2021-2022学年吉林省长春市长春外国语学校高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年吉林省长春市长春外国语学校高一下学期期末数学试题一、单选题1若复数满足，则下列说法正确的是（）A的虚部为B的共轭复数为C对应的点在第二象限DC【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得，对于A，复数的虚部为，故A不正确；对于B，复数的共轭复数为，故B 不正确；对于C，复数对应的点为，所以复数对应的点在第二象限，故C正确；对于D，故D不正确.故选：C.2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为ABCDA【详解】设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，圆柱的侧面展开图是一个正

2、方形，2r=h，即r=圆柱的侧面积为2rh=42r2，圆柱的两个底面积为2r2，圆柱的表面积为2r2+2rh=2r2+42r2，所以这个圆柱的侧面积与表面积之比为故选A3在中，角的对边分别为，则的形状是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形D【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.【详解】由及正弦定理，得,在中，所以,所以，即，于是有，因为所以所以,即，所以的形状是等腰三角形.故选：D.4某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日27日（共10天）他们在线学习人数

3、及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.根据组合图判断，下列结论正确的是（）A这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增加B前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差C这10天学生在线学习人数在逐日增加D前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差C【分析】对于A，2324的增长比例在下降，故A错误；对于B，由条形图可得前5天学习人数的方差小，故B错误；对于C，可得学习人数在逐日增加，故C正确；对于D，前5天在线学习人数增长比例的极差小于后5天在线学习人数增长比例的极差，故D错误.【详解】对于A，由折线图很明显，2324的增长比例在下降，故A

4、错误；对于B，由条形图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；对于C，由条形图，可得学习人数在逐日增加，故C正确；对于D，前5天增长比例的极差大约为，后5天增长比例的极差大约为，所以前5天在线学习人数增长比例的极差小于后5天在线学习人数增长比例的极差，故D错误.故选：C.本题主要考查条形图和折线图，考查方差和极差的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5设，则（）ABCDA【分析】由题设，根据辅助角公式与二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性求解即可；【详解】由题设，根据二倍角公式，得，又，因为，所以，故故选：A6已知向量，则“”是“与夹角为锐角

5、”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案.【详解】由题设： 当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立.当与的夹角为锐角时，解得.故必要性成立.故选：B.7从到的个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为（）ABCDC【分析】利用列举法求出试验的基本事件总数，再求出两个数的和是质数的事件所含基本事件数即可计算作答.【详解】从到的个整数中随机取两个不同的数的不同结果有： ，共21个，其中这两个数的和是质数的事件有：，共8个，所以这两个数的和是质数的概率为

6、.故选：C8紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A100BC300D400B根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题二、多选题9一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”

7、互斥的事件有 （）A取出的支笔中，至少支一等品B取出的支笔中，至多支二等品C取出的支笔中，既有一等品也有二等品D取出的支笔中，没有二等品ABD【分析】根据互斥事件的定义逐项检验即可求解【详解】对于A，事件“取出的支笔中，至少支一等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故A正确；对于B，事件“取出的支笔中，至多支二等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确；对于C，事件“取出的支笔中，既有一等品也有二等品”包括支一等品和支二等品，支一等品和支二等品

8、两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确；对于D，事件“取出的支笔中，没有二等品”指支一等品，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确；故选：ABD.10从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A个球都是红球的概率为B个球中恰有个红球的概率为C至少有个红球的概率为D个球不都是红球的概率为ABC【分析】根据独立事件的概率公式分析求解【详解】记事件为从甲袋中摸出一个红球，事件为从乙袋中摸出一个红球，则，且事件相互独立，对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确，对于B

9、，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确，对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确，对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误，故选：ABC11下列说法中错误的有（）A两个非零向量，若，则与共线且反向B已知不能作为平面内所有向量的一个基底C已知向量，向量在向量上的投影向量是D若非零向量，满足，则与的夹角是CD【分析】由计算判断A；由共线向量的坐标表示判断B；求出向量在向量上的投影向量判断C；求出向量与的夹角判断D作答.【详解】对于A，由两边平方得：，而是非零向量，则与共线且反向，A正确；对于B，且有，则，不能作为平面内所有向量的一个基底，B正确；对于C，向量，向量在向量上的投影向量是，C错误；

10、对于D，是非零向量，作，因，则是正三角形，如图，取线段中点，则，有，即与的夹角是，D错误.故选：CD12如图，在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A平面截长方体所得截面为等腰梯形B平面平面C直线与所成角的为D平面ABC【分析】利用空间中的直线与平面的位置关系的判定定理，以及异面直线所成角的概念与计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，连接，因为分别是的中点，可得，且，又因为，所以，且，所以过平面截长方体所得截面为等腰梯形，所以A正确；对于B中，在长方体中，平面，且平面，所以平面平面，所以B正确；对于C中，取的中点，连接，可得，所以为直线与所成的角，因为，可得，即为等边三

