华师数学建模考试资料

1、数学建模名词解释：一阶差分方程标准答案：定义数列區仗=0丄)的一阶差分为：陆=叫卫一仗=0丄人)_阶差分;如皿=于(1无=0,1&(1)的方程，其中保与it琢的T函数_(1瓦也就是数列碎关系和=码“丄占其中玖对=/w.式也可以称为一差分方程2第9题名词解释：数学模型标准答案：数学模型(MathematicalModel)是由数字、字母或者其他数学符号组成的,描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.3第10题名词解释：二阶差分方程定JO洌區仗二0丄右）的二阶差分为：A*二山田-夂二工申-2珈十忑=（U2）二阶謹分;如A=/（pX4=0X2,（3）的方程，其中保与疋瑟的二元函数式即数列递推关系

2、忑二巩耳事，斥入疋=0丄&0）其中二元函数尸（心刃=2x-f+/（x3y）.（4）式也可以称为二阶差分方程.4第15题名词解释：（1）线性规划模型；（2）线性规划模型的可行域；（3）线性规划模型的最优解和最优值（4）不可行的线性规划模型；（5）无界的线性规划模型.标准答案：解答(1)线性规划(linearprogranmaing,LP)就是对满足有限多个线性的等式或不等式约束条件的决策变量的_个线性目标函数求最大值或最小值的最优化问题线性规划模型的一般表达式可写成max(或min)z=qjq+CjXjHs-t.如埼+如帀+坷為丸或弓习毎勾旺+幻冷+十码几兰(或弓滋生声+务內十+7定(或巳习虬亏

3、0J=l2,n未知数号称为决策变量目标函数经常记为艺或朽称为目标变量.目标函数的变量系数兮称为价值黍数约束条件的变量系数气称为工艺系数约束条件右端的常数称为蚩源限量.釣束条件前的记号是统subject的缩昏意即举受约束于”.决策变量的上下界约束般要单列-满足约束条件的决策变量就是可行解(feasiblesohitim)?可的集合称为可(feasibleregiwi)-使目标函数达到最犬值(或最小值)的可行解称为最优解(optimalsolution)r相应的目标函数值就是最优值(optimalvalue)-没有可行解的线性规划模型称为不可行mfeasibte).不可行的线性规划模型没有最优解-

4、如果最大(小化线性规划模型的目标函数可以在可行域取得任意大小)的值*则称为无界Gmboumted)_无界的线性规划模型也没有最咖5第4题回答以下关于一ernft常系数齐次差分方程岳1二Q+J%,I=0,1,2-CD的问题=1）当（1储用作数学趣时，模型假设是什么？2）砒值记作暂写出（1佩的解的通项公式.3）当心0时，求出（1障KF平衡点.+）彌点渐进矗定的充分必要条件是什么？标准答案：解答（D当（1咸用作数学模型时耳是实际对象在第t时段的状态值，参数f是用前筆公式计算的増长華珈_JqEf厶G9%由G供可见（WC的驰假设为庄用前謹公式计算的増长率为常数丁2）（1障的解为等比数列吟=旺。）蔦就=0

5、丄厶-G）令珀=耳=工，则（1）式变为工=0.+广）工，当丁#0,解得;e=0,所以当“0时有唯一的平衡点T.“）根据等比数列的性质知taxt=0当且仅当+r|l-即平衡点R0是渐进稳定的当且仅当-2分6第11题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长.请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系符号单位名称说明Vm/s车速dm刹车距离从司机抉定刹车到车完全停住汽车行驶的距离m反应距离从司机决定刹4到踩下刹车踏板汽车行驶的距离m制动距离从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行驶的距离紅反应时间A司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间

6、am/s2减速度汽车制动过程的减速度Fn制动力汽车制动过程的制动力M血汽车质量s2/m模型假设：（1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载也没有故障；C2）假设汽车在平直道路上行驶驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速直线运动；4）假设汽车在制动过程做匀减遠宜线运动减遠度口是常数制动力所做的功等于汽车动能的损失；（5）假设刹车距离等于反应距离加制动距离.根据假设,立即得到-凉根据牛顿第二定律和假设C4）.有F=maFd2=mv2/l所以2=嘉茸中包=1/（2口）最后根据假设,有d=刖+上式就是汽车剎车距离的数学

