《高等数学习题集》(经管类专业适用第2版)第6章习题解答

1、第6章概率统计练习61.观察一次打靶试验中击中的环数，若击中 1环记为1,并设A=奇数环 ,B=小于 9 环，求，A+B , AB , A+B.【解】=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A+B = 0,1,2,345,6,7,8,9,AB=1,3,5,7, A +B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,102 .一位工人生产3件零件，设A = 第i个零件是不合格品(i 1,2,3 ).请用诸A表示 如下事件：(1)全是合格品；(2)全是不合格品；(3)恰好有一个零件是不合格品；(4)至少有一个零件是不合格品.【解】(1) A1A2A3； (2) AAA； (3) aA2A3 AA

2、2A3 A1A2A3； (4) A a A3.练习. 一个小停车场有20个停车位，现在有 6辆车需停在该停车场，有多少种不同的停放方法？【解】P2o 20 19 18 17 16 15= 27907200(种).学校举办一场十佳歌手赛，现从班上报名的15个同学中选取2个参加，共有多少种选法？【解】C15 154 105(种)2 13. 10个螺丝钉中有3个是坏的，从中随机抽取 4个，求:(1)恰好有两个是坏的概率；(2) 4个全是好的概率.mA【解】设A = 恰好有两个是坏螺丝钉, B = 4个全是好螺丝钉,(1)因 n C；0 210, mA C32C2 63,所以 P(A)-4mB 1(2

3、)又 mB C735,故 P(B) n 6练习1.,现从这两批种子中随机地各取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种子都发芽；(2)至少有一粒种子发芽.【解】设A = 甲的种子发芽, B=乙的种子发芽,由于两粒种子是独立地发芽，所 以 P(AB) P(A)P(B) 0.8=0.56;(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB).2.在200名学生中选修统计学的有137名，选修经济学的有 50名，选修计算机的有124名.还知道，同时选修统计学与经济学的有33名，同时选修经济学与计算机的有29名92名，三门课都选修的有18名.试求200名学生中在这,B = 选修经济学, C = 选修计算机,

4、则P(C) P(AB) P(BC) P(AC)124 _ J32992 18200200200200200同，同时选修统计学与计算机的有 三门课中至少选修一门的概率.【解】设A = 选修统计学P(ABC)= 7( = 0.875)8D = 至少选修一门=A+B+C所以 P(D) P(A) P(B)_ 137 502002003.,他独自重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的I率.【解】恰好命中4次的概率P5(4) 054(0.95)4(0.05)1 0.2036；至少命中3次的I率P5(3) P5(4) P5(5)=C；(0.95)3(0.05)2 C；(0.95)4(0

5、.05)1 C5(0.95)5 (0.05)0习题6.1.在100件产品中，有2件次品，从中任取 5件，问：(1)恰有1件次品的抽法有多少种？(2)没有次品的抽法有多少种？(3)至少有1件次品的抽法有多少种？【解】(1) C2C98 2 3612280 7224560； (2) C98 67910864；(3) C2C98 C；C；8 7224560 152096 7376656.(本题的结果也可借助软件 Excel来求得). 10个球中有3个红球7个绿球，随机抽取 3个球分给3个小朋友，每人一球，求三 个小朋友中恰有一个得到红球的概率.【解】用古典概型求解，设 A = 三个小朋友恰有一个得到

6、红球 ,因 n 吊，m C3C72P；,P(A) m n2140.在编号为1,2,，100的奖券中，规定偶数号或三的倍数号中奖，现从中随机抽取一张，求中奖的概率【解】设A = 偶数号奖券,B= 三的倍数号奖券,50P(A)而P33100P(AB)16100则C = 中奖奖券=A + B,故 P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB)50331667 =0.67 .100 100 100 100.有10道判别对错的测验题，一人随意猜答，他答对 7道题的概率是多少？ 【解】由题意知，猜答10道测验题可看成10重伯努利试验，且 p 0.5.所以答对7道题的概率是 P0(7)C1o(0.5

7、)7(0.5)30.1172. 1.长期统计资料表明，某地区在 4月份下雨(设为事件 A)的概率为一，刮风(设为4求 P(A B), P(B A), P(A 1一_ , 事件B)的概率为-，既刮风又下雨的概率为311【解】因 P(A) -, P(B) -, P(AB)43所以P(AB)P(AB)P(B)3, P(BA) 8P(AB)P(A)11P(A B) P(A) P(B) P(AB)五练习6.2.11.已知随机变量X只能取一1 , 0, 1, 2这四个值，其相应的概率依次为 _2_2，,2c 4c 4c 8c求常数c的值.【解】 因pk 1 ,所以工二_ 3 Z 1 c 2.k i2c 4

8、c 4c 8c2.某银行举行有奖储蓄活动，现发行有奖储蓄券10万张，其中一等奖100张，二等奖500张，三等奖2000张，现任抽一张储蓄券，试求中奖等级X的分布律.【解】若不中用 X =0表示，其概率表示为 p0 P X 0 ,根据题意X为随机变量，其可干P1P2P3P0 P X 03则 Pk 0(k 0,1,2,3),且Pk 1k 00, 1, 2, 3.100 ,0.001 , 10500范 0.005,2000八小0.02 , 1051 (0.0010.005 0.02)0.974 .X0123Pk0.9740.0010.0052.故随机变量X的分布律为3.某观众拨打电视台热线电话参与活

