多元函数微分法及其应用课件

1、高 等 数 学 （二）广东水利电力职业技术学院 数学教学部张静华高等数学（二）第九章 多元函数微分法及其应用第十章 二重积分第十章 三重积分第十一章 曲线积分第十二章 无穷级数第十一章 曲面积分目录第一节 多元函数基本的概念第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数求导法则第五节 隐函数的求导公式第九章 多元函数微分法及其应用第八节 多元函数的极值及其求法区域通常可用含有点的坐标 的一、多元函数的概念第一节 多元函数的基本概念 平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边界的区域称为闭区域；一片的图形。所分边界的区域称为半开

2、区域。在平面上建立了直角坐标系后，一个或几个不等式来表示。xyo开区域（开圆）例如：不包含边界的区域称为开区域；只包含部xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例1对于区域 D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使 D 全部包含在这圆内，则称 D 为有界区域，否则称为无界区xyo半开区域例2域。 邻域设是 xOy 平面上的一点，是某一正数，与点的距离小于的点所成的集合，称为点的邻域，记作在几何上，是 xOy 平面上以点为圆心，为半径的圆内的点所成的集合。x0yx0y 二元函数的概念定义：设 D 是 x O y 面上的一个点集，对任意的点，变量 z 按照某个对应关系 f 总有唯一确定的数值与之对应，

3、则称 z 是 x，y 的二元函数，记为称 x ，y 为自变量，z 为因变量，点集 D 称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。函数在点处的函数值，记为， 二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数，它的定义域是使函数表达式有意义的点的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。例1：求下列函数的定义域并用图形表示 解：要使该函数的表达式有意义，必须有，即故所求函数的定义域是xyo2例1（1） 解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo1212例1（2），即 解：定义域为xyo例1（3）例2： 二元函数，则；

4、若，则.例3：设，求解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对 f中的表达式作变量替换。令，则从而，所以例4：设，求解：首先应 求出函 数 表 达 式求 函 数 表 达 的另一个常用的方法 是 将等 号 右 边的表 达 式 用 f 中的 表 达 式来表示。则 二元函数的几何意义设二元函数的定义域为 D，对，空间中的点构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数的图象。xyz0 xyMD二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域内的任意一点，沿任意路径无限趋近于点时，无限地趋近于一个确定的常数 A ，时，函数以 A 为极限，记为或注意： 定义中的点时，是指点 P 可以

5、沿任何方向、任何途径无限地趋近于，而一元函数极限中的是指 x 沿 x 轴无限趋近于； 如果点 P 只取 某 些 特殊方式 ，函数 值逼 近 某 一 确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点 P 沿不同方式趋于点时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。设函数如果当点相应的函数值则称当例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例5练习：问 是否存在？练习解：因为所以 不存在。念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。说明三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果则称函数在点连续。如果二元函数在区域 D

6、 上的每一点都连续，则称函数在 D 上连续。区域 D 上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域 D 上连续，则该函数在 D 上一定能取到最大值和最小值。由常数、x 或 y 的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。四、求二元函数极限的常用方法：例6 利用二元初等函数的连续性例6：求解：函数 是初等函数，它的定义域是 R2，根据初等函数的连续性知，函数在点 处连续，因此 通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求原式例8：求解：解：，原式

7、例7、8例9：求解：原式例9 若事先已肯定在点 P0 处极限存在，则可使P 沿一殊途径趋于 P0 而求出其极限。例10：（A）e （B）0 （C）y （D）1解：原式例10第二节 偏导数一、偏导数的概念及其计算 偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函数. 若自变量 x 有增量，相应地函数 z 有关于 x 的增量（称为偏增量）如果存在，在点处对 x 的偏导数，或等四式中的某一式。固定则称此极限值为函数记作偏导数的定义同理，函数在点处对 y 的偏导数定义为记作或偏导数的定义（续1）如果函数在区域 D 内每一点处对 x 的偏导数都存在，那么这样的偏导数是 x、y 的函数，称为函数对自