11、角形，所以，所以C正确；对于D中，若平面，又由平面，则平面平面，而平面平面，矛盾，所以D错误.故选：ABC.三、填空题132022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图则估计样本数据的分位数_ 222.5【分析】由频率直方图的频率和为1列方程求参数a，应用百分数的求法求85%分位数即可

12、；【详解】由题意，40(0.00050.00222a0.0060.0065)1，解得a0.004由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40(0.00050.0020.0040.0060.0065)0.76观看时长在240分钟以下占比为0.76400.0040.92所以85%分位数位于200,240)内， 85%分位数为故222.514若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四边形的面积为_【分析】根据给定的直观图，作出原四边形，再求其面积作答.【详解】在直观图中，四边形为直角梯形，而，则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，如图：所以四边形的面积为.故15如

13、图，为测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则，间的距离为_【分析】在中，利用正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解间的距离为.【详解】因为，所以为等边三角形，所以，又因为中，所以，由正弦定理得，可得，因为中，,所以，所以，即间的距离为.故答案为.16九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为_【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为

14、.四、解答题17电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离，为了解，两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取，两个型号的电动摩托车各台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：电动摩托车编号型续航里程（km）型续航里程（km）已知，两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等；(1)求的值；(2)小李需要购买一款电动摩托车，从中位数和方差相结合的角度，帮小李选择一款电动摩托车，并说明理由.(1)(2)见解析【分析】（1）利用平均数相等列方程可求出的值；（2）分别计算两种型号电动摩托车续航里程的中位数的方差，再作选择【详解】(1)因为，

15、两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等，所以，解得(2)型号被测试电动摩托车续航里程大小到大排列为120，122，124，124，125，型号被测试电动摩托车续航里程大小到大排列为118，120，123，127，127，所以型号被测试电动摩托车续航里程的中位数为124 km，型号被测试电动摩托车续航里程的中位数为123km，型号的中位数大于型号的中位数，型号被测试电动摩托车续航里程的平均数为,则型号被测试电动摩托车续航里程的方差为，型号被测试电动摩托车续航里程的方差为，所以型号的方差大于型号的方差，所以型号被测试电动摩托车续航里程数不稳定，波动比较大，而型号的中位数大于型号的中位数，所以

16、应小李选择型号电动摩托车18已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若当时，关于的不等式_，求实数的取值范围请选择和中的一个条件，补全问题（2），并求解其中，有解；恒成立(1)，；(2)选；选【分析】（1）先将函数整理，得到，利用正弦函数单调性，即可求出其单调递减区间；（2）若选，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.【详解】(1)因为 又函数的单调减区间为，所以，解得，所以函数的单调增区间为，；(2)若选择由题意可知，不等式有解，即；因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以；

17、若选择由题意可知，不等式恒成立，即因为，所以故当，即时，取得最小值，且最小值为所以19某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表组号分组频数频率1500.052a0.353300b42000.2051000.10合计10001(1)求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂）；(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及平均数；(3)现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中任意抽取人进行调研红楼梦的阅读情况，求抽取的人中至少有一人是第组的概率（请列举出样本空间作答）(1)，频率

18、分布直方图见解析；(2)众数，平均数；(3).【分析】（1）根据频率分布表，利用频率求出频数a，计算频率得b，再作出频率分布直方图作答.（2）利用频率分布直方图估计众数和平均数的方法求解作答.（3）利用列举法结合古典概率公式计算作答.【详解】(1)由频率分布表知，解得，频率分布直方图如图：(2)由频率分布直方图知，数据落在区间内的频率最大，则估计该组数据的众数为7.5，该组数据的平均数为.(3)第4，5组共300人，用分层抽样的方法从中抽取人，则第4组有人，这4人记为a，b，c，d，第5组有2人，这两人记为E，F，从这人中任意抽取人的样本空间为：，共15个样本点，抽取的人中至少有一人是第组的事

19、件M含有的样本点为：，共9个，所以抽取的2人中至少有一人是第5组的概率为.20已知在四棱锥中，平面，为的中点(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值(1)见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，则由三角形的中位线定理可得，再结合已知条件可得四边形为平行四边形，从而得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）取的中点，的中点，连接，可得，则结合已知可得平面，从而可得为二面角的平面角，然后在中求解即可【详解】(1)证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，(2)解：取的中点，的中点，连接，则，因为，所以，因为为的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在