9、动，已知拨通电话的概率为0.4%,求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率.【解】至少拨通1次电话的对立事件是拨通0次电话所求概率为 1 C300 (0.004)0 (0.996)300 1 .(本题的结果可借助软件Excel来求得)练习6.2.21.求01分布的分布函数.【解】由于01分布的分布律为：PX kpk(1 p)1 k , k 0,1 .当 x 0 时，F(x) PX w x P( ) 0;当 0Wx 1 时，F(x) PX 1 时，F(x) PXW；x PX 0 PX 1 1 p p 1 .综合以上结果，则有F(x)0,x 0,1 p, 0 w x 1,1,x 1.2.已知连续型

10、随机变量X的概率密度为f(x)kx, 0 x3,0,其它.求（1）系数k ;(2) P1 X2.【解】（1）由概率密度的性质，得f (x)dx3 kxdx02 x k 29k2所以解得P1f(x)2 x,90,3,其它.c、 2 2,12 xdx 一1 933 设 X N(0,1),查表求(1) P；(3)P X【解】（1） PX2(2) 0.9772 ;(2) PX1 1( 1)0.8413 ；0.5(0.5)(0.5) 2 (0.5) 10.6915 1 0.383.24.设 X N(1,2 ),查表求(1)1 ； (2)【解】（1） P X(0)练习6.2.3P 3 X.现有二种方案:(

11、1)31)(2) = 0.8413 1+ 0.9772 .扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利700万元，滞销则亏损300万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可可盈利 400万元，滞销则亏损100万元.试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案.【解】（1）用决策矩阵表的方法根据题意，建立如下损益矩阵表（单位：万元）然状态畅销滞销期望值砺P10.7p2 0.3E（A）收益值A （扩大）A （不变）700 300400- 100400250决策收益最大 maxAE(A) =400A从表可见，根据期望收益值最大的决策准则，选用扩大工厂规模的方案.（2）用决策树的方法由题意，画出对应的决策树如图

12、所示400250堡”一 700M0.7-300知IM0.3 A A-100比较状态点B, C,显然扩大工厂规模的数学期望值大，即 400250,点B和决策点R之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案,点B的期望值即为决策的效益期望值.最后将状态点C剪掉，采用扩大工厂规模的方案.习题6. 21.现有产品10件，其中有3件次品，任意从中取出 2件，求取出次品数 X的分布律.【解】根据题意X为随机变量,其可能取值为0, 1, 2.PlC2C0P2c7c3C20715，P3C32C1201153则 Pk 0(k 1,2,3),且k 1Pk7_157_151151 .故随机变量X的分布律为X012Pk

13、7711515152.,现在连续射击30次，求击中目标次数 X的分布律.【解】由题意知X -B(30,0.8),所以X的分布律为PX k Ck0(0.8)k(0.2)30 k,k 0,1,2，,30.3.包裹的特快专递(EMS)规定:每包不得超过1公斤.令X为任选一个包裹的重量，其 密度函数为f(x)k(0.5x),0 x1, 其它.求(1)系数k ;(2)这类包裹的重量 X至少3/4公斤的概率是多少？(3)这类包裹的重量X最多1/2公斤的概率是多少？【解】(1)由概率密度的性质,，、，1，c、，c 2、f (x)dx0 k(0.5 x) dx k(0.5x 0.5x )10 k 1，所以PX

14、4PX21 3(0.5 412 (0.504.f(x)、，11 x) dx 323 x)dx8测量某目标距离的误差(单位:0.5 x, 0 x 1,0,其它.mm)XN(20,402),求一次测量误差的绝对值不超过30 mm的概率.【解】P X 30(30 20)40(七20)(0.25) 1(1.25) 0.5987 1 0.8944 0.49315.某企业计划推出一款新型产品,企业的备选方案有三种：(1)建立新型的生产线，投入的成本最大，但产量最高；(2)改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少些；（3）是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少. .根据产量和

15、销量的不同，企业的盈利情况如下表：（单位：万元）试通过决策分析，确定生产线方案 .【解】由企业的盈利情况表，可以将不同方案的期望值计算出来 TOC o 1-5 h z E（A）500.5150.3100.227.5,E（A2）300.5200.300.221 ,EA）100.5100.300.28,比较期望值，选择期望收益值最大的方案作为最优方案，即确定建立新型生产线的方案. 练习6.3.11、求满足P U|0.05的U分布的临界值.【解】由 0.05得，（）1 005 0.975,查标准正态分布表得1.96.22、求满足P T 0.01, n 10的t分布的临界值.【解】根据0.01 , n

