2016考研数学概率论零基础浙大版

1、杰第 1 44杰第 1 44 序课程目以大纲为纲以大为配序课程目以大纲为纲以大为配 2 44 第第一概率论的基本概.一第一概率论的基本概.一大纲要重点例题与习第 3 44 二、三基复例题、综合题选1 随机试二、三基复例题、综合题选1 随机试那 2 样本空间、随机事用 表示；而由全体基本事件的集合称为基本事件空间或样本空间，记为 间包含所有样本点，在每次试验中总是要发生的，称为必然事件，常记为每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为第 4 44 k k 生 5.k k 生 5. 1）交换律:B A;ABC C);(AC C)(BC);(BC)(AC)3）分配律:(AB)C 律: B B;

2、B B第 5 44 包含（AA 发生，必导致事B 发生A（ABAB 至少有一（ABAB 同时发生的事A（ABAB互不相容事AB ABAB且B事件 A B 不能同时发5）差积转换律: AB A AB AB ）(D) 3频率与概概率的统计定义（考纲不要求n 时， fn A 常数5）差积转换律: AB A AB AB ）(D) 3频率与概概率的统计定义（考纲不要求n 时， fn A 常数PA，则PA称为A发生的概率.频率必须有多次试验才1计算，而概率只要有一次试验即可计算.比如我在掷一次硬币之前就知道出现正面的概率为 投2概率的公理化定义（数学定义(1) （非负性）APA0(2) （正则性）P(是两

3、两互不相容事件, P Ai ) iii: 对于不可能事件P(0；对于必然事件P(PA0A,P(B1B: iii（单调性）:A BP(B A) P(BP(A)P(A P(Biv: PAv（对立求逆）:AAPA1PAPAPA) PA第 6 44 B) P(A)P(B)P(AB) ，B)P(A)P(B)B) P(A)P(B)P(AB) ，B)P(A)P(B)B) P(A)P(B)C) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 【补例】(19901)设随机事件A、B及其和事件AB的概率分别是0.4,0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB 的概率PAB=4 等可能

4、概型(古典概型9. 概率的古典定义（古典概型所涉及的随机事件只有有限个样本点(有限性)，譬如n 个每个基本事件出现的可能性是相等的（等可能性，若有n个，则每个发生概率为1nA含有kAPA事件A所含样本点的个 k 10. 补充概率的几何定义（几何概型E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一A A 发生的概率为P ,L 其中LLA分别为 与 A 的几何度量（长度，面积，体积这样定义的概率为几何概型【P1256【补例】(19881)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件“两数之和小于 ”的概率5第 7 44 vii（减法公式P(B A) P(BA) P

5、(B P(AB5条件概11. P(A的条件概率”P(B| 5条件概11. P(A的条件概率”P(B| AAP(B| AP(1) (非负性) 0 P(B| A1；(2) (规范性) P(| A1；Bi Bi |如果事件 B1，B2，互不相容，那么(3)可列可加性【P152【补例（19964）AB 为任意两个事件且A B PB 0，则下列选项必然成立的( |B; |B.PAPA|BPA PA|BP(AB)P(A)P(B| A)P(B0P(AB) P(B)P(A|B)P(A1A2An10 定义（划分、完备事件组）B1B2,Bn n（1）BiBj ,i j,i,j1,2,nB iB1B2,Bn , n

6、 为（第 8 44 B1B2,Bn PBi0,i 12,nn P A P B P A iB1B2,Bn PBi0,i 12,nn P A P B P A ii是一个完备事件组，PBj0j12,nAPA0B B ,nPBiPABi PA,i 1,2,n jP P A BjjP19例5X Y, PY , = .6独立13. 两事件独立性ABP(AB) P(A)P(B)AB 14. AB,CP(B P P P B P P(BC) P(AC)AB,CAB,CAB,C两两独立.注意： n n 个事件两两独立”并非一回事.第 9 44 重要例P20例11【补例】(20001)AB重要例P20例11【补例】

