2021-2022学年辽宁省铁岭市六校协作体高一下学期期末联考数学试题 【含答案】

1、2021-2022学年辽宁省铁岭市六校协作体高一下学期期末联考数学试题一、单选题1已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限A由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,所以在复平面内对应的点为,故选:A本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用2设为实数，平面向量，若，则的值为（）A4BC1DB【分析】根据向量平行的坐标公式计算即可得解.【详解】解：因为，所以，解得.故选：B.3中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部

2、分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（）ABCDB【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为，半圆半径为，则，所以，可得，解得，则弧CD与弧AB的长度之比为.故选：B.4已知，则的值为（）ABCDD【分析】将分式化为整式后可得的值.【详解】因为，故即，若，则，与平方和为1矛盾，故即，故选：D.5在中，则（）ABCDD【分析】利用正弦定理求出，再利用平方关系即可得解.【详解】解：在中，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.6如图，某次帆船比赛L

3、OGO的设计方案如下：在直角三角形中挖去以点O为圆心，为半径的扇形，使得扇形的面积是直角三角形面积的一半.记，则的值为（）AB2C1D4B【分析】根据扇形的面积公式得到，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：依题意，解得，所以.故选：B.7在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCDA【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案【详解】如图，在等边三角形中，取中点，设其中心为，由，得设的外心为，在中，由，得，则设的外接圆半径为，则，即再设三棱锥的外接球球心为，则外接球半径该三棱锥外接球的表面积为故选：本

4、题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题8在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为（）ABCDD【分析】由sinB=cosAsinC化简可求 cosC=0 即C=90，再由，SABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数使得,由，为单位向量，可得，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值【详解】中设，即，根据直角三角形可得，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为直线上的一点，则存在实数使得,设，则，,，则,故所求的最小值为,故选：D.本题为平面向

5、量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.二、多选题9已知，若与共线，则下列说法正确的是（）A将的图象向左平移个单位得到函数的图象B函数的最小正周期为C直线是的一条对称轴D函数在上单调递减BC【分析】根据向量共线的坐标表示求出，由三角函数的平移变换原则可判断A；由可判断B；将代入，结合余弦函数的对称轴可判断C；利用余弦的单调递减区间为可判断D.【详解】因为与共线，则，所以.对于A，将的图象向左平移个单位得到函数的图象，故A错误；对于B，故B正确；对于C，当时，则，由余弦函数的对称

6、轴为，故C正确；对于D，则，由余弦函数的单调递增区间为，当时，余弦函数的单调递增区间为，所以函数在上单调递增.故选：BC10如图，在正四棱锥中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）.ABC面D面AC如图所示，连接相交于点，连接，由正四棱锥性质可得底面，进而得到，可得平面，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面平面，进而得到平面，随即可判断A；由异面直线的定义可知不可能；由A易得C正确；由A同理可得：平面，可用反证法可说明D.【详解】如图所示，连接相交于点，连接，.由正四棱锥，可得底面，所以.因为，所以平面，因为，分别是，的中点，所以，而，所以平面平面，所以平面

7、，所以，故A正确；由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；平面平面，所以平面，因此C正确；平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.故选:AC.本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.11下列命题中，正确的是（）A在中，B在锐角中，不等式恒成立C在中，若，则必是等腰直角三角形D在中，若，则必是等边三角形ABD对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余

8、弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选.本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.12如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，则下列结论正确的是（）A圆锥SO的侧面积为B三棱锥S-ABC体积的最大值为C的取值范围是D若A

9、B=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为BD【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错；在圆周上，易得，B正确；，又中，所以，所以C错；时，把和摊平，如图，的最小值是，此时，D正确故选：BD三、填空题13已知向量，向量与垂直，则实数的值为_【详解】试题分析：因为所以由向量与垂直得：向量垂直坐标表示14已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出若的周长为15，则的面积为_【分析】先用正弦定理

10、解得a=3，b=5，c=7，代入海伦公式即可解得.【详解】解：可令将上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因为：解得：a=3，b=5，c=7.所以代入海伦公式解得：S=故15如图，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是_.a1.5a【分析】图中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图中求出三棱柱的体积，计算即可得出结果.【详解】在图中，水所占部分为四棱柱，四棱柱底面积为，高为，所以四棱柱的体积为，设图中容器内水面的高度为h，则，解得故1.5a16如图，在棱

11、长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_【分析】连接，首先证明平面，设平面，连接、，即可得到三棱锥为正三棱锥，求出、，再利用勾股定理表示，即可得到，从而得到轨迹长.【详解】解：连接，因为四边形为正方形，则，平面，平面，则，因为，平面，平面，平面，同理可证，平面，平面，设平面，连接、，因为，所以三棱锥为正三棱锥，则为的中心，则，且内切圆的半径，所以，平面，平面，即，因为，即，解得，所以点的轨迹是半径为的圆，因为，所以点的轨迹长为.故四、解答题17已知向量，函数的最大值为.（）求；（）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到

12、函数的图象.求在上的值域.（）;（）【详解】：（）因为的最大值为，所以（）将函数的图象向左平移个单位，得到再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到因为所以的最小值为最大值为所以在上的值域为【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小18如图，中，是边长为1的正方形，平面平面，若分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接AE，交BD于点F，易得，再利用线面平行的判定定理证明；（2）由，得到，再由平面平面，且，得到，然后利用线面垂直和面

13、面垂直的判定定理证明；【详解】(1)证明：如图所示：连接AE，交BD于点F，则F为AE的中点，又G为CE的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；(2)因为，所以，则，又因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面ABC，平面，所以，又，所以平面ADC，又平面BCD，所以平面平面.19已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若是的中线，且，求的最大值.(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积

14、极及基本不等式即可求解.【详解】(1)由及二倍角的余弦公式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因为是的中线，所以，两边平方，得,由（1）知，所以，所以即，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.20如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，为的中点(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，先证得四边形为平行四边形，进而得到，即可证得平面；（2）取中点，先证得平面，再由体积公式求解即可.【详解】(1)取中点，连接，易得且，又，则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；(2)取中点，连接，则，又，则四边形为

15、平行四边形，则，又，则，又平面，则平面，又，则.21已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在的面积为；边上的中线长为；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)(2)若选，三角形存在，面积为；若选，三角形存在，面积为；若选，三角形不存在，理由见解析【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得，由正弦型函数周期性可得结论；（2）利用，结合的范围，可求得；若选，由三角形面积公式和可构造方程组求得，从而利用两角和差公式求得；再利用

16、正弦定理求得后，由得所求面积；若选，设边的中点为，则，等式左右平方后，根据向量数量积的定义和运算律可求得，即边，由得所求面积；若选，利用余弦定理可化简已知等式求得，由作圆法可验证得，知三角形不存在.【详解】(1)，的最小正周期.(2)由（1）得：，则，解得.若选条件，又，又，由正弦定理得：，；若选条件，设边的中点为，则，边上的中线长为，即，即，又，即，；若选条件，即，又，由知：，不存在.22已知四棱锥中,底面是直角梯形,又平面,且,点在棱上且.（1）求证:;（2）求与平面所成角的正弦值;（3）求二面角的大小.（1）答案见解析（2）（3）（1）推导出,从而平面,进而,由此能证明平面,即可求得答案;（2）由（1）可得:平面,所以为与平面所成角,求出长,即可求得答案;（3）连结,交于点,从而平面平面,进而平面,过作于点,连结,则,则为二面角的平面角,即可求得答案.【详解】（1）取中点为,连接 ,