx0y0b0yy02bbxbqb2b0yy0 xdx0yxdx0qxdxb212b0yxy0dx0(对OA中点取矩)(b)应圣维南原理，负上的应力主和主矩与力主和主矩符号相反，力主y向为正，主矩为负,贝9qbbdxFN0yy0qb2b0yy0 xdxM