7、(20001)AB都不发生的概率为 ，A B B 9不发生的概率相等，则PA【补例】(20141,3)AB P(B) 0.5P(AB) 0.3P(B A) (10 44 第二随量及其分随量的基础. 一大纲要重点例题与第二随量及其分随量的基础. 一大纲要重点例题与习二、三基复例题、综合题选11 44 1量1. 1）量在样本空间上，随机试验的每一个可能的结果 X(X （）X是由1量1. 1）量在样本空间上，随机试验的每一个可能的结果 X(X （）X是由（）对于任意给定的实数 x ，事件 x都是有概率的则称X()为一量简记为X 一般用英文大写字母X,Y,Z等表示2离散型量及其分布2. 1）量XX 2

8、）X X n,P(X xi pi,i 12,X 2）pi 1i显然，分布律满足（1）pi 0,i 12,12 44 XP13 13 44 重要例P32例1 （A）3P重要例P32例1 （A）3P1 （C）3P2 1 （）（B）6P1 （D）6P2 1 3量的分布函3）X F(x) P(X x， xX X 在,x量都有分布函数F(x)的值等于（1）0 F(x) 1x1 x2 F(x1 F(x2xF(x0F(x)；（4）F() 0,F() 1上述四个性质是F(x)为某X F(xP(X b)P(X b)F(b0)P(X b)1P(X b)1F(b)P(X b)P(X b)P(X b)F(b)F(b0

9、)P(a X b)P(X b)P(X a)F(b)F(a)P(a X b)P(X b)P(X a)F(b0)F(a0)P(a X b)P(X b)P(X a)F(b)F(a0)P(a X b)P(X b)P(X a)F(b0)2. 量14 44 1）离散型XX 2）X X n,P(X xi pi,i 12,X 显然，分布律满足（1）pi 0,i12,（2）1）离散型XX 2）X X n,P(X xi pi,i 12,X 显然，分布律满足（1）pi 0,i12,（2）pi 1i3）X P(X xi pi,i 12,X F(x) P(X x) P(X xi)，xF(xX F(xX P(X xi)F

10、(xi)F(xi 0),i1,2,量X1 与X2 的分布函数，为使F(x)aF1(x)bF2(A)a3,b(B)a 2,b (C)a1,b (D)a1,b55332222P39例1X若x若1 xFxPX x若1x若x则X的概率分布量X 的分布列为P(X k)b2k,k 1,（2） ，15 44 XP4连续型量及其概率密3. 量1）X F(xf 4连续型量及其概率密3. 量1）X F(xf (xxF(x) f (t)dt xX F(xf (xX2）概率密度函数 f (x（1）f(x)0（2） f(x)dx3）X F(xf (xF(xf (xxF(x) f (x对于任何实数cP(X c0（0 事件

11、不一定是不可能事件b（4）P(aX b)P(aX b)P(aX b)f(x)dxa4）16 44 17 17 44 重要例P43例1ABex,x( 量X 的分布函数F(x)x0, P(1X 1（C）重要例P43例1ABex,x( 量X 的分布函数F(x)x0, P(1X 1（C） (1e). （D） (1e（A）e e（B）1 e 22X 的密度函数为(x，且(x) (x) ，F(x)X a有1aa(A)F(a) (B)F(a) 200(C)F(a) (D)F(a) 2F(a)【P452量Y 服从参数为1aPY a1Y a【补例】(20131)2、方差为2的正态分布，且 P2X 40.3，则【

12、补例】(19911)若随PX 0量 X 服从均值为量 X 服从正态分布 N(0,1)(0 1) u 满足（20041,3,4）PX uP x x等于（ u2(B) 220 xxP(X 1X F(x2【补例】(20101,3) （B）1 （C）1 e12（D）1e1 218 44 5量的函数的分1.XXP(X5量的函数的分1.XXP(Xxipi,i12,，则YgX的分布律g(xi )yP(Y yj)P(g(X) yj)P(X xi)（g(xk 相同值，取相应概率之和为Y 取该值概率2.X重要例【P501P534【X N(,2,则Y aX b N(aba2219 44 设连续量X 的取值范围为(a

