2021-2022学年广东省肇庆市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年广东省肇庆市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知，则复数（）ABCDB【分析】根据复数的除法运算，将分子分母同乘分母复数的共轭复数进行化简，可得答案.【详解】，故选：B2已知向量，若，则（）A1BCD3A【分析】利用向量的坐标运算列方程求解，即可.【详解】解：由，所以，解得，所以，故选：A3数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数为（）A8B9C6.4D8.4B【分析】根据百分位数的计算即可求解.【详解】数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数是第7个数，为9故选:B4已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（）ABCDD【分析】利用侧面积公式即得

2、.【详解】由题意，圆锥的每线，底面周长为4，故其侧面积为。故选：D5某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（）ABCDD【分析】利用比例分配的分层随机抽样计算可得答案.【详解】用女生样本的平均体重49kg估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重57kg估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，所以D选项最合理.故选：D6在正方体

3、中，E，F分别为和的中点，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为（）A0BCDC【分析】设P为的中点，连接PC，PF，则PCF为异面直线BE与CF所成的角，设正方体的棱长为1，求出，由余弦定理可得答案.【详解】设P为的中点，连接PC，PF，则PCF为异面直线BE与CF所成的角，设正方体的棱长为1，则，由余弦定理可得.故选：C 7二进制数字系统中，用两个不同的符号0（代表脉冲间隔）和1（代表有脉冲信号）来表示基数，每个0或1就是一个位（bit）如二进制数01001就是5（bit）一个5（bit）的二进制数，由3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（）ABCDC【分析】利用列举法和古典概

4、型概率计算公式可得答案.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，可以是：00011，00101，01001，10001，00110，01010，10010，01100，10100，11000，共10种排法，其中2个1不相邻的排列方法为：00101，01001，10001，01010，10010，10100，共6种排法，故2个1不相邻的概率为.故选：C8一架高空侦察飞机以800m/s的速度在海拔20000m的高空直线飞行，飞机的航线和某个山顶在同一铅垂平面内，飞机第一次探测该山顶的俯角为45，经过10s后飞机第二次探测该山顶的俯角为60，则该山顶的海拔高度约为（）A1072mB1573mC2436

5、mD3200mA【分析】把实际问题与三角函数的知识相联系，根据题意，利用正弦定理求得，再找到山高h与的等量关系即可求得问题答案.【详解】设第一次探测点为A，第二次探测点为B，山顶为点C，山高为h，由题意可得，由正弦定理，得，又，所以又，故选：A二、多选题9下列命题为真命题的有（）A过直线l外一点P，存在唯一平面与直线l垂直B过直线l外一点P，存在唯一平面与直线l平行C过平面外一点P，存在唯一平面与平面垂直D过平面外一点P，存在唯一平面与平面平行AD【分析】对AD，利用反证法推出矛盾判断即可；对BC，举反例判断即可；【详解】对A，假设过直线l外一点P，存在另一平面与直线l垂直，又垂直于同一直线的

6、两平面平行，这与矛盾，所以不存在另一平面与直线l垂直，所以A正确；对B，如图：，故B错误；对C，如图：，故C错误；假设过平面外一点P，存在不同于的平面也与平面平行，则，这与矛盾，所以不存在不同于的平面也与平面平行，所以D正确故选：AD10在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（）ABCDBC【分析】根据点E，F分别是边AD和DC上的中点，且在平行四边形ABCD中对角线相互平分，则M，N是线段AC上的三等分点，根据数乘和加法运算，可得答案，由，根据向量的减法运算，可得答案.【详解】如图，由E，F分别是边AD和DC上的中点，由三角形相似

7、可知M，N是线段AC上的三等分点，由三角形相似可得M，N分别是线段BE、BF上的三等分点，所以，故B正确，A错误；，又，所以，故C正确，D错误故选：BC.11已知表示必然事件，事件A的对立事件记为，且，事件B的对立事件记为，且，则（）A必然事件与事件A相互独立B若A与B互斥，则A与B不独立C若A与B相互独立，则与不独立D若A与相互独立，则A与B互斥AB【分析】利用相互独立事件的定义以及互斥事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】，所以A正确；若A与B互斥，则，而，所以A与B不独立，故B正确；若A与B相互独立，则，故，所以与相互独立，故C错误；若A与相互独立，则A与B相互独立，则，则，与A

8、与B互斥矛盾，故D错误故选：AB.12已知三棱锥D-ABC中，DA，DB，DC两两垂直，DA，DB，DC与底面ABC所成角分别为，DH底面ABC，点H为垂足，下列选项正确的是（）A若，则BABC一定为锐角三角形C若，则三棱锥D-ABC的外接球体积为DH一定为ABC的垂心BCD【分析】对于A，根据线面夹角的定义，得到各线面夹角的正弦值，由侧棱的大小及夹角正弦值的大小，确定夹角的大小；对于B，比较三边的大小后，利用大边对大角，求最大角的余弦值，通过该余值的正负来确定三角形的形状；对于C，由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直的特点，且侧棱长均相等，可补成正方体来求外接球半径，从而求得体积；对于D，利用线面