7、模型.7第12题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）.请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1弹簧伸长和质量的测量数据标准答案：解答记弹簧末端悬挂的质量为自变量X,弹簧的伸长为因变量於由表1的样本数据厲xXAhZriD，绘制散点图可以直观的看出卩与龙畑呈线性关系，所以采用一元线性回归模型y=0Q+/1+e以下是回归分析的MATLAB脚本二59854,76173,pM.4365xio-14,52=0.010528绘得的图形=质虽nesadualCaseOderPint234567891011CaseNuiinr8第14题(接续47酶促反

8、应(1)和48酶促反应(2)请分析Michaelis-Menten模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别原因是什么标准答案：解答根据47酶促反应和48酶促反应的计算结果，Midiadis-Moiten模型线性化拟合的误差平方和比非线性拟合的大60%；另外，观赛下图，可以发现戈当底物诜度x越接近1,线性化拟含的误差与非线性拟合的误差相差得越来越大.原園，假设工和都是正数.囲为对于兀或的数值较小的数据,X=小或取倒数以后变成较大的数工或y的数值越小，变量替换后增加得越雾；而对于工或y的数值接近1的数据JZ扛或Y=l/y取倒数以后变化也很小.所以工或丁的数值较小的数据，在线性化拟合起较主要的作用，

9、拟合误差会较小：而兀或y的数值接近1的数据在线性化拟合起较次要的作用，拟合误差会较大-Michaelis-MenterilS型的拟合误差比较图3020W0-10-20口20W0-10-20口“非线性拟合线性化拟合LjlIIIIIIII1.200.20.40.60.011.2底物浓度x您的答案：题目分数：此题得分：9第1题阅读材料电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板.长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量.表1是一些恰当用胶量的具体数据.表1磁钢面积(cm2)和恰当用胶量(g

10、)的具体数据设自变量x为磁钢面积，因变量y为恰当用胶量，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：JLjjjjjjjjj，X=ones(size(x),x;b,bint,r,rint,stat=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：bint=rint=stat=2174问题请将计算结果整理成表格，并进行分析标准答案：解答表2计算培果画归系数回归系数估计值回归系数置宿区间Ab=-0.10121-0.24763,0.045209A片=0.0165460.01572820.017365y=-0.10121H).01654&it3=0.99633r72174,pMxw11rj3=0.0

11、2121由计算结果得知二F统计量很大，P值比0.05小很多，说明回归模型是显著的,决定系数很接近b说明回归模塑的拟合精确程度很高,A的置信区间不含零点严说明自变量对因变量的影响显著匚但是禹的置信区同含零点，说明截距对因变量的影响不显著孑虽然第七个数抿的误差均值置信区间-0.51782,7046954不含零点，但是置信区间偏离零点的程度不严重卄不必剔除.因为由表6.10的样本数据计算得到的傀的置信区间包含零点,所以应该采纳原假设ffo=Jft=O-从本题的实际竟义看，当磁钢面积口）时，理应有恰当用胶量尸0,所以假设歹与x之间为正比例函数关系应该更合理-10第6题在道路行驶的汽车保持足够安全的前后

12、车距是非常重要的，人们为此提出了五花八门的建议.在美国，有人建议“两秒准则3即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何.请应用刹车距离与车速关系的经验公式d=0.75v+0.082678v2速度单位为m施距离单位为m】或利用由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据见表2）来衡量“两秒准则”是否足够安全.表2的数据使用英制単位mph（milesperhour,英里/小时）和ft英尺人换算率为：1mph=0.44704m/s10.3048m表2反应距离和制动距离的实际观测值车速(mph)反应距离（巴制动距离ft）刹车距离（ft）范围*平均值范围平均值202218222

13、04044422527.525312852.558.555.53033364540.5697373.53538.5475852.5S5.596.59140446480721081241164549.58210392.5131.5152.514250551051311181601361735560.5132165148.5192.5225.520960661622021822282682486571.5196245220.5267.5316.5292707723729526631437234375S2.5283353318365.5435.5400.5SO88334413376422506464

14、喘围包括了美国公路局所做测试中的町艸的观测结杲标准答案：“两秒唯则“表明前后车距与车遠成正比例关系.引入以下符号：D前后车距(m)；v车遠(m/s)；K2=l按照“两秒唯则JD与r之间的比例系数(s).于是“两秒准则的数学模型为比较=0.75v-f0.082678v2与?=加，得：(0.082678v-1.25)v所以当v15.12m/s时，有4D,即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全.也就是说，“两秒准则适用于车速不算很快的情呪.另外，还可以通过绘圈頁观的解释“两秒准则”够不够安全.用以下MATLAB程序把表2的刹车距离实测数据和两秒唯则都画在同一幅图中.v=(20:5：80).().4