13、,b)（ 可为，b可为其密度函数为fX (x).若函数y 在(ab内严格单调，且其反函数hy有连续导函数，则Y gXf (y)fX h(y)h(y) y 其中(y g(xX 可能取值的区间上值域y g(x在(ab内严格单调且其反函数有连续导函数step1x y g(x的值域为a,b，也可以是开区间或者半开半闭step2：yaFy0，ybFy1step3a ybFYyP(Y yP(g(X ygx)y fX (x)dx，然后 fY y) FYy.第三随量及其分随量之间的联系是重中之重. 一大纲要重第三随量及其分随量之间的联系是重中之重. 一大纲要重点例题与习20 44 二、三基复例题、综合题选1二

14、维量随量n为定义在同一个样本空间n 个n设主n 2的情形，n维X X(),Y Y(是定义在样本空间量，则称向量X,Y二、三基复例题、综合题选1二维量随量n为定义在同一个样本空间n 个n设主n 2的情形，n维X X(),Y Y(是定义在样本空间量，则称向量X,Y21）定义：F(x,y) PX Y PX x,Y y，(x,y)R2其中P(X x,Y y)表示事件(X (Y y)发生的概率，R2表示整个二维平面2）（1）0 F(x, y) 1；（2）F(x,y)分别关于x和y单调不减，即对于固定的y，若 1 2 ，则y ，则 ( , y1 ,y2)（3）F(x, yxy F(x0, y) F(x,

15、yF(x, y0) F(x, ， ( ,y （4）F ) (x,y (F( ( ,y ，F( ( ,y ； （5）x1 x2y1 y2 F(x2y2F(x2y1F(x1y2F(x1y1量量(X,Y)的每一个分量X 和Y 都是离散型的，则称(X,Y)为二维离散型设X,Y的一切可能取值为(xiyj i 12,; j 12,P(Xxi,Yyjij12,为X,Y的联合分布律，或联合概量(X,Y)的联合分布律常用下列形式表示21 44 联合分布律的性质如下：1）pij 0；2）pij 5（1）定量X,Y) 的联合分布函数为 F联合分布律的性质如下：1）pij 0；2）pij 5（1）定量X,Y) 的联合

16、分布函数为 F(xy) ， 如果存在非负可积函数 f (xy) ， 使得对任意实数 xy ，有 F(x,y f (u, d)udv，则称(X,Y)为二维连续型量，f (x,y)为其联合概率密度函数 f (xy的性质 2） f (x, y)dxdy （1）f (x,y)02Fx,y（3）f (xy在点(xyf (x, y) （4）Dxoy上的区域，点X,YDPX,YDf x,yD（1（2） 重要例【P621【P63222 44 2边缘分F(xy) X,Y) 的联合分布函数， 关于 X Y 的边缘分布函数分别为 FX (x) FY 2边缘分F(xy) X,Y) 的联合分布函数， 关于 X Y 的边

17、缘分布函数分别为 FX (x) FY y) FX(x) F(x,)PX x,Y lim F(x, y)FY (y) F(,y) Px,Y y lim F(x,y)（1X,Y) 的分量 X Y 的分布律称为其边缘分布律 它与联合分布律 的关系为：pi P(X xi)PX( x i , jjpj P(Y yj)P(X xi,Y yj)pij ii设(X,Y f (xyX,Y F (x)f(x,y)dy)dx，F (y)f (x, y)dx)dy XY它们分别称为X,YX 和Y 的边缘分布函数fX (x) f (x,y)dy，fY (y) f(x,y)dx分别称为X,YX 和Y 的边缘密度函数重要例

