2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1已知复数满足，则（）A5BCD2A【分析】运用复数的运算及共轭复数的概念即可得到结果.【详解】由得，则，所以，故选:A.2已知向量，若，则实数（）ABCDC根据平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故选：C.3某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（）A91B92C93D93.5D【分析】将数据从小到大排序，应用百分位数的求法求第80

2、百分位数.【详解】数据从小到大为，而，所以第80百分位数为.故选：D4若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四边形中的长度为（）ABC2DB【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为. 因为，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B5气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932

3、815458569683431257393027556481730113537989据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5C【分析】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率【详解】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，概率为，故选：C6甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A0.26B0.72C0.74D0.98D【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：，则至

4、少有一人中靶的概率为：，故选：D7直角梯形的一个内角为，下底长为上底长的2倍，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为，则旋转体的体积为（）ABCDD【分析】根据题设，由旋转体的结构特征：圆锥和圆柱的组合体，令，应用表面积求法列方程求a，再根据圆锥、圆柱的体积公式求体积.【详解】如下图示：由题设，令，所以绕下底旋转一周旋转体表面积为，所以，故旋转体的体积为.故选：D8已知，且，则所有满足条件的数对的个数为（）A12B13C20D24B【分析】将题设条件变形为且、，结合判断的可能数值，即可得答案.【详解】由题设，即，又，且，则，所以且，可能为、，共13个，所以对应也有13个.综上，所有满

5、足条件的数对的个数为13个.故选：B二、多选题92021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（）备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到.当月增速=.A2021年8月至12月我国规模以上工业天然气日均产量持续上升B2021年当月增速最大的是12月C2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量的中位数为5.4亿立方米D2020年4月我国规模以上工业天然气产量约为157亿立方米ACD【分析】根据统计图一一计算可得.【详解】解：由统计图可知，2021年8月至12月我国规模以上工业

6、天然气日均产量持续上升，故A正确；2021年当月增速最大的是6月，故B错误；2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大排列分别为（单位：亿立方米）：、，故中位数为，故C正确；设2020年4月我国规模以上工业天然气产量约为亿立方米，则，解得，故D正确；故选：ACD10如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A，三点共线B平面C直线与平面所成的角为D到平面的距离为ABC【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离

7、【详解】由于为正方体的体对角线，在平面内，据此可得平面平面于，又交平面于点，故点在上，故项正确；很明显平面，平面，故，同理，于点，故平面，故项正确；设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，故项正确；设到平面的距离为，解得，故D项错误；故选：ABC11先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A与互斥BC与对立D与相互独立BD【分析】AC选项可以根据互斥和对立的定义判断，D选项可以通过判断是否成立，B选项依据“正难则反” 的思路计算.【详解】

8、A选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为4，于是与可以同时发生，并不互斥，A选项错误；两次都不出现奇数点的事件记为，依题意，于是，B选项正确；C选项，当第一次投出奇数点，第二次投出偶数点，那么事件同时发生了，并不互斥，根据互斥和对立的关系，与也不对立，C选项错误；D选项，两次投掷的点数相同，显然是6种情况，于是，意为两次投出的点数均为偶数，显然只有3种情况，于是，符合独立事件的定义，故D选项正确.故选：BD12如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，为的中点，在翻折过程中（）A四棱锥的体积最大值为B平面C三棱锥的外接球半径的最大值是D直线，与平面所成角的正弦值之比为ABD

9、【详解】若，如下图示，所以翻折过程中，当面时四棱锥的体积最大，为，A正确；若为中点，连接，又为的中点，则且，又且，即且，所以为平行四边形，则，面，面，故平面，B正确；由题意为直角三角形，若为中点，则其外接圆圆心为且半径为，而中，故，则其外接圆半径为，若圆心为，则，所以，令外接球球心为，则外接球半径为，又，故外接球半径最小值为，无最大值，C错误.由，面，面，故平面，所以到面的距离相等，令距离为，所以，与平面所成角正弦值分别为，而，则，D正确.故选：ABD关键点点睛：C选项，根据已知求出、外接圆的半径，则为公共弦，再由外接球半径与侧面外接圆半径的几何关系列式求范围.三、填空题13用分层抽样的方法从

10、某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_人.900【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.【详解】由题意可知，高二年级抽取：人抽样比为：该校学生总数为：人本题正确结果：本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.14在中，已知，则_.6【分析】用表示出后，由平面向量数量积运算律与定义计算，【详解】由已知故615已知，是方程在复数范围内的两个根，则_.【分析】利用根与系数关系可得，进而求，即可求模长.【详解】由题设，故，所以.故16二面

