无穷大与无穷小

1、复习 数列、函数的极限1. 函数极限的统一定义1局部有界性唯一性保序性单调性2. 函数极限的性质21-4 无穷大与无穷小一、 无穷小 三、 无穷小与无穷大的关系 二、 无穷大 定义，与函数极限的关系，运算法则 3当一、 无穷小1.定义 若时 , 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小 .时为无穷小.（极限为0的变量）4注：1).称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2).无穷小是（极限为0的）变量,不能与很小的数混淆;3).0是可以作为无穷小的唯一的（常）数.4).实际应用：P67 课本例子：几何，物理5其中 为时的无穷小量 . 2. 无穷小与函数极

2、限的关系证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证 .6意义1).将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);7时, 有3. 无穷小运算法则（同一变化过程）定理1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 .取则当因此这说明当时,为无穷小量 .8注：无限个无穷小的代数和未必是无穷小.定理1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小 .9定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .10例1:例2:定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 11推论1 无穷小乘以有极限的函数仍是无穷小； 无穷小除以极限不为0的函数仍

3、是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小注： 有限个无穷小的和、差、积是无穷小；但商未必，可能是无穷小、无穷大或确定值.析：有极限必有界（必要条件） 极限不为0的函数的倒数有极限析：常数是有界函数的特例定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 12例. 求解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的水平渐近线 .定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 13二、 无穷大定义 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大, 使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X ) ,记作总存在（绝对值无限增大

4、的变量）14注:2. 无穷大不是很大的数, 描述函数的一种变化状态.例如, 函数当所以时 ,3. 函数在 内无界是 的必要条件15证16三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,1）无穷大的倒数为无穷小;2）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证17意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.定理4 在同一过程中,2）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.18注： 无穷大没有对应无穷小那样的运算性质例如：无穷大乘以有界函数不一定是无穷大反例：取有界函数为无穷小，则乘积要看无穷大与无穷小的趋近快慢19小 结一、 无穷小 （极限为零的变量）三、 无穷小与无穷大的关系 二、 无穷大（极限为无穷大的变量）与函数极限的关系1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小 .运算法则：2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 在同一过程中，1）