线性代数和解析几何曲面以及其方程

1、关于线性代数与解析几何曲面及其方程第一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例解1. 球面及其方程P(x0,y0,z0)rP(x, y, z)第二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月观察柱面的形成过程:定义 在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线所形成的曲面称为柱面。这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线2、柱面及其方程第三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月且有从(2)(3)中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以(1)为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程.如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点 M1的母线方程为设柱面的准

2、线为准线母线MM1母线的方向数为X,Y,Z. 试建立这柱面的方程.第四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例1 柱面的准线方程为而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程.解：设M1(x1，y1，z1)是准线上的一点，那么过M1(x1, y1, z1)的母线为且第五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月所以令(4)=t,得将(7)代(5)、(6)得由(8)、(9)得第六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示:2 方程F (x, z) =0 表示:3 方程F (y, z) =0 表示:母线平行于 z 轴的柱面, 准

3、线为xoy面上的曲线C: F (x, y) = 0.母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线C: F (x, z) = 0.母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线C: F (y, z) = 0.第七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月abzxyo椭圆柱面第八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月yxz= 0zo 双曲柱面第九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月zxyo抛物柱面第十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月3. 旋转面及其方程lC第十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月.Sl 定义 在空间，一条曲线 C 绕着定直线 l 旋转一周所生成

4、的 曲面 S 称为旋转面（或回转曲面） C 称为旋转面的母线， l 称为旋转面的旋转轴. 3. 旋转面及其方程C第十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月生活中见过旋转曲面吗？第十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月第十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月纬圆 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线.说明：纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线S旋转曲面的有关概念 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面 的纬圆或纬线。 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。 经线和母线一样吗？lM经线满足什么条件母线就是经线？旋转

5、曲面也可看作经线绕轴旋转生成C第十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月旋转曲面的方程（直角坐标系）设旋转曲面的母线1 旋转曲面的一般方程旋转轴为直线分析：lM1S旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面当M1遍历整个母线 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面. 第十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月注： 写出这母线上任意一点 的纬圆方程， 写出参数 的约束条件， 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。lM1S第十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例 求直线 绕直线 旋转所得的旋转 曲面的方程。母线不是经线注：为方便，今后将取

6、旋转曲面的某一条经线作为它的母线.单叶旋转双曲面第十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月解（两直线为异面直线），设M1(x1,y1,z1)是母线L1上的任意点，因为旋转轴L2通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.第十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知yoz面上一条曲线C , 方程为 F(y, z) = 0, x=0, 曲线C 绕 z 轴 旋转一周就得一个旋转曲面.设

7、M1(0, y1, z1)是C 上任意一点, 则有F( y1, z1) = 0当 C 绕 z 轴旋转而M1随之转到M (x, y, z)时, 有且 F( y1, z1) = 0.第二十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月得旋转曲面的方程:思考题：xoy面上的一条曲线 C ，F(x,y)=0, z=0分别绕x轴及y轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？第二十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月规律： 当坐标平面上的曲线C 绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。第二十二张

8、，PPT共八十一页，创作于2022年6月解 :应该先建立母线的方程圆锥面方程例：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程第二十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月旋转椭球面zxyzxy例2：将椭圆 分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。第二十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 xyoz xoz叫做旋转单叶双曲面y例3 :(1)将双曲线 第二十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月axzoz.xy第二十六张，PPT

9、共八十一页，创作于2022年6月 （2）将曲线 叫做旋转双叶双曲面yzoxyzox绕实轴（即y轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为第二十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月旋转抛物面xyzox例4：将抛物线绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为yzo第二十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例5、将圆绕Z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面.第二十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月zyoab绕 z轴 旋转所成曲面将圆第三十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月xzyo.第三十

10、一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月x.生活中见过这个曲面吗？zyo.第三十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月救生圈.第三十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 准线母线顶点 x0z y锥面及其方程定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线A锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.第三十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月设锥面的准线为设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：顶点为A(x0, y0, z0

11、)，试建立锥面的方程.且有F1(x1, y1, z 1)=0,F2(x1, y1, z1)=0消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x, y, z)=0准线母线母线x0z yMM1A第三十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。答：（二次锥面）同理分别表示锥面。第三十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月解： 设M(x,y,z)为任一母线上的点， 那么过M点的母线的方向向量为轴线的方向向量为根据题意有M得例2：已知圆锥面的顶点A(1,2,3),轴垂直于平面母线与轴组成300角,试求这圆锥面的方程. A第三十七张，PPT共八十一页，创作于2022

12、年6月空间曲线及其方程设空间曲线L的一般方程消去一个变量后得方程任取其中的两个联立，如它也表示同一条曲线L.第三十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月以曲线L为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线L关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 所以方程组所表示的曲线叫做空间曲线L在xOy面上的投影.注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.第三十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月Lyz x0例如从分别消去y及z，得第四十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月由空间曲线 C 的方程 消

13、去 z 后得到(母线平行 z 轴的柱面).例第四十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月解在 xOy 面上的投影为例 求曲线在 xOy 面上的投影.第四十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例 设一个立体由上半球面 和锥面所围成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy 面上的投影曲线为这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1第四十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月空间曲线 C 的参数方程例曲

