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1、第六节 函数最值及其 在经济中的应用一. 闭区间上函数的最值二. 实际问题的最值三. 函数最值在经济分析中的应用1教学目标1. 理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2. 能用函数的极值理论求闭区间上连续函数的最值.3. 掌握实际问题, 特别是经济中的实际问题的最值.2 在许多经济理论与实际实际应用中, 常常遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使: “产品成本最低”, “产品用料最省”,“效率最高”等问题. 这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.一. 闭区间上函数的最值 函数(x)的最值与极值是两个不同的概念, 最值是对整个定义域而言的, 是整体性的概念. 最值不仅可

2、以在 a, b的内点3 由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值. 由此, 求闭区间 a, b上的连续函数 f(x) 的最值时, 只需分别计算f(x)在开区间(a, b)内的驻点、导数不存在的点以及端点 a和b处的函数值. 然后加以比较, 其中最大者就是函数(x)在a , b上的最大值, 最小者就是函数 (x)在a , b上的最小值. 取得, 也可以在a, b的端点取得; 极值只可能在 (a, b) 的内点取得. 最值最多只有一个最大值与最小值. 而一个函数可能有若干个极大值或极小值.4 (1) 求出函数(x)在区间(a , b)内所有可能的极值点(驻点和一阶导数不存在的点), 设为 x1, x

3、2 , ,xn;(2) 求出相应的函数值 (3) 比较(2)中所有函数值的大小, 其最大者为函数(x)在闭区间a , b上的最大值, 最小者为函数 (x)在闭区间a , b上的最小值. 求闭区间a, b上连续函数 (x) 最值的一般步骤是:5解(1) f (x)在2，2上连续, (2)(4) 驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为解之得驻点为例1 求函数在闭区间上的最值.(3) 令6(5) 比较大小, 在-2，2上的最大值为最小值为区间端点的函数值分别为 注1 若(x)在a , b上为单调连续函数, 则其最值只能在端点上达到. 注2 若(x)在某区间内仅有一个可能极值点x0, 则当 x0 为极大(小)值点时, x0 就是该函数在此区间上的最大(小)值点;f (0) = 0 .7证考虑函数解之得驻点为又故 为函数 f(x) 的唯一极大值点, 也就是最大值点.所以, 当x 1 时,即例2证明：当x MC时, 则在产量Q = Q0的基础上再多生产一个单位产品, 所增加的收益大于所增加的成本, 因而利润有所增加. 若MR 0 即 t 满足限制0 t 4. 显然 t = 2 并未超出t 的限制范围.34解故所求最大

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