复变函数(西交大)第五讲学习教案

1、 1. 原函数与不定积分的概念(ginin) 2. 积分计算公式3.4 原函数与不定积分(b dn j fn)第1页/共30页第一页，共31页。 1. 原函数与不定积分(b dn j fn)的概念 由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点(zhngdin)有关。 当起点(qdin)固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且第2页/共30页第二页，共31页。定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z)

2、 ，即 ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. 上面定理表明 是f (z)的一个原函数。设H (z)与G(z)是f (z)的任何(rnh)两个原函数，这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章2例3)第3页/共30页第三页，共31页。2. 积分(jfn)计算公式定义 设F(z)是f (z)的一个(y )原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f (z)的不定积分，记作定理 设f (z)在单连通区域(qy)B内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强第4页/共30页第四页，共31页。例1

3、 计算下列(xili)积分：解1) 第5页/共30页第五页，共31页。解2)第6页/共30页第六页，共31页。例3 计算(j sun)下列积分：第7页/共30页第七页，共31页。小结(xioji) 求积分的方法第8页/共30页第八页，共31页。 利用Cauchy-Goursat基本(jbn)定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内 容 简 介3.5 Cauchy积分(jfn)公式第9页/共30页第九页，共31页。分析(fnx)DC

4、z0C1第10页/共30页第十页，共31页。DCz0C1猜想(cixing)积分第11页/共30页第十一页，共31页。定理(dngl)(Cauchy 积分公式)证明(zhngmng)第12页/共30页第十二页，共31页。第13页/共30页第十三页，共31页。 第14页/共30页第十四页，共31页。 一个解析(ji x)函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第15页/共30页第十五页，共31页。例1解第16页/共30页第十六页，共31页。例2解CC1C21xyo第17页/共30页第十七页，共31页。例3解 第18页/共30页第十八页，共31页。内 容 简 介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并

5、导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过(tnggu)积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。6 解析函数(hnsh)的高阶导数第19页/共30页第十九页，共31页。形式(xngsh)上，以下将对这些公式的正确性加以(jiy)证明。第20页/共30页第二十页，共31页。定理(dngl)证明(zhngmng) 用数学归纳法和导数定义。第21页/共30页第二十一页，共31页。令为I第22页/共30页第二十二页，共31页。第23页/共30页第二十三页，共31页。依次(yc)类推，用数学归纳法可得第24页/共30页第二十四页，共31页

6、。一个解析(ji x)函数的导数仍为解析(ji x)函数。第25页/共30页第二十五页，共31页。例1解第26页/共30页第二十六页，共31页。第27页/共30页第二十七页，共31页。第28页/共30页第二十八页，共31页。作业(zuy)P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的观看(gunkn)！第30页/共30页第三十页，共31页。内容(nirng)总结1. 原函数与不定积分的概念(ginin)。第3页/共30页。任意常数)为f (z)的不定积分，记作。此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.。但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强。例1 计算下列积分：。例3 计算下列积分：。小结 求积分的方法。的推广