8、变量 x 的偏导函数（简称偏导数），记作或类似地可以定义函数对自变量 y 的偏导数，记作或显然，偏导数的定义（续2）例1：设 求例1解：练习（2011专插本）设 则练习A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2解： 偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数的某一个自变量（如 x ）求偏导数时，只要把另一个自变量（ 如 y ）看作常数 ，而对该自变量 x 用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。例2：求函数在点处的偏导数。解：因为所以例2例3：设，求分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将该点的坐标代入，即

9、求出偏导函数在该点的函数值。数在一点的偏导数定义，求，可以 先 把 y 的 值 代 入求得，然后求关于 x 在处的导数。解：，则所以此外，由函例4：求函数在点处的偏导数。解：因为例4所以因为所以例5：求下列函数的偏导数 .解：u例5（1）解：例5（2）解法一：例5（3）解法一解法二：例5（3）解法二解：例5（4）解：由 ，得例5（5）例6：设 满足分析：实质上这是一元函数的积分问题。当 y 任意给定时，求例6求就是 x 的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y 的任意函数，要由 定出这个任意函数。解：将等式 两边对 x 求积分，得例6（续）其中 为待定函数。由 式，得故因此，例7：理想气体

10、的状态方程为 P V = R T，其中 R 为常数，求证：证：由状态方程可得从而故注意： 对 一元 函数 来说，既可看作导数 的整 体记号，也可理解为“微商”。但对二元函数而言，则只能看成整体记号，不能理解为之商。例7 偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。例如，函数在点处两个偏导数均存在，事实上（ 见7.1 例5 ）偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数在点处是连续的（圆锥、无裂缝），的偏导数不存在。但在点x o y z 偏导数的几何意义x o y z y0 x0 设曲面的方程为 ，M0 是该曲面上的一点，过点 M0作平面 ，截此平面得一条曲线，其方程 为则偏导

11、数 表示上述曲线在点 M0 处的切线 M0Tx 对x 轴正向的斜率。同理，偏导数 就是曲面被平面 所截得的曲线在点 M0 处的的切线 M0Ty 对 y 轴正向的斜率。Tx .Ty 例8例8：求曲线 在点 处的切线与 x 轴正向所成的倾角。解：所给的曲线是曲面 与平面 的交线， 所以根据偏导数的几何意义，该曲线在点 处的切线关于x 轴的斜率为二、高阶偏导数在区域 D 内具有偏导数那么，在 D 内都是 x、y 的函数。个函数的偏导数也 存在，则称它们是函数的二阶偏、设函数如果这两导数。对不同自变量的二阶偏导数，称为二阶混合偏导数。二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数二阶偏导数的记号

12、类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至 n 阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。高阶偏导数例9：求函数 的二阶偏导数。解：因为例9所以例10：求函数 的二阶偏导数。解：因为例10所以定理从上例的解中可以看到，函数 的两个混合 偏导数 、 虽然对 x 和 y 的求导次序不同，但它们是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数 是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函 数 的 混 合偏导

13、数 而言，一 般 都 是 连续的，这是就与求导次序无关，因此有练习：练习解： 设 设练习（续）解： 设第三节 全微分一、全微分的概念（全增量） 二元函数的全增量设，记，称为二元函数的全增量。x： x y： y z： 设函数 在点 的某个邻域内有定义，且 称函数 在 处可微，并称 为 全微分的定义、 存在。如果函数 在点 处的全微分，记为 ，即全微分的定义，则由于 x、y 都是自变量，所以则如果函数在区域 D 内每一点处都可微，则称该函数在区域 D 内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若存在全微分，则有全微分的概念（续）例1：求函数 的全微分。解：因为例1故所求的全微

14、分例2例2：求函数 在点 处的全微分。解：因为所以，故所求全微分例3例3：设 ，求解：令，则从而即由，得，从而例3（续）由，得所以，例4例4：已知 ，求 解：例5：求函数 在点 处，当时的全增量及全微分的值.解：全增量x ： 2 2.02y ：- 1 - 1.01z ： f ( 2, - 1 ) f ( 2.02, - 1.01 )例5全微分误差二、可微、可导、连续的相互关系在点连续在点可微在点连续在点处均存在关于二元函数的可微性有如下结果：设函数，则（证明略）例6例6：考察函数 在点 处偏导数是否存在？是否可微？解：因为所以，同理，即 在点 处的两个偏导数存在。而因为所以函数 在点 处不可微