15、4704；d26438231053132,162,196,237,283,3342231,45,58,80,103,131,165,202,245,295353,41820328340-5,52.572,92.531183148.5318220.5,2663318376；d2=0.3048.*d2;kl=0.75;k2=0.082678;K2=2;dl=v;v;v.*kl;d=dl+d2；plct(0,4090,12*40,%holdonplnt(0:403polyv31(k23kl3030:40)3,:k,)plnt(v;v;v,d5,ok,MarkerSize2)

16、,hddofftitkf比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则)1呼Iidf两秒准则；,刹车距离理论值；，刹车距离的最小值、平均值和最大值;2)蛊1且bel(车速(m/s),桃訪班距离m)比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则1S0|1111111TOC o 1-5 h z两秒准厕I160-刹车距离理论值/。刹车距离的最小值、平均值和最大值/-rt(E)您的答案：题目分数：此题得分：11第7题请编写绘制以下图形的MATLAB命令，并展示绘得的图形匕+八1、/+才=4分别是椭圆扌十才=1的内切圆和外切圆.标准答案：x3+/=l的参数方程为x=cos,y=sinJ(02t)并利用伸缩变换匕护+尸=

17、4的横、纵坐标都是宀八1的两倍，手十八1的横、纵坐标分别是J+b=1的两倍和一倍.编写程序时运用好皿皿的函数plot的语法格式2中横坐标数组k是向量，而纵坐标数组y是矩阵的语法规定，以及格式d使程序简洁.使用命令axisequab才能绘得真正的圆.MATLAB程序：t=linspae(O2*pi381);x=cos(t);尸sin(t);plot(x,y出2.%y;2.*y伙)axisequal绘得的图形：斤袪二f参麺方檯2.5-2-1.51-0.500.511.522.5您的答案：题目分数：此题得分：12第8题对于二性常系数齐次差分方程（尋0,+4*0）+fet3*=0丄rZr-（1）请回答

18、以下问題；（D怎样求式的TKK?2）怎样求0咸满足给定初始值的特解？（3）如果甲X求（1佩附平衡点，并说明平衡点渐进稳定的充分命标准答案：解答（D式的粋SE方程是才衣=0,因为寸+4*芒帖所以特征方程有两个互异的特征根咎和孔（一对实根，或者一对共矩复根人又因为曲，所以人芒0且為工0于是（1朋的一般解池耳=Cyil+k=0,1,2,-其中岭和勺为任it实数.2）给定初始值和码以后，从代数方程组=）=巧+勺jq=陆召+角可以唯一的确定常数q和使数列*是（1佩在给定般值乓利巧之后的特解-（3）XM=XM=Xt=Xr则（1）工=皿+加,如果。十歼1则求得（1）式唯一的平衡点Ek既做1障的艇如%起可+e

19、所以当|人|1且肉|646jc+6j426x+10y543no画出可行域的图形，并计算出可行域的所有顶点的坐标二A(48)fB(2,5)?CX43)rIX9Q本题釆用图解法不容易画得准确的图形并取得正确的结果扶因为目标函数直线的斜率是P.62X与第三个不等式约束条件的边界直线6x+10j=54的斜率P.6很接近*必须用枚举法才能取得可靠的结果.两个决策变量的线性规划问题(允许决策变量取实数值)如果可行域非空，则可行域一定是凸多边形孑又如果最优解存在，则目标函数一定可以在可行域的某个顶点达到最优值.本題的可行域的四个顶点都是整点，所以使目标函数达到最小值的那个顶点自然会满足整数约束.通过枚举海即

20、逐个计算每个顶点处的目标函数值，得知在点G即当尸弓时，目标函数z=2.5x4-4j?达到最小值22.502疋适呼得最快的方向(24)502疋适呼得最快的方向(24)可行域畫践是过当C的目标函数直线2.6x+4y=22您的答案：题目分数：此题得分：14第2题对于离散动态过程的曄数列皈”有哪三种常用算法计算第it时段的増长率？标准答案：对于离散动态过程的艇数列區”有三种常用算法计算第I时段的増长擊irn公式珈耳:2）中点公式电二生后羞公式耳_也.您的答案：题目分数：此题得分：教师未批改15第5题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.标准答案：解答按照最小二