14、线 C 的参数方程为空间曲线的参数方程第四十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 例 圆柱螺线 第四十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月6.4 二次曲面 1、椭球面 2、二次曲面 3、单叶双曲面 4、双叶双曲面 5、椭圆抛物面 6、双曲抛物面 7、二次方程的化简 第四十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月二次曲面的定义：三元二次方程讨论二次曲面性状的平面截痕法： 1、对称性，2、曲面的范围，3、主截线，即用坐标面截曲面的截线，4、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次

15、曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0第四十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月椭球面定义 在直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面，其中a, b, c都为任意的正常数。方程叫做椭球面的标准方程.1、对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。顶点（a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)xzyO第四十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 3、主截线 用平面z = 0, y=0, x=0分别去截割椭球面, 得椭圆，它们的方程分别为 由方程可知 x2a2,

16、 y2b2, z2c2 , |x|a, |y| b, |z| c,也就是曲面在由六个平面x=a, y=b, z=c组成的长方体内。2、范围 Oxyz第四十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月zoxyO 用平面z = h去截割(要求 |h | c), 得椭圆当 |h | c 时, |h|越大, 椭圆越小;4、平行截线 顶点在椭圆(2)上，第五十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月zoxyO 用平面z = h去截割(要求 |h | c), 得椭圆当 |h | c 时, |h|越大, 椭圆越小;当 |h | = c 时, 椭圆退缩成点.4、平行截线 顶点在椭圆（3）上，第五十一张，PP

17、T共八十一页，创作于2022年6月特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.当a=bc时，或a=cb,或ab=c时为旋转椭球面.椭球面的参数方程球面的参数方程第五十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例：已知椭球面试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。解：圆的方程为圆的方程为（1）与（2）等价，得所求平面的方程为第五十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月所表示的曲面叫做单叶双曲面，其中a, b, c都为正常数，叫做单叶双曲面的标准方程。 单叶双曲面定义 在直角坐标系下，由方程 （1）对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴

18、，原点对称。顶点（a,0,0）与（0, b,0)oxyz第五十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 xyoz(2) 主截线用三个坐标平面z=0，y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为第五十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 用一组平行平面 （h为任意实数） 与曲面相交 ，其交线为椭圆.(3) 平行截线顶点与 xyoz在（2）上，在（3）上，第五十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月实轴与x 轴平行,虚轴与 z 轴平行，顶点在腰椭圆（1）上。实轴与z 轴平行,虚轴与 x 轴平行，顶点在双曲线（3）上. xyoz用平行于xoz面的平面y=h截割单叶双曲面, 其截线方程为

19、：当|h|b时表示双曲线第五十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月截痕为一对相交于点 的直线.同理用平行于yoz面的平面x=h截曲面其截线与（3）中的b类似。 xyoz截痕为一对相交于点 z的直线第五十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月单叶双曲面图形在工业生产中的应用是什么？当a=b时，方程方程与各表示什么图形？表示旋转单叶双曲面。第五十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月所表示的曲面叫做双叶双曲面， 双叶双曲面定义：在直角坐标系下，由方程其中a, b, c都为正常数，叫做双叶双曲面的标准方程.(1) 对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称.顶点（0, 0, c

20、）(2) 主截线用两个坐标平面y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为xyzo第六十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月与都表示双曲线.xyo(3) 平行截线a 、用平面z=h(|h|c)来截曲面，其截线方程为表示椭圆，顶点在（6）上，在（7）上.第六十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 xyob、用平行于xoz面的平面y=h(h0）时，其截线为双曲线,方程为:方程与都表示双叶双曲面。实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行，顶点在（6）上椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面它们的方程可以统一吗？z第六十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月例：用一组平行平面z=h(h为任意实数），截割

21、单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹方程.解：这一族椭圆的方程为即第六十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月因ab, 从而椭圆焦点轨迹方程为消去参数得第六十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月 单叶：双叶：.yx zo 在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面 的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐近锥面第六十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月表示的曲面叫做椭圆抛物面，其中a, b 都为任意正常数, 为椭圆抛物面的标准方程.原点也叫椭圆抛

22、物面的顶点. 椭圆抛物面定义 在直角坐标系下，由方程(1) 对称性曲面关于xoz,yoz坐标面，z轴对称.（2） 主截线用坐标面y=0及x=0截曲面，其截线方程分别为zxyo第六十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月xyzo（3） 平行截线a 、用平面z=h(h0)来截曲面，其截线总是椭圆顶点在（1）上，在（2）上，第六十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月b 、用平行于xoz面的平面 截割椭圆抛物面得交线为抛物线.它的轴平行于 z 轴 xyzo顶点在主抛物线(2)上.第六十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月xyzo（4）与（1）全等.c 、用平行与坐标yoz(x=0)的平面x=t均可得抛物线.第六十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形开口与x或y轴一致时方程是啥？第七十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月特殊地：当a=b 时，方程变为旋转抛物面（由xoz 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）第七十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月所表示的曲面叫做双曲抛物面（马鞍面），其中a, b都为任意的正常数，为椭圆抛物面的标准方程。双曲抛物面定义：在直角坐标系下