空间向量求空间角（精练）

1、7.5空间向量求空间角（精练）【题组一线线角】1.（2021 河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体ABC。-48cA的棱长为6,点尸是棱AA的中点，与6的交点为0,点”在棱6c上，且BM=2MC,动点7（不同于点粉 在四边形力版内部及其边界上运动，且力”，。/，则直线87与，/所成角的余弦值为（）【答案】B【解析】法一：易知8。，4c.因为AF_L平面1版，所以AFLBD，所以8_L平面 又O产u平面4尸0,所以3。_10尸，在棱比1取点八；旦DN = 2NC，连接肌则MW %）,所以NM LOF ,所以动点T的轨迹为线段J/V （不包括.!/）.取棱CG的中点，连接ZW,易郎DH II F

2、B,则即异面直线用尸与7M所成的角.连接用/,因为DH =+32 = 3-/5 1 BD = 6/2、 BH = 3-5 所以 cosNO5 =DH2 + BD2-BH x/io 2DH x BDT法.：以力为坐标原点，直线4O，A8,A4,分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系,易知丹(0,6,6),尸(0,0,3), M(4,6,0), 0(3,3,0),设 T(x,y,0),则俞=(4 . x, 6-y, 0)，4/=(0, 6, 3)，O尸=(-3, 3,3),由题意知力6k = 3(4 3(6 y) = 0,得 y = l - ,所以前=,o)则叫=|际/二；二_4又T不

3、与点/至合，所以x4/0,所以cos(瓦Z,拓)=型， 所以直线与川所成角的余弦值为亚，故选：B.(2021 内蒙古乌兰察布市高三一模(理)四棱锥尸-46或中，PD=DA=AB=；CD, AB/CD, 4ADC= 90 ,也平面眼力，1/为此中点，平面31/交分于。，则。与为所成角的余弦值为().V3口 77 721n 阮372142【答案】D【解析】以。CDAOP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设CD = 2,则 C(2,0,0), A(0,0), P(0,0,l), 8(1,1,0),为PC中点，则M(l,0,g),=设用=4丽=(4九一九)，DQDP+PQ = (A,A,-A),

4、% = (1,0,；), DA = (0,1,0),因为。平面ADM，即而与方面，砺共面，所以存在实数P，q,使得丽=两+ g方,A = p2. ，2 2 1所以 力=C = ICQ = CD + DQ = -, ,又 PA = (O,1,-1),所以CQq为所成角的余弦值为四.42故选：D.（2021 浙江嘉兴市高三其他模拟）三棱锥片力比中，PA, PB,代两两垂直，PA = PB = PC = /6,点。为平面46C内的动点，且满足PQ = Ji,记直线图与直线48的所成角为。，则sin。的取值范围为【答案】【解析】因为PAPRPC两两垂直，且PA = PB=PC,所以由全等三角形可知AB

5、 = AC = BC，所以：.棱锥为正二:棱铢，记尸在底面ABC内的投影为0,所以 AB = AC=8C = J%2 + pb2 =2百，AD因为 AO cos 30 = ；-,所以 AO = 2,所以 POuJaL-AO?=友,因为PQ = JJ,所以OQ = Jpq? OP? = 1，所以。的轨迹是以。为圆心半径为1的圆,取AB中点D,连接8,可知8经过点。,建立如下图所示的空间白角坐标系：设 g（cosa,sina,0）, A（l,-T5,0）,5（l,G,0）,尸（0,0,0b 所以配=（cos a, sin a,-V2）, AB =（0,273,0）, 所以 cos =2今噂=sin

6、a ,3所以cos 0 =|cos =|sina|3 11所以sin。= J1 一cos2。=lgsin2a ,且sin2a,所以lgsinaw |,1 ,所以sinOe乎,1.Ml故答案为：方-.（2021 湖南永州市高三其他模拟）已知正四面体A-BCD内接于半径为土生的球。中，在平面BCD 2内有一动点P，且满足AP = 4正，则15Pl的最小值是；直线AP与直线BC所成角的取值范TT -JT【答案】2百一2& 【解析】设/在面BCD内的投影为,故，为：.角形比的中心，设正四面体A BCD的棱长为x ,球0的半径为R.则 6E = 2xxx =叵，AE = JAB-BE2 =. 3233依