11、角的大小为，其内部有两个半径为1，一个半径为2的小球两两外切且与，均相切，则_.【分析】找出平面与平面的分角面，求得三个球心组成三角形面积，再求得其在平面投影的面积，即可求得，最后通过同角平方关系及二倍角公式即可得到答案.【详解】根据对称性可知，由三个球心、所确定的平面一定的平面与平面的分角面下面求的面积及在平面上的射影的面积（如图），不妨设球、的半径分别为1、1、3则，故为等腰三角形因此，在矩形中，由，得，在直角梯形中，,同理可得，所以为等腰三角形，即且平面与平面所成的角为，则，则即，所以，且故平面与平面所成二面角正切值为.故答案为:.四、解答题17已知不透明的袋中装有大小和质地相同的5个球

12、，其中有3个黑球（记为，和），2个红球（记为和）.(1)求随机抽取一个球是红球的概率；(2)如果不放回地依次抽取两个球，求两个球都是黑球的概率.(1)；(2).【分析】（1）由古典概型的概率求法，即可得随机抽取一个球是红球的概率；（2）列举出所有抽取两个球的事件，判断两个球都是黑球的事件数，即可得概率.【详解】(1)由题设，5个球有2个红球，故随机抽取一个球是红球的概率为.(2)抽取两个球的事件有：、，共10种，其中两个球都是黑球的有、，共3种，所以两个球都是黑球的概率.18已知的内角，的对边分别为，分别以，为边长的三个正三角形的面积依次为，已知.(1)求；(2)若的面积为，且_，求.（请在；

13、这两个条件中选择一个完成解答.）(1)(2)选择条件见解析，【分析】（1）根据面积公式及余弦定理计算可得；（2）若选，利用辅助角公式求出，即可求出，再根据锐角三角函数及面积公式计算可得；若选，利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式求出，再根据锐角三角函数及面积公式计算可得；【详解】(1)解：依题意，即，由余弦定理，.(2)解：若选，则，即，因为，所以，所以，即，此时，即为直角三角形，且，所以，所以，解得，所以；若选，由正弦定理可得，所以，即，即，因为，所以，所以，即，此时，即为直角三角形，且，所以，所以，解得，所以；194月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.他提出希望孩子们

14、养成阅读习惯，快速阅读，健康成长，希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地小学生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位小学生，对这些小学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计（都在50到100分钟之间），得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求样本中阅读时间在一小时以上的小学生人数；(2)已知样本中和两组人数相同，求图中的值；(3)根据频率分布直方图估计：该地小学生阅读时间的90分位数（单位：分钟）；该地小学生每天阅读时间的平均数（单位：分钟）.(1)90(2)0.020(3)87.5；74【分析】（1）由频率分布直方图求出阅读时间小于一小时的

15、人数，然后可得阅读时间在一小时以上的人数；（2）由频率分布直方图中所有频率和（小矩形面积和）为1求得值；（3）根据频率分布直方图计算90分位数；频率分布直方图每组数据中点值乘以相应频率后相加可得平均值【详解】(1)由频率分布直方图，阅读时间小于一小时的人数为，所以阅读时间在一小时以上的人数为；(2)由频率分布直方图，解得；(3)由频率分布直方图，知阅读时间在80分钟以下的频率为，在90分钟以上的有，因此分位数在80分钟到90分钟之间，设为分钟，则，解得；平均值为20在四棱锥中，平面，分别为，的中点.(1)求证：平面面；(2)若，求二面角的大小.(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题设可得

16、，正弦定理可得，即，再由线面垂直的性质有，根据线面垂直的判定可得面，中位线性质有，则面，最后由面面垂直的判定证结论.（2）根据线面垂直的性质及二面角的定义找到锐二面角的平面角，根据其与所求二面角的关系，即可求角的大小.【详解】(1)由题设，在中，所以，在中，则，可得，又，故，所以，由平面，平面，则，又，面，故面，由，分别为，的中点，故，则面，面，所以平面面；(2)若为中点，为的中点，则，由平面，则面，若为中点，则，由（1）知：，所以，又面，故，面，故面，而面，则，综上，故为锐二面角的平面角，由知：，由（1），则，故，由图知：钝二面角为.212022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰

17、雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献.2020中国滑雪产业白皮书显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龙江1491011955133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陕西79477610山西7839100(1)由表中数据可知，2018-2019年这十个省份滑雪总人次为1387万，而受疫情影响，2019-2020年下降至806万，计算2018-2019年和2019-2020年这10

18、个省份滑雪人次的平均数，并据此计算这两年的平均数；(2)已知2018-2019年滑雪人次的方差，2019-2020年滑雪人次的方差，据此计算这两年滑雪人次的方差；（结果保留整数）(3)据统计近年滑雪人均每次消费为6000元，若以2020-2021年数据为基础，每个省份滑雪人次都按（2）中标准差的人数增长（过程中数据均保留整数），估计2021-2022年滑雪消费超过100亿元的省份有几个？(1)；(2)3035；(3)4.【分析】（1）利用平均数的求法求，；（2）根据方差公式有，结合已知方差求值即可；（3）根据已知，人数为至少万人时消费才能超过100亿元，求出各省增长人数，加上2020-2021年数据判断与的大小，即可确定答案.【详解】(1)由题意，.(2)由，.(3)由题设，消费超过100亿元，则人数为