21、乘法，由样本数据口,町，一元线性回归模型y=A+Ax2的回归系数再的戍估计为A=7歸回归系数再的点估计为斑=y-b其中*（迟:円加珂迟A）/&=（刀二-无Xx-对A您的答案：题目分数：此题得分：教师未批改16第13题请概括数学软件MATLAB的特点。标准答案：MATLAB的特点MATLABMATLAB的特点（1）以矩阵计算为基础；（2）计算功能强，编程效率高；（3）方便的绘图功能；（4）集成环境，融计算、可视化和编程功能于一体；（5）众多工具箱，使用简便，易于扩充.您的答案：题目分数：此题得分：教师未批改17第17题请简述函数M文件的语法格式。标准答案：函数M文件总是以关键字functi。n开

22、始，先说明函数名、输入和输出，语法格式如下：functionoutput-name,=function-name(input-name,)输出变量名列表用一对方括号括住，变量名之间用逗号分隔。输入变量名列表用一对圆括号括住，变量名之间也用逗号分隔。接着函数说明的是语句体。您的答案：题目分数：此题得分：教师未批改18第18题MATLAB规定逗号有哪些用途标准答案：命令之后加一个逗号，MATLAB执行命令，并显示结果。创建数值数组时，同一行的元素用逗号或空格分隔。输入或输出变量名之间用逗号分隔。您的答案：题目分数：此题得分：教师未批改19第19题什么是强健性分析为什么要做强健性分析“强健的模型”有

23、什么含义标准答案：强健性就是模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响.从现实对象到数学模型，需要提出一些模型假设，假设相对于实际情况的精确程度，会影响数学模型能否取得符合或近似现实对象信息的解答.如果模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响不大，就称该数学模型是强健的（robust）；反之，如果数学模型的解答很依赖于某个假设相对于实际情况的精确程度，就称该数学模型是脆弱的（fragile）.由于在数学建模的过程中都要对实际情况作出一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是很有必要的.强健的模型就是说：虽然模型建立在较强的假设上，假设对实际情况做出了较多的简化，但是模型解答已

24、经符合或近似现实对象的信息，已经获得预期的建模效1第3题名词解释：测试分析标准答案：测试分析，就是当研究对象内部机理无法直接寻求的时候，可以测量系统的输入、输出数据，运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型.您的答案：题目分数：此题得分：2第9题名词解释：二阶差分方程标准答案：定5!羽洌鬣仗=o丄右巧的二阶差分为&叱=血申曲=工出2工申十叱（t=OXX）二阶謹分;5如A亏=t=OXX-的方程”其中丈是与疋瑟的二元函数（/）式即数列递推关系耳=卩（叫*耳入*=。丄乙其中二元函数尸（心力=2r-厂产（呵少（4）式也可以称为二阶差分方ig您的答案：题目分数：此

25、题得分：3第10题名词解释：机理分析标准答案：机理分析，就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，尤其是从变化率、守恒律等角度入手分析，找出反映内部机理的数量规律，从而建立数学模型.采用机理分析方法建立的数学模型常有明确的物理或现实意义.您的答案：题目分数：此题得分：4第11题名词解释：线性模型标准答案：如果待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。您的答案：题目分数：此题得分：5第5题司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系标准答案：您的答案：您的答案

26、：符号单位茗称说明Vm/s车速dm刹车距离从司机抉定剥车到车完全停住汽车行驶的距离m反应距离从司机决定刹车到踩下刹车踏板汽车行驶的距离m制动距离从司机踩下剥车踏板到车完全停住汽车行驶的距爵紅s反应时间以司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间am/s2减速度汽车制动过程的减速度Fn制动力汽车制动过程的制动力M汽车质量%s2/m叫=1/（加）模型假设：C1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载f没有故障；C2）假设汽车在平直道路上行驶驾驶员紧急刹车，一脚把另车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；C3）假设驾驶员的反应时间为常数汽车在反应时间做匀速线运动；4）假设汽车在制动过程做匀减速直线运动

27、减速度口是常数制动力所做的功等于汽车动能的损失；C5）假设刹车距离等于反应距离加制动距离.根据假设,立即得到d1=纽根据牛顿第二定律和假设（4）,有F=maFd2=mv2/2所以苴中k2=1/（2）最后，根据假设（5X有d=灯+0上式就是汽车剎车距离的数学模型.题目分数：此题得分：6第6题回答以下关于一性常系数次差分方程（阮o）岳L=（L+F+瓦=Q丄厶的问腿D册值记作和当=0时，写出（1减的解的通项公式2）砒值记作暂当心0时，写出（1咸的解的通项公式）当X0时求出（1律附平衡点.+）啊点渐进稳定的充分必要条件是什么？标准答案：舲（1）当尸0时，（1瓦的解即公差为办的需数列%二耳十46=无=0