7、题可得，球心。在AE上，R2 = BE2+(AE-R,代入数据可得x = 6,则 BE = 25 AE = 2娓,又 AP = 4&，PE = yjAP2-AE2 = 272 故。的轨迹为平面比力内以为圆心，20为半径的圆，BE =，B,P,E三点共线时，且，在班,之间时，|8P|的最小值是2G-2啦.以为圆心，的所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，A(0,0,2伺,B(25/3,0,0),。(一点3,0),。,-3,0),设 P(20cose,20sina。)，6eO,27t),故Q = (20cos0,2x/2sin仇-2国,BC =3瓜3,0),设直线AP与直线8C所成角为a ,APB

8、C -676 cos 6 +672 sin1 / 吟11|BC|AP| 472x62 I 3)_ 2 2. 1 1.cosa g ,L 2 2又万，故y，C故答案为：2月一20，（2021 江苏南通市高三其他模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD,他，AD.已知CD = 2AB = 2AD = 2。.将ABQ沿直线3。翻折成a A 80，连接A所以点尸是一棱锥A-8CO外接球的球心，且球半径R = a.由g兀6 =4Jr ,解得 a = 5/3 .故答案为：x/3.6. （2021 海原县第一中学高三二模（理）如图，在四棱锥P-A8CD中，四边形ABC。为直角梯形,并且乙4。= 一，AD

9、/BC, R4_L底面A3C0,已知AO = C = 2,四边形A8C）的面积为6.20 a（1）证明：直线AC J平面加8；（2）点为棱尸8的中点，当直线与平面ABCZ）所成的角为时，求直线PD与A所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 2叵.5【解析】（1）因为四边形ABC。的面积为6,所以（A+C）xC=6,解得8c = 4,2如图，过 A 点作 A J_BC于点M ,则 AM = MC=Mfi = 2, AC = AB = 2B因为BC? = 16 = 4C2 + AB2,所以AC1.AB,因为PA_L底面A8CO, ACu底面ABC。，所以ACJ_24,因为PADAB =

10、A,所以直线AC_L平面（2）因为24,底面ABC。，所以A为尸。在平面ABC。内的投影,故ZPDA即为直线PD厉平面488所成的角，ZPDA =（,因为tanNPD4=2 = 6,所以尸4 = 2百，DA因为区4?+C42 =8。2,所以C4_L84,如图，作空间直角坐标系A一孙z,则 A(0,0,0), D(-V2,V2,0),尸(0,0,2，E(&,0网, 荏=(&,0词，DP = (72-72,2),则 cos(AE,Z)P)=通而2 + 628Ae-dp y/5x/i6 5故直线PD与AE所成角的余弦值为 .【题组二线面角】(2021 全国高三其他模拟(理)如图，在圆柱OQ中，CE是

11、圆柱的一条母线，ABC。是圆0的内接 四边形，A8是圆。的直径，CD/AB .(1)若4) = CZ),求证：A。平面CEO；(2)若CO = CE = - A8 = 1,求直线破与平面AQE所成角的正弦值. 2【答案】(1)证明见解析：(2)叵7【解析】(1)因为CDAB ,所以NABC+N8CD =乃，因为ABC。是圆。的内接四边形，所以NA8C+NADC =万，所以 NBCD = NADC，ZDAB = ZABC.所以ABC。是等腰梯形，所以AO=8C,乂因为AO=C),所以AO = CD = 8C,因为A8是圆。的直径，连接0D，所以NAO)= NOOC = NC08 = 6()，所以

12、。4。，aOCD, aOBC均为正三角形，所以 ZDAO = NCOB = 60，所以AOOC,又因为OCu平血CEO，平面CEO.所以AO平面CEO.(2)以。为坐标原点，分别以C4. CB, CE所在直线为了, y, z轴,建立如图所示的空间角坐标系C-xyz ,因为 CDA5,所以 8C = 1, AC = 6 ABAC = 30 则点 A(G,O,O),以0,1,0), D -,-,0 , (0,0,1), 、22 ,所以 AE =卜/(), 1) , DE = , ,1 , BE = (0,1,1),Sx-设平面ADE的法向;为z = (%, y, 4),m-AE = 0一,即m-D

13、E = 0-Zj =0+ 2y+z =0令 % =#)，可得 m = (JJ, 3,3), 设直线BE与平面ADE所成角为o，sin 0 = cosrn, BE =同网|3 + 3|/42J42二 厂=?，所以宜线5E与平面AOE所成角的正弦值为乂竺.V21x5/277（2021 浙江高考真题）如图，在四棱锥P A8CD中，底面A8CO是平行四边形，ZABC = 120, AB = ,BC = 4,PA = y/5，M,十分别为8cpe的中点，PDDC,PM 1MD.N（1）证明：AB 1PM；（2）求直线AN与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 叵.6【解析】（1）在ADC