18、【P651【P66223 44 3条件分（1）二维离散型X,Y) 的分量 Y 的分布律称为其边缘分布律 它与联合分布律 的关系为：pi P(X xi)P X( x i , 3条件分（1）二维离散型X,Y) 的分量 Y 的分布律称为其边缘分布律 它与联合分布律 的关系为：pi P(X xi)P X( x i , jjpj P(Y yj)P(X xi,Y yj)pij ii对于固定的j，若pj P(Y yj0) P(X xi,Y yj) P(X x |Y i12,X关于(Yy 的条i|ijjP(Y y pjjpi P(X xi0 xi,Y yj) P(Y y | X x ) P( j 12,为Y

19、关于X x ijiP(X x ii（2）二维连续型xfX (x0f (x, fY|X (y|x)- y为Y X x的条件密度函数,f XfY y0f (x, fX|Y (x| y)- xX 关于Y y的条件密度函数,f (Y重要例P681【P713】 P72424 44 4相互独立的量量(X,Y)，X 与Y 相互独立的充要条件为pij pi pj 对任何i, j 1,2,4相互独立的量量(X,Y)，X 与Y 相互独立的充要条件为pij pi pj 对任何i, j 1,2,量(X,Y)，X 与Y 相互独立的充要条件为f(x,y) fX (x)fY (y)【P735两个量的函数的分1设X,YP(X

20、xi,Y yj)Pij (i,j1,）有不同的函数值，（1） (x y 连续，且对于不同的 X Y) 的分布律为：PX xi,Y yjPij 其中g(xiyi)Pg(X,Y)kk（2）z g(x, y连续，且对于不同的Z有相同的函数值，则 (x 取这些不同的相Y Z=X+Y P(Z zl )P(X xi)P(Y zl xi= P(X zl yj )P(Y yj j量X,Yf (xyz g(xy为二元连续函数，则 (X,Y1ZXY（1）设X,Yf (xyZ X Y f ( ) (x,zx f,z（2）X 与Y25 44 fz(z) fX (x)fY (zx)dx fX (zy)fY fz(z)

21、fX (x)fY (zx)dx fX (zy)fY (2ZXY设X,Yf (xyZ X Y fZ (z) f(x,x3设X,Yf (xyZ XY fZ (z) 4 YXX设(X,Y)的联合密度为f (x,y)，则Z YfZ (z) yf (yz,y)dy5设X,YF(x, yM max(X,YN min(X,Y则：极大值M 的分布函数为FM (zP(M zP(X z,Y zF(zz极小值N的分布函数为FN (zP(N z1P(N z1P(X z,Y z Z 的分布函数的步骤如下z g(xyZ g(X,YFz (z) P(Z z) Pg(X,Y)Zf(x,g(x,d（3）对F (z)求导，得Z

22、g(X,Y)的概率密度：f (z) F (Z)ZZZ重要例【补例】设X,Y 的分布律如（3）Z maxX,Y求（1）ZXP77例2Z X 第 26 44 X 122第四随量的数字特一第四随量的数字特一大纲要重点例题与习27 44 二、三基复例题、综合题选1数学期1. 1）X P(X xi pi,i二、三基复例题、综合题选1数学期1. 1）X P(X xi pi,i12,，当xi pi xk kX EXEXxipi X f(x，当 xf(x)dx绝对收敛时，则称积分 xf(x)dx量X 的数学期望，记为E(X)，E(X) xf (x)dx2）（1）E(C) C,EE(X) E(X) （2）E(C

23、1X C2Y)C1E(X)C2E(Y)（3）X 和Y E(XY) E(X)E(Y（4）E(XY)2 E(X2)E(Y2) 3) 一维量X 的函数Y g(X)的数学期（1）离散PX xk pk k 12,.，当g(xk pk kE(Y) E(g(X) g(xk )k（2）连续量X 的概率密度为f(x)，当 xg(f(x)dx绝对收敛时E(Y) E(g(X) g(x)f (x)dx 量(X,Y)的函数 Z g(X,Y) 的数学期望28 44 离 散 P(X xi,Y yj ) pij ， i, j 1,2,. ， 当 离 散 P(X xi,Y yj ) pij ， i, j 1,2,. ， 当 g