28、丄算当呦环咸的解为比=（帀（1十讥2疋=0丄今）令珀1=%=工，则（1）式=当無x=b/r所以当0时的平衡点工二-b/r.4）弼点片是渐进稳定的当且仅当250.您的答案：题目分数：此题得分：7第17题阅读材料商品在市场上的上市量和偷格出现反复的振荡，是A费者的需求关系和生产者的供应关系决定的.一方面，这一时期的#収决于上市量，上市量越多价格越低：另一方面，下一时期的上市肯JK决于这ft期的价格.价格越低上市量越少.把时间离散成时段.TW段相当于周期，记商品在胃时段的上市量为愛价格为斤一方面，价格片取决于上市量叫，irydf反昨齢的需求关系，称为需求函数，其函数图俯条下隆曲线，称为需求曲线另一方

29、面下一时段的上市量耳冲上时段的价格力决宦，记作耳弋（也），g反映生产者的供应关系，幫供应函数.其函数图像是Y上升曲线，称为供应曲线.在直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两条曲线相交于平鑽垢（）-由于种种干扰使得上市量和价格不可能保持在平衡点出不妨设偏离帝利用需求曲线和供应曲线分析和片的变化趋势.们形象的将此逊称为蛛网迦.平衡点巴有稳定或不稳定两种伽问题为什么说磊是平衡点？问题2详细说明蛛网趣的点列耳否迟,是怎样畴送代的卩摄不稳定平衡点,仗汕yk）远离】L岭是稳定衡点（%,九）趋向标准答案：解答设第it时段的上市量xt=-则由需求曲线决定第d段的价格片=/（耳）=/XKq）=沧然后，由供应曲銭决

30、定第田时乌上市量轧1=或y*）=成yj=xor,即上市量和价格永远保持在点所以点7J是平衡点-不妨设斗1&离和蛛网模型的点列耳心环是按一下算弟步迭代产生的=由需求曲线决定第1时段的价格片=/（）-鶴到点马;由供应曲线决定第2时段的上市量弓=玖片），得到点占（心耳釘由需求曲线决宦第2时段的价格=/（xj得到点耳任J由供应曲线决定第3时段的上市量号=詢得到点耳（心怡；您的答案题目分数此题得分8第18题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）.请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1弹簧伸长和质量的测量数据质量50100150200250300

31、伸长质量350400450500550伸长标准答案：解答记弹簧末端悬挂的质量为自变量X,弹簧的伸q因变量於由表1的样本数据厲xXAhZriD，绘制散虑可以直观的看出卩与龙畑呈线性关系，所以采用一元錮归模型y=0Q归模型y=0Q+/1+e以下是回归分析的MATLAB脚本二59854,76173,pM.4365xio-14,52=0.010528绘得的图形=您的答案：题目分数：此题得分：9第7题请编写绘制以下图形的MATLAB命令，并展示绘得的图形匕工+#=1、/+才=4分别是椭圆召十才“的内切圆和外切圆.标准答案：?+/=1的参数方程为x=cos,y=sinJ(02jt)并利用伸缩变换丈护+尸=

32、4的横、纵坐标都是，+八1的两倍，手十八1的横、纵坐标分别是川+才=1的两倍和一倍.编写程序时运用好MATLAB函数plot的语法格式2中横坐标数组k是向量，而纵坐标数组y是矩阵的语法规定，以及格式d使程序筒洁.使用命令axisequah才能绘得真正的圆-MATLAB程序：t=linspace(O2*pi381);x=cos(t);尸血(t);plot(xy3k2.4x,y;2.*y陽axisequal绘得的图形：斤袪二(隐散方桟2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5您的答案：题目分数：此题得分：10第13题离散形式的阻滞增长模型是一阶非线性差分方程，请回答以下问题：（1）写出

