不定积分的换元法课件

1、第3章 一元函数积分学及其应用第1节 定积分的概念，存在条件与性质第2节 微积分基本公式与基本定理第3节 两种基本积分法第4节 定积分的应用第5节 反常积分第6节 几类简单的微分方程2012年12月10日1南京航空航天大学 理学院 数学系第1页，共46页。第3节 两种基本积分法3.1 换元积分法3.2 分部积分法3.3 初等函数的积分法第2页，共46页。2换元法则(II）换元法则(I)基本思路 设可导,则有3.1 换元积分法2012年12月103南京航空航天大学 理学院 数学系第3页，共46页。第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，第4页，共46页。41.

2、 换元法则(I)-第一类换元法定理3.1 则有换元公式(也称配元法简记, 凑微分法)说明使用此公式的关键在于将化为第5页，共46页。5例1 求解: 令则故原式 =注 当时第6页，共46页。6解 原式 =第7页，共46页。7例2 求解:令则想到公式第8页，共46页。8解第9页，共46页。9例3 求想到解:第10页，共46页。10以下是最基本且经常会遇到的结果:第11页，共46页。11例4 求解（一）解（二）解（三）观察重点不同，所得结论不同.第12页，共46页。12例5 求解类似第13页，共46页。13常用的几种配元形式: 万能凑幂法第14页，共46页。14第15页，共46页。15例6. 求解:

3、 原式 =第16页，共46页。16例6. 求解: 原式 =例7. 求解: 原式 =第17页，共46页。17例8. 求解法1解法2 两法结果一样第18页，共46页。18例9 求解法1 解法 2 同样可证(P196 例3.4 )第19页，共46页。19原式提示:第20页，共46页。202. 换元法则(II)-第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，第21页，共46页。21定理3.2 设 是单调可导函数 , 且具有原函数 ,证:令则则有换元公式第22页，共46页。22例10 求解: 令则 原式第23页，共46页。23例11 求解: 令则 原式第24页，

4、共46页。24例12. 求解:令则 原式第25页，共46页。25令于是第26页，共46页。26说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第27页，共46页。27说明(2)被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . 或或三角代换外, 还可利用公式第28页，共46页。28说明(3)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例13 求令解第29页，共46页。29说明(4)令令当被积函数含有根式 时，可直接令根式为 t,去根号第30页，共46页。30解 令则原式例14 求第31页，共46页。31说明(5)当被积函数含有两种或

5、两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例16 求解令第32页，共46页。32说明(6)万能代换令（万能代换公式） 使用范围： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为如，第33页，共46页。33例17 求积分解由万能代换公式第34页，共46页。34第35页，共46页。35练习解原式 =前式令; 后式配元第36页，共46页。36两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换小结:第37页，共46页。37 说明： 1. 第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 第38页，共46页。38（8）万能代换令（万能代换公式） 使用范围： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为第39页，共46页。392. 常用基本积分公式的补充第40页，共46页。40第41页，共46页。41思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?第42页，共46页。422. 下列各题求积方法有何不同?第43页，共46页。4