14、M中，DC = 1, CM = 2, NOCM = 60,，山余弦定理可得OM = G，所以Dir+oc? =C2, . om，0c 由题意DC。且尸Dc）M =。，.）（7_1_ 平面尸。加， 而 PMu 平面 PDW,所以_LPM，义 AB/DC，所以 AB _L PA/.（2）由PA/_LM）, AB1PM ,而AB与M相交，所以PM _L平面ABC。，因为AM=J7,所以PM = 2丘，取AO中点:E，连接ME，则M,OM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建 立空间直用坐标系，则 A（-瓜 2,0）, P（0,0,272）, 0（6,0,0）, M （0,0,0）, C（G,

15、 -1,0）乂 N为PC中点，所以N-3，及）,47 =-g,夜.由（1）得C _L平面PDM ,所以平面PDW的一个法向量亢=（0,1,（）5.0 | 前向2V15从而直线AN与平面PDW所成角的正弦值为sin 0 = = hr cu =一| AMI n |/27 + 25 + ?6vT+Z+B（2021 湖南高三其他模拟）如图，在三棱锥A88中，BCD与aABC是全等的等边三角形，且 平面ABC _L平面08c.代/-CD（1）证明：ADLBC-,（2）求AC与平面ABE）所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）姮 【解析】解：（1）取8。的中点0,连接AO、BO,因为88叮aABC

16、足全等的等边:.角形，所以BC1AO. BC1DO.因为AOcOO = O, AO,OOu 面 AO,所以8C_L面 A。，因为 ADu面（2）因为平面A8C_L平面。BC，平面ABCCI平面Q8C=8C, AO1BC,所以AO_L平面OBC , 如图以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，令BC = 2,则A（O,O,0）,。（、6,0,0）, C（O,1,O）,b（o,-i,o）,所以而=（G,i,o）,而=（G,o,-6）,设面as短的法向量为n-BD = QnAD = 0Z = l，所以 =(1,一6,1),所以慢+；。，令i则二一；（2）若点为8。的中点，求8。与平面ACE所成角的大小.

17、【答案】（1）证明见解析：（2）【解析】（1）证明：取AC的中点。，连接OD、OB.由题设可知，A4CD是等腰角形，ILNAQC = 90.，则AZ）= OC，所以OD_LAC，因为aABC是正：也形，所以80, AC，乂 OBnOD =。，则 AC 平面 BOD，Q3u平面BOZ),因此，AC1BD-.(2)在e aAO5 中，BO2 + AO2 = AB2 - 乂 AS=8,而 O)= Q4,所以 BO2 + ZX/ =8。2+4。2 =AB? =8。？，故OB工OD,由题设及(1)知，AC_L平面BOZ),以点0为坐标原点，OA、OB、。尸所在直线分别为x、y、z轴建、r.空间直角坐标系

18、，如图所示,则 A（l,0,0）、网0,6,0）、C（-1,O,O）, D（0,0,l）.E 为 DB的中点，得 E 0,-,-，故而=（0,-6,1）, C4 = （2,0,0）, CE= 1,-,-设 = (x,y,z)是平面ACE的法向量，则n-C4 = 0n CE = 02x = 0G 1 a,x Hy + z = 0I 2 - 2取y = l,则=（。/,一6）,因为cos- n BD= I_71所以BD与平面ACE所成角的大小为一. 35. (2021 辽宁高三其他模拟)如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形4欧和一个直 角梯形力以应，其中AE/1 CD, AE= g

19、 CD= ； AC, ZEAC=90a ,现将直角梯形力碗1沿边折起，使得46LAB,连接比；BD,设线段6C的中点为反n(1)求证：AFI I平面BDE；(2)求直线)与平面5宏所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)口.4【解析】证明：(1)取切的中点G,连接用、FG,山尸为8C的中点,则 FG H DC 豆 FG= CD, 2因为AE/ / CD且CD=2AE,所以力7/用且/=%,所以四边形为平行四边形，则AFH EG.又因为EGu平面也应，AFa平面助区所以/平面被f；(2) ,： AELAB, AELAC, AB(AC = A, AB, AC u 平面/J8C,反L 平面如