33、其表达式；（2）以研究种群数量演变为背景，说明其模型假设；（3）以研究种群数量演变为背景，解释模型的参数的数学意义和实际意义；（4）求出平衡点；（5）说明平衡点渐进稳定的条件.标准答案：解答离散阻耐畏模型就是一阶非线性羞分方程和丄L氏=o丄乙2）当研究种群数量演变的时候.记耳为种群在第无时段的数i由于有限的蚩源环境对种群数量增长的阻滞作用”假设用前盖公式十的増长率随着种群数量的増加而线性谨减，即这卜-由迦假设即得离散阻猶长模型.3）下面解稱离散阻流增长模型的参数F和”的意丈分别记工y是同一时段的种群数量用用前差公式计算的增长率，则在直角坐简面内，直线方程尸咱-屮0的纵截距为”横截距为疋参数F称

34、为固有増长率既然F是直线方程尸吃-刃血的豹距，所以F在理论上是当种群数量日时的増长華实际上，是当？数量工很小时的增长率.参数N称为誉最大容量.EE然N是直线方程尸吃-工口0的距所BIN在理论上是当増长率尸o时的种群数量实际上n蘇的资源和环境所能容納的种群的最大数量.+）在离散齟滞増长趣中，令xM=xt=x-得珅-功町=6得XH）或它们是042佩的两个平衡点.平衡点渐进稳定当且仅当平衡点E渐进鶴且殆（Kr2.11第14题骰子呈正方体，有6面，点数分别是1、2、3、4、5、6，如果骰子是质地均匀的，那么掷骰子掷出每一个点数的机会都是1/6.设计算法，编写MATLAB程序，模拟掷质地均匀的骰子这种随

35、机行为.标准答案：算法：设x是1）区间均匀分布随机数，定义0X1/6表示掷出1点，1/6x1/3表示掷出2点5/6i1表示掷出6点输入掷骰子的总次数11输出掷出每一个点数的频率p（有六个分量）第1步初始化计数器k1有六个分量）；第2步对i=lZ，m循环进行第丸4步；第3步x=rand；第4步如果Ocxcl/Gk（l）iD5aMi/6Ki/3,k（2）Jra1；如果k(加1：第卩步计算频率p=k./nMATLAB程序：n=10000;k=zeras(l);fori=l:nx=rand;ifxl/6k(l)=k(l)+l;elseifx2/6k(2)=k(2)+l;elseifx3/6k=k(3)

36、+l;elseifx4/6k(4)=k(4)+l;elseifxv工疋怡二工加-（1）式有唯一解当且仅幺茸系数矩阵行列式不等于0.式的系数矩阵行列式为子伦F3=13=1J只要工，不全相等，可解得沁点）的唯一驻点厲苴中：工汐工X-工兀工IX_=1=12=12=1J%_7T243=13=12=1,当且仅当如=%=%所以，n2=12=12=14_2=1V山一；21A17nV(2)迈X-工兀2=1V=1J然后，因为函数叽阳的黑塞矩阵（Hessian）为2=1J2=1J2=1V；2=1所以只要暫不全相等，H都是正定的.所以（环曲）是函数叽內的唯一的极小值点，即$（环优）在（咼，件）二（乞,丸）时达到最小

37、值综上所述，根据已知数据（工J（UL,2,用只要兀不全相等那么按照最小二乘准则，要拟合的一次函数y=fix+的待定参数13第19题硬币有正反两面，抛质地均匀的硬币，正面和反面朝上的机会都是二分之一，请设计算法，编写MATLAB程序，模拟抛质地均匀的硬币这种随机行为标准答案：算法：设罠是1）区间均匀分布随机数，定义X上表示正面朝上，x0.5,k力1；否则k不变；第勺步计算频率p=k./nMATLAE程序：11=100000；k=0；fori=l:nx=rand;ifx=0.5k=k+l;endendp=k./n14第1题请分别说明两个数组之间以及数组与数之间的数组运算的规则。标准答案：数组运算可

38、以在规模相同的两个数组之间进行，相同位置的元素之间做运算，得到的结果也是数组，而且结果的规模与参与运算的数组相同.数组运算也可以在数值数组和数值之间进行，比如数组A和数k之间，这时系统会在数组A的每个元素和数k之间做运算，结果是规模和数组A相同的数组.15第2题如柯求得二分方程TOC o 1-5 h z岳z二风殆t=O3lX(4)的平衡点？标准答案：对于期勘榨=fc=0X2,(4)令珀2元H=#d(Q(6M的解“就是(4佩的平衡点16第4题对于离散动态过程的晦数列皈,有哪三种常用算法计算第ii段的增长率？标准答案：对于离散动态过程的艇数列區”有三种常用算法计算第I亦的增长擊雌公式%叱:%2）中