9、垂直，可证明HBC， BHAC，CHAB，即可得结论.【详解】解：对于A ,由题意得，又，所以，所以，故A错误；对于B，不妨设，则，则，故，所以一定为锐角三角形，故B正确；对于C，若，则三棱锥D-ABC的外接球的直径为，所以三棱锥D-ABC的外接球的体积，故C正确；对于D，由DH底面ABC，所以DHBC，又DA，DB，DC两两垂直，所以AD平面DBC，所以DABC，又，故BC平面DAH，所以AHBC，同理BHAC，CHAB，所以H为的垂心，故D正确故选：BCD.三、填空题13已知向量，若，则_3【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可【详解】因为，所以，故故314已知i为虚数单位，则_i【分析】

10、根据虚数单位的定义，可得，根据其周期性，可得每一项结果，可得答案.【详解】由，得故i.15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AD为BC边上的中线，则ABC的面积为_【分析】由余弦定理得，又，两边同时平方可求出，两式联立求解出，再由三角形的面积公式可求出答案.【详解】由，所以，由余弦定理得，又，所以，即，解得，所以ABC的面积故答案为.16一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人

11、，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_64.4【分析】利用方差及平均数公式可得， 进而即得.【详解】初一学生的样本记为，方差记为，初二学生的样本记为，方差记为，初三学生的样本记为，方差记为设样本的平均数为，则，设样本的方差为则又，故，同理，因此，故答案为.四、解答题17在平面四边形ABCD中，ABBC，(1)求；(2)若，求DC(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理，再由平方关系，即可求求解；（2）根据余弦定理即可求解.【详解】(1)如图，由正弦定理，得，所以，解得，所以(2)因为，所以，由余弦定理，

12、得，所以18某市教育局为调查该市高一年级学生的综合素养，在该市高一年级的学生中随机抽取了100名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图，如下图(1)求直方图中a的值；(2)由直方图分别估计该市高一年级学生综合素养成绩的众数、平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(1)(2)众数为70，平均成绩为75；方差为115【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列方程，解出a即可；（2）由频率分布直方图能估计得分的平均数，众数，方差等.【详解】(1)解：由频率分布直方图知，解得(2)解：由直方图，高一年级学生综合素养成绩的众数为，估计该市高一年级学

13、生综合素养的平均成绩为方差为.19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求B；(2)若，求ABC面积的最大值(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，结合余弦定理即可求解;（2）根据余弦定理边的关系以及均值不等式即可得到，进而根据面积公式即可求解.【详解】(1)由正弦定理，得，所以，又因为故(2)方法1：由余弦定理得，当时等号成立又，所以ABC面积的最大值为方法2：由正弦定理，得，所以，又，所以，所以，当时，ABC的面积最大，最大值为20如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，(1)证明：平面ABC平面；(2)若，求二面角的余弦值(1)证明见解析；(2).【分析】（1

14、）连接，可得，进而可得平面，AB平面，再利用面面垂直的判定定理即得；（2）过在平面内引直线垂直于AC，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，根据面面垂直的性质定理及判定定理可得为二面角的平面角，结合条件即得.【详解】(1)连接，如图，由是菱形，所以又，所以平面，故,又，所以AB平面，又平面ABC所以平面ABC平面(2)过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接由平面ABC平面，平面平面，所以平面ABC，所以，又OHBC，所以BC平面，故为二面角的平面角设，由，可知O为AC的中点，所以又，平面，平面，所以ABAC，所以所以所以，所以二面角的余弦

15、值为21甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；累计负两场者被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立经抽签，第一场比赛甲当裁判(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；(3)求甲最终获胜的概率(1)(2)(3)【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的

16、乘法运算即可得出答案.（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.【详解】(1)记事件A为甲胜乙，则，事件B为甲胜丙，则，事件C为乙胜丙，则，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为(2)只需四场比赛就决出冠军的概率为(3)由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，22如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，E，F，M分别为边PD，PB，PC的中点，N为BF的中点(1)证明：平面AEF；(2)若，直线PA与平面ABCD所成的角为60，求三棱锥的体积(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用中位线定理及线面平行判定定理即得；（2）过点P向平面ABCD引垂线，垂足为O，过点O作AB的平行线分别交AD与BC于点S和K，设，利用线面角的概念结合条件可得，利用锥体的体积公式可得四棱锥的体积，进而即得.【详解】(1)设Q为AF的中点，连接QN，QE，