24、(xi,yj)pij 绝 对 收 敛 i1 j ，E(Z) Eg(X,Y) g(xi, yj )pij i1 j f(xy) 为 X,Y) 的 概 率 密 度 函 数 ， 当E(Z)Eg(X,Y) g(x,y)f(x,g(xyf (xy)dxdy 绝 对 收 敛 时， 量X,YEXE(YDX DY Cov(X,YX,Y)，故只要已知X,YEX xf(xy)dxdyEXY xyf(xy)dxdy 重要例【P911P946【P947【P9692方2. 1） X 即XDX) DX量 X 2）29 44 (x E(X)2 p ii2D(X)EX (x E(X)2 p ii2D(X)EX E X i(x

25、E(X)2 f D(X) E(X2)E(XX EXEX23) （1）D(C0DX0X （2）DX0（3）D(aX b) a2D(X)（4）X,Y D(X Y DX DY （5）D(X Y)D(X)D(Y)2E(XE(X)(YE(Y（6）D(X)E(X C)2,C E(X)X X C1 X E(XXD(X)0，则Y D(X重要例【P1011】 P1024P1025】【P10473 协方差及相对于量X和Y，如果EX E(X)Y E(Y)存在则称之为X和Y的协方差记作Cov(X,Y)即CovX,YEX E(X)Y E(Y30 44 cov(X,YXY对于量X和Y，如果D(X)D(Y)0，则D(X)

26、D(Ycov(X,cov(X,YXY对于量X和Y，如果D(X)D(Y)0，则D(X) D(Ycov(X,YD(X) D(Y4.不相关：如果量X和Y的相关系数XY 0，则称X和Y不相关2）重要性质、公1.cov(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 2. D(X Y)D(X)D(Y)2cov(X,Y)cov(X,X)DX(4)cov(X1 X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Y)(1)|XY |(2)|XY |1的充分必要条件是存在不全为零的常数a和bP(Y aX b1.量X 和Y 相互独立，则X 和Y 必不相关；反之，X 和Y 不相关时， X 和Y 却不一定相互重要例【P1081量X 和

27、Y 的联合概率分布求1）X 和Y 的相关系数2）X2和Y2的协方差cov(X2,Y2)（20011,3,4）将一枚硬币重复掷nX和YX和（）1（B）0（C） 2第 31 44 X01014 矩、协方差矩1）定义（了解1.设X是量，如果E(Xkk1,存在，则称之为X 的k 阶原点矩设X4 矩、协方差矩1）定义（了解1.设X是量，如果E(Xkk1,存在，则称之为X 的k 阶原点矩设X是量，如果EX E(X)kk 1,存在，则称之为X 的k 阶中心矩(3)设X 和Y是量，如果E(XkYlk,l 1,XY的kl(4)设X 和Y是量，如果EX E(X)kY E(Yk,l1,XY的k5.1【补充】二维均匀

28、分X与Y相互独立，且都服从区间(0,1PX2Y2 111（A） 4（B） 28432 44 定义：设G xy 平面上的有界区域S G ，称具有联合密度函(x,y)G, f x, y SG(x, y)服从区域G 上的均匀分布注记：1. SG的区域如果比较简单，可以用平面几何的方法求，或者用利用二重积分的几何2. 二维)服从区域G上的均匀分布，)落在区域G1G内的概率PX,YGfx,ydxdy SGSG从上式可以看出，求均匀分布落在某区域G1 上的概率实质就是面积之比，不一定要用积分，这个概率与的面积成成正比，而与G1 的位置 量X 和Y 在圆域x2 y2 r2上服从联合均匀分布,(1)X 和Y