20、图，以力为坐标原点，什,为才轴，在平面的。内，过点4作成的平行线为y轴，丝为/轴建立空间直 角坐标系，则 4(0,0,0),F(b,0,0),B(瓜-1,0),C(V3,l,0),(0,0,1), 0(73,1,2),EF = (73,0,-1), BE = (-73,1,1), ED =(国,1),设平而BDE的法向量为 =(x, y, z ),-/3x+ y + z = 0即：,所以BBUDE.因为在三棱柱ABC-44G中，平面ABC/平面44G ,平面6片c平面A8C = BO,平面53Qc平面A4G =4后，所以BD/BF，所以四边形6月为平行四边形.在aABC中，因为AB = 8C,

21、。是AC的中点，所以BOLAC.由题可知4。，平面ABC,所以AQ_L8O, A,D 1 AC ,因为ACcAO =。，所以平面ACGA，所以BO_LOE，故四边形为矩形；(2)由(1)知。3，AC，4。两两垂直，以DB，AC, 4。所在直线分别为*轴、丁轴、z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系。-今z .设AO = 1，又题可知8 =今，在朋。中，M =2AD, /人小= 90所以4。=百，所以。(0,0,0), 4(0-1,0), A。，)，B 宁,0,0 ,则丽= (O,1,G), AB = -,1,0 I 2)V 2(2因为C(0,l,0).所以。瓦=万+ 8瓦=屈+苑;=.马=即 n

22、 - AB = 0,设平面ABB的法向量为n = （x, y, z）， y + 6 z = 0瓜 ，所以令z = l，所以 = （加,6,1）.设CB,与平面A84A所成角为0,2故CB,与平面A8耳4所成角的正弦值为.x-Fy = 06. （2021 湖南高三其他模拟）在长方体A8CO 44GA中，己知AB = A，E为AO的中点.（1）在线段gG上是否存在点尸，使得平面AAF/平面ECG?若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；（2）设4） = 2,例=4,点G在AH上且满足丽=8而，求EG与平面所成角的余弦值.【答案】（1）存在，证明见解析；（2） 叵6【解析】（1）存在，当点b为线段

23、与G的中点时，平面4/尸平面ECG.证明：在长方体 A8C。一481cl。中，HCC, . AD/BtC.又因为C u平面ECC, A40平面ECC,所以AA平面ECG.又E为AO的中点，F为耳G的中点，所以且 = 故四边形AEC7为平行四边形，所以4F7/EG，又因为C, c=平面CC, AFu平面ECC,所以AFU平面ECC又因为朋匚平面人/，AEuFlfiiAAF,所以平面A,AF平面ECC(2)在长方体A8CO A4GA中，以。为坐标原点，DA, DC, 0A所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系。-乎，如图所示.因为 AD = 2，M =4,所以 A(2,0,0), E(

24、l,0,0), 8(2,2,0),百(0,2,4), A (2,0,4), 所以函=(-1,2,4),丽= (1,2,0), A4 = (0,0,4).设平面的法向量为 = (x,y,z)，n-EC=0(-x+2y+4z = 0则，即 n - EB - 0 x+2y = 0令x = 2,则y = -l, z = l，所以=(2,1,一1),因为第=8而,设G(而,%,z(),则(O,O,4) = 8(Xo-2,%,Zo),所以G(2,0,g),则属= 1,0,；).设EC与平面所成角为故EC与平面EBG所成角的余弦值为迈.6【题组三二面角】（2021 全国高三其他模拟（理）如图，在直三棱柱A8

25、C-A与C中，AC = 2AA =2,AB = 8C,O为AC的中点.（1）证明：。6，平面43。.（2）若30 = 1,求二面角8-。耳一G的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） -立；3【解析】3）； AB = 5C,为AC的中点，:.BD1 AC,.直三棱柱 A6C - 4&C1 中，血 ACGAJ面 ABC, BDiABC,而 ACCM D而 ABC = AC，BO_L 面 ACGA ,又。Gu 面 ACC|A，即 _L,由题设易知：AA=AD = CD = CC= ,故 4。=。1。= 0，又 AC = AG=2,4。2 +。|。2 = A1C：，则 A。LOG，又 4OC3）=

26、Z）,DC,，平面&BD.(2)过作。z, AC,由(1)可构建以。为原点，DC 丽、瓦为k八z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：.由题意：50,0,0), C,(1,0,1),与(0,1,1), 8(0,1,0),二函=(o,i,i), Dq =(i,o,i). 丽=(o,i,o),显然,而= (1,0,0)是面8。耳的个法向量，若石= (x,y,z)是面GOB1的一个法向量，则JI 一 .令x = 1，则 =(1,1,一 1),DC)n =x+z = 0.cos=?4 = !产=巨，由图知：钝二面角8。用-Q的余弦值为一4. mn 1x7333(2021 浙江高三其他模拟)如图所示的几何