39、点公式也也:后差公式耳_I.17第8题MATLAB系统有哪几个主要部分标准答案：MATLAB系统包括五个主要部分:（1）桌面工具和开发环境，这里集成了处理MATLAB函数和文件的工具和功能，多数都有图形用户界面，包括：MATLAB桌面、命令窗口i、编辑器及内置的调试器、帮助文件浏览器、工作空间、命令历史、当前目录、文件和路径搜索、开始等.（2）MATLAB数学函数库，这里有数量巨大的计算算法，包括基本数学函数（例如求和、三角、复数计算）、矩阵函数（例如逆矩阵、特征值）、特殊数学函数（例如Bessel函数、快速Fourier变换）等.（3）MATLAB语言，这是高级的矩阵/数组语言，有控制流语句

40、、函数、数据结构、输入/输出、面向对象编程等功能.（4）图形，MATLAB具有把矩阵和向量显示成图形、以及注释和打印图形的丰富功能，包括：用于2维和三维数据可视化、图像处理、动画和演示的高级函数、用于个性化图形外观以及建立完善的图形用户界面的低级函数.（5）MATLAB外部界面和应用编程接口.18第12题写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.标准答案:解答按照最小二乘法，由释本数据妙,回归模型y胡+庆x+#的回归系数A的点估计为回归系数舛的点估计为斑y-bx其中*（迟二斗沪无此坊）/$=（為（斗-巧%=（刀二也一工X必-刃）19第15题什么是函数M文件

41、函数M文件的变量有什么特点标准答案：接受输入变量，执行一系列MATLAB语句，然后产生输出的程序文件叫做函数M文件。函数M文件中的变量一般是局部变量，除非用关键字global把变量说明为全局变量。第1题名词解释：机理分析标准答案：机理分析，就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，尤其是从变化率、守恒律等角度入手分析，找出反映内部机理的数量规律，从而建立数学模型.采用机理分析方法建立的数学模型常有明确的物理或现实意义.2第2题名词解释：二阶差分方程定5!羽洌鬣仗=0丄右巧的二阶差分为&叱=血申曲=工出2工申十叱（t=OXX）二阶謹分;5如A亏=t=OXX-的方程”其中丈是与疋瑟的二元函数（

42、/）式即数列递推关系耳=卩（叫*耳入*=。丄乙其中二元函数尸（心力=2r-厂产（呵少（4）式也可以称为二阶差分方ig3第17题名词解释：最小二乘法标准答案：由函数模型和已知数据，按照使误差平方和达到最小值的目标进行数据拟合。4第18题名词解释：非线性模型标准答案：如果待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。5第4题回答以下关于一Efra性常系數次羞分方程（阮o）岳L=（L+F+瓦=Q丄厶的问腿D册值记作和当=0时，写出（1减的解的通项公式2）砒值记作暂当心0时，写出（1咸的解的通项公式）当X0时求出（1律附平衡点.+）啊点渐进稳定的充分必要条件是什么？标准答案：舲（1

43、）当尸0时，（1瓦的解即公差为办的需数列%二耳十46=无=0丄算当呦环咸的解为比=（帀（1十讥2疋=0丄今）令珀1=%=工，则（1）式=当f#0,無x=b/r所以当0时的平衡点工二-b/r.4）弼点片是渐进稳定的当且仅当250.6第9题阅读材料商品在市场上的上市量和价格出现反复的振荡，是H费者的需求关系和生产者的供应关系决定的.一方面，这一时期的#取决于上市量，上市量越多价格越低；另一方面，下一时期的上市首取决于这一W期的价格，价格越低上市量越少.把时间离散成时段，一个时段相当于f生产周期，记商品在1时段的上市量为耳，价格为洽一方面，价格片取决于上市量耳，首%=00，/反映消费者的需求关系，称

44、为需求函数，其函数图俯条下降曲线，称为需求曲线,另一方面”下一时段的上市量也由上时段的价格片决定，记作片=g(和J,g反映生产者的供应关系，帝供应函数，其函数图像是Y上升曲线，称为供应曲线.在直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两条曲线相交于平酸璟心肋.由于种种干扰，使得上市量和价格不可能保持在平衡点不妨设耳偏离耳，利用需求曲线和供应曲线分析和的变化趋势,们形象的将此趣称为蛛网鯉.平衡点&有稳定或不稳定两种匍见图l平衡点吗是否稳定由需求曲线广和供应曲线g在垢附近的形旳宦.设仇和分别为曲线尹和在耳的切线斜率的绝对值，则当即时此稳定当妙A1时氏不稳定.如果生产经营者的管理水平较高，在决定上市量和2时