29、2)X 和Y 是否独立5.2【补充】二维正态分X N(, ),Y N( , 量X 和Y 在圆域x2 y2 r2上服从联合均匀分布,(1)X 和Y 2)X 和Y 是否独立5.2【补充】二维正态分X N(, ),Y N( , ，且X 与Y 相互22X Y N( , 更 一 般 地 ， 若 X 2i) 相互 独 立 ， 则innnY CX C X C X 仍服从正态分布，且此正态分布为NC C )，其中2 1 nni C1,C2 ,Cn X,Y) N ; , 则N( , N( , 22P663X与Y 0P1092aX N(a b ,a b （一维正态分布2 2 21 量X N(3,1),Y N(2,

30、1)则Z ZX 2Y7Y N(, 2,2;0) ，则P(X Y) 【补例】设(X,Y33 44 P771+P104第五大数定律及中心极限定章节一大纲要重点例题与习二、三基复例题、综合题选1大数定设量， 如果对任意正数 ，有nX n第五大数定律及中心极限定章节一大纲要重点例题与习二、三基复例题、综合题选1大数定设量， 如果对任意正数 ，有nX n,. 是相互独立的一列量， X 是一个随limP Xn X 或等价地limPXn Xn X 2n,.相互独立（两两不相关即可), DXk 量CDXk C, n1nXk 1limP n kn k3n,.相互独立,服从同一分布,EXk 量34 44 nXk

31、limP n k4nAnA发生的次数，pAnpAn重要例（2003） nXk limP n k4nAnA发生的次数，pAnpAn重要例（2003）X2XnX 1nnn时Yn 2X 依概率收敛i2 中心极限定1-量n ,.相互独立,服从相同的分布,具有数学期望和方EXk DXk （k 12）,x2nXk limP k x(x).nnXk k量Xn 服从参数为n和p的二项分布,即Xn B(n,p) (0 p1,n1,2,.),则对于任意实数x,Xn limP x (x)np(1 35 44 重要例量列，且均服从参数为(1n ,为独立同分布的布，记(x) 为标准正态分布函数，则nnX重要例量列，且均

32、服从参数为(1n ,为独立同分布的布，记(x) 为标准正态分布函数，则nnXX x(x). x(x). nnXi X(C)limP x (x). x(x).n【P125336 44 第六样本及抽样分第六样本及抽样分一大纲要重点例题与习二、三基复例题、综合题选1随机样 样本 X i ，指组成总体的每一个对象或成员（第 37 44 简单随机样本：从总体中随机地抽取的n 个样本 X n n n 量n X nXnf(x1,xn ) fX (xi )iP X n，i ,X P(X n x )inx ， 则联合分布函数：F(x1X简单随机样本：从总体中随机地抽取的n 个样本 X n n n 量n X nX

33、nf(x1,xn ) fX (xi )iP X n，i ,X P(X n x )inx ， 则联合分布函数：F(x1X xi )Xni2 直方图和箱不作3抽样分称不含任何未知参数的样本的函数T Tn 为一个统计量n的一组观测值，则称tT设值. nn1nni1X X；in S 22；n1ii1nS S 2(X X) 2nin1nk ,2,A1 X 样本的k Ak Xi1nnk ,2,样本的Bk (X kXi38 44 二阶样本中心矩B S2 X n2S S 2nninin 的一组观测值为n ) ，将观测值按由小到次（顺）(n) xkXk) (n) n的次序统计量. X(1) X(n) n二阶样本中心矩B S2 X n2S S 2nninin 的一组观测值为n ) ，将观测值按由小到次（顺）(n) xkXk) (n) n的次序统计量. X(1) X(n) n X注意，对于简单随机样本n ，各n X 随(n) 为取自总体 X 的一个样本，无论总体 X 是否正态总体， 只要 EX) 若nDX