27、体，其中底面力65为直角梯形，N4叱90 , AD-CD-X,陷2,必_1_底面连接SG SB, SD.(1)求二面角比/的角度(2)若阱a,求面SfZ?与面肱所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围【答案】(1)135 ； (2)2a2+ 2【解析】(1)； 5力，底面力仇，48, ADU面48。)：.ABSA, ADLSA连接创，/阳为从以-的平面角过4作 4CL8G，月沪（附1, m .；尸血又因为防 Jee? +802 =&，AD=:, cos N. BAABAf +DAf -BDf2|ba|da|/.ZA4Z135二二面角ASI-的角度为135（2）以点为原点，建立如图所示的

28、坐标系故 4 (0, 0, 0)； A (1, 0, 0)； S； (0, 0, a)； B-. (-1, 1, 0)； C： (1, 1, 0)则可取二面角46S的法向量为: （1, 1, 0）向量C=（0，1，0）； DS=（-L 0, a）,设面 S（的法向量为2（人 % z） TOC o 1-5 h z 1UU1.而SAB与面皈所成角的平面角的余弦值为得产0, 户az=0,令 广1, z = 一, .*. = (1, 0,) aaIa12a2 + 2记3a）2 /3x+y = 0取x = l,可得 y = /,z = 1,所以 =,由（1）可得平面A8M的一个法向量为丽=（0,-,一半

29、），A-4.（2021 全国高三其他模拟）在四棱锥PABC。中，Q4_L平面ABC。，底面ABC。为梯形，AB/CD, AB1BC. BC = , AB = 2CD = 2, PA = 2.（1）若Q为AB的中点，求证：。平面P8C；（2）若E为棱PC上异于C的点，且BE工ED，求平面ABE与平面CDE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析：（2） .10【解析】（1）证明：.在梯形A8CO中，AB/CD. AB = 2CD = 2,。为A3的中点,所以 BQ/CD 且 BQ = CD.四边形8COQ为平行四边形，所以。Q8C,BC u 平面 PBC，DQ c 平面 PBC，所以 DQ

30、II 平面 PBC .解：以5为原点,BC, B4所在的也线为x, N轴，建立加图所示空间直角坐嫡篇因为BC=1, AB = 2CD=2, PA = 2,所以 4(0,2,0), 8(0,0,0), C(l,0,0), )(l,l,0), P(0,2,2), 则前= (1,0,0), CP = (-1,2,2), DC = (0,-l,0),丽= (0,2,0).设赤=4而，/l(0,l,则而=Z+/l而= (1-4,242/1), DE=DC+ACP = (-A,- + 2A,2A).因为BE LED，所以而.诙=0，即(1 一 五)(一义)+2/1 (1 + 2/1)+4%2 = o,化简

31、得3万一2 = 0,解得4=0 (舍)或;i = g.所以诙=匚,-另,而=仔哥,即住,黑).3 3 3J (333) U 3 3)r设m = (x, X, Z|)为平面ABE的一个法向量,2y =。 0,. v解得 令百=1，得加= （1,0,T）；Z = X|,设5 = （士, , Z2）为平面CDE的一个法向量，fn.CD = 0%”则一 一，所以112n-DEQ-x2-y2+-z2=0,解得|为一?令Z2=l，得 =（2,0,1）.1/2= 2z2设平面ABE 1 j平面CDE所成锐二面角为0，则cos。= |cs（玩卜辱=吃例=叵, 1 网同 V1+T74+T io所以平面ABE与平

32、面COE所成锐二面角的余弦值为巫.105.（2021校徽六安市六安一中高三其他模拟（理）如图，四棱锥尸ABCO中，平面PBC_L平面ABC。,ZPBC = 90, AD!IBC, ZABC = 9Q, 2AB = 2AD = OCD = BC = 2（1）求证：CDJ_平面P8D；（2）若直线FD与底面ABC。所成的角的余弦值为4,求二面角8-PC-力的余弦值.3【答案】（D证明见详解；（2） 也3【解析】平面 PBCJJFliuABC。，平面 P8CCI 平面 ABCE）= BC, NPBC = 90，；.PB 上 BC，乂。Du平面ABC。，.PB_LC），XvZABC = 90, AD!IBC，:.ADAB-v 2AB = 2AD =应CD = BC = 2,，BD = dAB? + AD