《代数学》重点整理(复习提纲)

1、代数学重点整理第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、AB A B若由a1 a2 a1 a ，就推出2（a1) (a2，则称 AB2、AB A B若ran( B ，则称 AB 的满映射。3、给出一个由整数集合 Z 到自然数集合 N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于 0、等于 0、大于 0 的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合AA 的映射共有n n 种。5、皮阿罗公理中没有前元的元素为 1。6、aba 1 aa b (a b.7、aba 1 a a b a b a8

2、、ababkab,ba,abb0g(x)=sin x（0 x00k1，f(x) 6、y=lg xy7、函数 f(x)sinx（其中0 x1）为下凸函数。118、sin(x x )(sin x sin x )2122121119、不等式（a （+） n2 a0，i=1，12naaai12n2，n 成立。可利用柯西不等式(na b )2 (na2)(n b2)证之成立i iii11110、abc0a+b+c=1，2abc2a+b+4c 存在极小值，为 6。2 abc=1，则27利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc 极大值为 2 ，272a+b+4c 的极小值为 6.11、x

3、0,y0,z09x2 +12y 2 +5z 2 =93x+6y+5z9。(a b )2 (n a2)(n b2) 易知 3x+6y+5z 的极大值为9，其中i iii111a3x,b1a223y,b23,a35zb。53512若 x0,y0,z0 且满足 3x2 y 2 z 2 =15，则 2x+3y+4z 存在极大值，为：395。395(a b )2 (na2)(n b2)易知 2x+3y+4z 的极大值为395，其中395i iii1113a3x,b311,a y,b2 a3 z, b3 4 。13、x0,y0,z03x2 +4y 2 +5z 2 =209x+16y+7z1412。14利用

4、柯西不等式(a b )2 (na2)(n b2)9x+16y+7z12，其中14i iii14111a3x,b133,a2 2y,b2 a35zb7。53514、若 x0,y0,z0。且满足 2x2 +3y 2 +4z 2 =10，则 5x+6y+7z 存在极大值，为：730。2(a b )2 (n a2)(n b2)易知 5x+6y+7z 的极大值为730 ，其中i iii21112a2x,b211,a3y,b223,a3 2z,b3 7。215、若 x0,y0,z0 x2 +2y 2 +3z 2 =15，则 2x+3y+4z 存在极大值，为：41524152(a b )2 (na2)(n

5、b2)易知 2x+3y+4z 的极大值为41524152i iii111a x,b1 a22y,b222a3zb4。333316、若x0,y0,z0，且满足2x2+3y2+4z2=10，则3x+4y+5z存在极大值，为96569656(a b )2 (na2)(n b2)易知 3x+4y+5z 的极大值为96569656i iii111345a2x,b11,a3y,b2222a2zb。33323、不等式 a1 1+a2+anna111a22.annn成立，其中+12+=1n0,ai 0i=1,2n。可令 f (x) lg x ，则易知 f (x) 为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成

6、立。若 0k1,(q q . q )k q xk其中q.q=1, 且q0，xi1 122i=1,2,n。nniii112nf (x) xk f (x在为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。19、半径为 R 的圆内接n 边形中，以正 n 边形的面积最大。设其内接n边形的面积为S,n边形各边所对应的圆心角为 , ,.,，则12n1S R2 (sin2sin2.sinn) ，再根据 sinx 在(0, ) 上是上凸函数可知上面论述成立。第三章 多项式与环主要内容：1、不可约因式与素因式的概念2、因式分解唯一环的概念及实例3、多项式的代数定义与分析定义4、对称多项式5、基本定理证明6、一元

7、三次方程与一元四次方程的根7、多项式的零点估计8、重因式与结式9、施斗姆定理重点掌握：1、举出一个交换环的例子：如剩余类环Z 。52、环的理想定义为：如果R 是一个整环， N R，为 R 的子环，若对任意的r Ra N均有r a N NR3、剩余类环Z124、剩余类环Z12中可逆元素为:_,_,_,1。中非可逆元素为: _,_,_,_,_,_,0。5、Z8中的可逆元素为: _,_,_,_。6、在剩余类环Z8中不可逆的元素为:_,_,_,_。 3 37、整环中因式分解不是唯一的例子是:例如：在整环 R ab|aZ,bZ中，4 223)(1 3)。10 000008、在二阶方阵环（实数域上）中找出

8、两个零因子，如：000 9、剩余类环Z中的真零因子有_,_,_,_ 。1210、Rp Rp p p | a b就可推出 p | a 或 p | b ，这时我们称 p 为素元素。11、不可约元素的定义为：设R 为整环，cR,c ,c也不是可逆元素，且若c a b a b c 是不可约元素。212、Z1，2e, Z 上的超越元。13、 为有理数域上的超越元。14、 2 是有理数域上的代数元。15、Zx（Z 是整数环）是因式分解唯一环。是 Z 上的代数元，316、在整环R=a+b| aZ，bZ 中2是不可约元素。3因为在R中，223)(13)3318、在环 R=a+b 环。| aZ bZ中，2 是不