15、。例6（续）的偏导数在 的邻域内均存在，但在 处它的偏导数练习练习：试证函数不连续，而函数 却在 处可微。第四节 多元复合函数与隐函数的微分法定理：设函数复合而，其复合关系图如下：若都在点具有对 的偏导数，在对应点具有连续偏导数，函数点的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：得复合函数一、多元复合函数的求导法则则复合函数 在一、多元复合函数求导法则 设，则是 x 的一元函数。则其复合关系图如下：多元复合函数求导法则（续1） 设由得复合函数其复合关系图如下：则多元复合函数求导法则（续2）例1：设解：例1例2：设解：例2例3：设解：例3例4：设函数解：例4例5：设解：令， 则例5例6：设解：例6例7

16、：设 ，且 f 和 g 具有一阶连续偏导例7数，求解：例8（2012广东专插本）设函数 f(u) 可微，且 ，则例8在点 处的全微分 .解：令，则例9：设，其中为可导函数，证明：证：令，则例9例9（续）则练习：设，其中为可导函数，求证：令，则练习1例10：设 ，f 具有二阶连续偏导数，求和解：令 ，则其中， 仍是含有中间变量 u 和例10其中， 仍是含有中间变量 u 和v 的复合函数。其复合关系图：将上式两边对 x 求偏导，并应用四则运算求导法则，得例10（续1）例10（续2）类似地可得例10（续3）练习 设解：令则练习2练习2（续1）练习2（续2）定一个可导隐函数 ，则一元隐函数的求导公式为

17、：二、隐函数的求导公式1、由方程 所确定的隐函数 的求导公式设函数 可微， ，由方程 确一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程 的两边对 x 求全导数，得由于，则由上式可解出，即设函数，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数例1：设解：令，则从而可微，由方程例1例2：设 具有连续的偏导数，又函数 及分析：复合关系图例2分别由 和 确定，求解：首先（）下面分别求 和例2（续）由 两边对 x 求导，得又由 两边对 x 求导，得把 、 代入（）式，得设函数 可微， 由方程确 定 一 个可求偏 导数 的 二 元 隐函数 ，则二元隐函数求导公式2、由方程 所确定的二元隐函数 的求导公式例3：设解：

18、令，则例3由方程 确定了函数 ，则例4（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）例4解：例5：设 有连续偏导数，且 由方程例5所确定，求分析：复合关系图所以，又下面求 和例5（续1）设，则从而则所以例5（续2）第七节 多元函数的极值和最值一、多元函数的极值在点的某邻域内有定义，对该邻域内异于的任意一点，都有则称为函数的极大（小）值，称点为函数 的 极大（小）值 点 。函 数的 极大值 、极小值 统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。定义：设函数定理 1（必要条件） 设函数 在点 处具有偏导数，且在点 处有极值，则在该点的偏导数 必为零，即定理1使二元函数的两个一

19、阶偏导数同时为零的点叫做该函数的驻点。即若点 为函数 的驻点，则定理 2（充分条件）设为函数的驻点，且在点的某邻域内，具有二阶连续偏导数，若令，则 时，函数有极值，且时，有极大值，时，有极小值； 时，函数没有极值； 时，函数可能有极值，也可能没有极值。定理2例1：求函数 的极值。解： 由得驻点因为在点 处：所以，函数在点 处没有极值。例1由 又知，函数在点 处有极大值，极大值为因为在点 处：所以，函数在点 处有极值，且例1（续）二、多元函数的最值在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大值和最小值，在闭区域的边界上取得。区域内部的点取得，得，域 D 上的最值的方法是：函数在 D 的边界上的最大值和最小值；最大（小）者就是二元函数在 D 上的最大（小）值。道函数的最大值（最小值）一定在 D 的内部取得，在 D 内只有一个驻点，在 D 上的最大值（最小值）。法由于要求出在 D 的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常