45、，不仅林价格治，而且考虑前-段的价格治则对经济稳定会更r利.问题4简单地假设由与片的平均值决定，建立差分方g型，推导平衡点片稳定的条件，说明为什么对经挤稳定更有利.P。是稳定平衡点7P。是不稳定平衡点,(Xk，yj趋向Po(xqyk)远离图1蛛网标准答案:解答设X屮由y田与开的平均值决定，则建立差分方程组邂其中Q0,0Xk消去”，与耳，得2（珀工-心）4叩（耳H-%）+叩（-%）=无汕厶引入变量替换在=耳%了殳=0丄乙，得2zm+aflx+aftz=O,t=O,l,X-其特征方程为切+01+即=0,特征根为皤-a土JwYS-%2=-在原方程殂中”令*=否=鼻，y=yi=yr可求得平衡点启轄（W

46、如栗妙空则特征根；是一对共轨复数，根据韦达定理和特ffl程.有翻=即/2,所以氐|=阴石=倆巨，于是当研2时刊坊稳芯当妙刊时平衡点毘椅定.与之前的稳定条件邮口相比.数的范围放大了，对经屣定更有利.7第11题怎么根据鱼的长度估计重量可以假设鱼的重量W与长度L有如下关系：W=aL3+bo利用表1的数据验证这个模型.W22222323232424242424L14141414W24252526262727282828L1713W28292930353640414144LW45464747484953566278L1718181820解答令自变量为龙因变量为叭由表1数据扌出(和聊J00)，用一元线性回

47、归模型Wazb以下是回归分析的MATLAB脚本二W十;L=“；L.A3;X=oDes(size()XI；b9binlrinttat|=ress(5X)ilaibdT%abdCWtifleCW=aLA3+b9H2)jwplot(i4inQ3Fne(W计算结果整理成表Z由结果得知：F统计量比较大远小于0.05,说明回归模型是显著的决定系数较接近b明回归模塑的拟合精确程度较高孑误差的分布没有明显趋扌只有少数(10个)数据的课差均值置信区间不含零点.以一些分析都验证了模型JF=+ft的合理性和有效性口但是*回归系数方的置信区间包含零点，而且零点接i间中点，说明模型W=a+b的截距项对因变量的影响不显可

48、以去掉，改用正比例函数模型W=a7回归计拿0=0.0082841.表2计算第果回归系数回归系数估计值回归系数置信区*bd=05716-2.1366,3.8509ao=0.m(B640.0070912,0.00893谚=0.00803五4f?+0-砧71五=0.74392,严284.69,-9233x10,52=36.998绘得的图形Wrf_3+b80i111nesidualCaseOnterPlot1(I203D4450HI70W9(I1(MICaseNwidnr一nMslnesidualCaseOnterPlot1(I203D4450HI70W9(I1(MICaseNwidnr一nMsl8第

49、16题考虑弹簧-质量系统，收集弹簧伸长的长度与弹簧末端悬挂的质量的实验数据，记录在表1（单位省略）.请计算出伸长与质量的函数关系的经验公式.表1弹簧伸长和质量的测量数据标准答案：解答记弹簧末端悬挂的质量为自变量X,弹簧的伸q因变量於由表1的样本数据厲xXAhZriD，绘制散虑可以直观的看出卩与龙畑呈线性关系，所以采用一元錮归模型y=0Q归模型y=0Q+/1+e以下是回归分析的MATLAB脚本二59854,76173,pM.4365xio-14,52=0.010528绘得的图形=9第7题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周围介质温度之差成正比.写

50、出牛顿冷却定律的微分方程模型及满足初始条件的特解.标准答案:解答记物体在时刻的湼度为它周围介质的温度为厶理保持不签则根据牛顿冷却定律建立微分方程模型詈=*_/)其中比例系数网满足瞬条件确X%的特解为以)二/十(耳-)10第8题阅读材料合金强度与合金中的碳含量有密切关系，表1是收集到的一批数据.表1碳含量(%)与合金强度(kg/mm2)的数据碳含量强度设自变量x为碳含量，因变量y为合金强度，用以下MATLAB脚本做一元线性回归分析的计算：JLjjjjjjjjjjj，X=ones(size(x),x;b,bint,r,rint,stat=regress(y,X)命令窗口显示的计算结果：b=bint=rint=stat=问题请将计算结果整理成表格，并进行分析标准答