9、可约元素，但不是素元素，且 R 是整根据定义以及反例： 223)(13)可知 2 是不可约元素，但不是素元素。19、FFf(x)g(x定义与分析定义是一致的。从代数观点出发推得其相对应系数也应该相等，即从函数论观点得证；反之，若从函数论观点出发，将两函数相减所得为一个次数不超过这两个函数次数n 的多项式，因此它至多在F内有n个根，由已知数域F含有无穷多个元素，f(x)-g(x)无限多个根，与前面至多在 F 内有 n 个根矛盾，因此 f(x)-g(x)的系数必须全为0，因此其相对应系数都相等。20、若数域 F 只有 P 个元素，则从分析观点出发F 上的多项式只有有限个。FFFf(x)FF a12

10、,., ，这时 f (ap1)就有p种选择,f (a )2p 种选择，f p Fp p 个，为有限p个。21、在Z0,1,2中，存在一个多项式f(x)使得f(1)=0，f(2)=0。3例如（x2）(x_)22、在剩余类环Z（x2）(x30的根为_,_,_,1。12将Z中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。1223、在Z 中, x2 1 0共有四个根：_,_,_,_ 。8Z 中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。824、在剩余类环Z16x10的根为：_,_,_,5。将Z中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。1625、k| m

11、Z，kZ，RR2m 2n 和 2n p p 为奇素数。RR 2n 和 2n p p 为奇素数。26、整数环是主理想环。根据定义易证上面叙述成立。 327、 3R=a+b| aZ bZ中，2 是不可约元素，但不是素元素28、若 R 是因式分解唯一环，则下面两式成立：（1(a,b),c) (a,(b,c)（2、(ab, ac) 根据相伴的定义易证第四章 排列与组合主要内容：1、初等排列与组合2、排列与组合模型公式3、筛法原理4、筛法原理应用5、递推公式与筛法原理初等证明6、拉姆斯定理重点掌握：1、(x y z) 10展开后合并同类项共有 66 项。展开后每一项都是10次多项式，它的不同项实际上是从

12、3个元素x,y,z中取10元素（允许重复取）的方法数，即n 个元素取 r 个元素（可重复取）的组合数Cr）n r 12、Cr+Cr=Cr。n1n1n3x x1 +=m的非负整数解的个数为Cm。nnm1上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数Cm。n m14x x1x =1066。3上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数Cm。n m15、n(1)n。111111111111利用公式：D(n).n11117、5 个人收 5 封信谁也不收自己的信共有 44 种方法.111115D(n) .(1)n8、从 n 个元素中取 n+1 个元素（允许重复取）有C n1 种

13、方法。2 nn 个元素取 r 个元素（可重复取）的组合数C rn r 19、多项式(x x x x )12展开合并同类项后（1）共有 455项（2）x4x5x3 的系1234123数为 27720。展开后每一项都是 12 次多项式，它的不同项实际上是从 4 个元素x , x1, x , x3中取 12 个元素（允许重复取）的方法数，即 n 个元素取 r 个元素（可重复取）的组合数Cr。n r 1如果 S 中含有r1个相同的b r12个相同的b2；rk个相同的b ，且kr r. n S。12kr !r !.r !12k10、展开多项式后合并同类项(x y z t)12 455x2 y3t 7 7

14、920。展开后每一项都是 124xyzt12（允许重复取）nr（可重复取）Cr。n r 1如果 S 中含有 r1个相同的b；r12个相同的 b2；rk个相同的b，且kr r. n，则S中的全排列个数为。12kr !r !.r !12k11、上 11 阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有 144 种不同的方法。11110291212计算这几种方式分别有几种不同的方法，将结果加起来即可，因此所有的方法加起来为1 C1 C 2 C 3 C 4 C 5 。10987612、上 12 阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有 233 种不同的方法11C 0 C1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 。12111

15、0987613、n对夫妻一起跳舞，则刚好有k对夫妻为舞伴的方法有11111C k (n kn(1)nk种(nk)!应为：k 对夫妻为舞伴，剩余 n-k 对夫妻为扰乱排列的总数。14、8316（1这两个数字也算连续数字。g(nk) nn kCknkg(nknk许取连续两个数码（1n）的方法数。15、102211035种方法。方法同上题 14。16、从不大于 100 的正整数中，能被 2，或 3，或 5 整除的自然数共有 74 个。利用容斥原理，设 Ak表示能被 k 整除而不大于 100 的自然数集合，则所求即为| A U A UA23|，结果为 50+33+20-16-10-6+317、在 1-200 的整数中，能被 2 或者 3 或者 7 整除的整数个数为：142。方法同上题 16，利用容斥原理，设 Ak表示能被 k 整除而不大于 200 的自然数集合，则所求即为| A2 A A3|，结果为 100+66+28-33-14-9+4。18、从 1-1000 整数中求能被 2，或者 3 或