16、 1 9,查t分布临界值表得3.25 .3、求满足P 10.95, n 15的2分布的临界值1, 2【解】由已知n 1 14,得1 5.629；计算P0.05 .计算p 0.025,查2分布临界值表得2 26.119.2练习6.3.21 .乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的.每袋牛奶净含量 X服从正态分布N（ , 2）,今从一批装好的牛奶中随机地抽取 8袋，测其牛奶的净含量（单位： ml） 如下：11 - 0.975 ,查2分布临界值表2499.5, 500, 498.5, 501.5, 500.5, 500.5, 499.5, 500.5.试估计这批牛奶净含量的均值与方差2.49

17、9.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5解x 500.0625 ,nc为i1(xix)0.81696 ，1 82(xi 500.0625)2所以2? 500.0625, ?20.81696.(本题的结果可借助软件Excel来求得)2.已知某种电子元件的寿命服从正态分布N(,2),现随机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下:3100348025203700252032002800380030203260试估计这种电子元件寿命的均值与方差23100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260，

18、八解】x 3140 ,10一:(为 x) n 1 i 11 102 I_22 (xi 3140)2 198133.3333,9 i 1所以？ 3140, ?2 198133.333.(可利用软件 Excel帮助计算)练习6.3.321.设随机变量X服从正态分布，即 XN( ,2.8 ),已知一个容量为10的样本，其样本均值x 1500 ,求总体均值的置信区间(置信水平为0.95).【解】根据题意X N( ,2.82),总体方差2已知，求总体均值的置信区间,(1)因 10.95 ,则 0.05 ,查标准正态分布表得1.96 ;7 i 11498.2645(3)所以的置信水平为95%的置信区间为(

19、1498.2645, 1501.7355).2.某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额,随机地抽取25个投保人,得理赔均值为739.98元，标准差为 312.70元，已知理赔额 X N ( , 2),试求总体均值的置信水平(2)由已知，x 1500 , n 10,2.8,计算得1 下 1501.7355 , x 十n. n为0.95的置信区间.【解】根据题意知XN( , 2),总体方差2未知，求总体均值的置信区间,(1)因195% ,0.05 , n 25 ,查t分布临界值表得2.064 ;(2)由已知,739.98, s 312.70 ;计算区间端点值(3)所以869.06256, x610

20、.80744的置信水平为 95%的置信区间为(610.80744 , 869.06256 )3.某超市连续统计了十二个月的销售额(单位：万元)，得方差s2 0.305,如果销售额XN( , 2),试求方差 2的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意XN( , 2),总体均值 未知，求总体方差 2的置信区间,(1)因195%,0.05, n 1 11,查2分布临界值表得1 3.816 , 2 21.92；(2)由已知，s2 0.305 ,计算区间端点值(n 1)S = 0.87921(n 1)s =0.1531；2(3)所以2的置信水平为95%的置信区间为(，)*练习6.3.41.据统计资料

21、知，某地区家庭对食品月支出X元服从正态分布，即 X N( , 202),现随机抽取9个家庭，得知家庭对食品的平均月支出为780元.是否可以认为居民家庭对食品月支出均值为 800元？ (0.05)【解】由题意知,2 、一 2.X N( , 20 ),方差 已知，要检验总体均值(1)提出假设 H0 :800, H1 :800 ；(2)选取统计量 UN(0 , 1)；(3 )对检验水平0.05 ,查标准正态分布表得1.96 ,故拒绝域为(,1.96) U (1.96,)；(4)根据样本值计算出780,统计量的值为u780 80020 v93,落入拒绝域，所以拒绝接受Ho ,不认为居民家庭对食品月支出

22、均值为800元.2 一.已知某砖瓦厂生产机制砖的抗断强度Xkg/cm服从正态分布N(制砖中随机抽取 6块，经测量计算出X 31.6, s 0.867 .试在检验水平0.05下，检验这批机制砖的抗断强度均值是否为32.0kg /cm2.【解】由题意知，总体X N( , 2),其中2未知.要检验总体均值(1)提出假设 山：32.0, Hi：32.0;(2)选取统计量 T X /t(n 1)； S n(3)对显著性水平 0.05 , n 1 5,查t分布临界值表得2.571 ,因此，拒绝域为(，2.571)U (2.571,)；(4)由样本X 31.6, s = 0.867.得统计量的值为t I3。

23、6 32! 1.13,不落入拒绝域， 0.867、6因此接受H0.即认为这批机制科的抗断强度均值为32.0kg/cm2.已知某厂生产的饮料中钙含量服从正态分布N( , 22).现改进了加工工艺，随机抽取了 9瓶100ml加钙饮料，测得其钙含量(单位：mg)分别为： TOC o 1-5 h z 问新工艺下饮料钙含量的方差是否为4? (0.01)【解】由题意知X N( ,22),均值 未知，要检验总体方差2 .(1)提出假设 H0 : 2 22, H1 : 222 ；2(2)选取统计量2色芈- 2(n 1)；0(3)对显著性水平0.01, n 1 8,查2分布临界值表得1 1.344及2 21.9

24、55,因此拒绝域为(0, 1.344) U (21.955,);(4)由样本值计算出x 61.2, s2 3.3625 ,统计量的值为2 8 3.3625 6.725,4没有落入拒绝域，故接受 H0 ,认为新工艺下饮料钙含量的方差是4.习题6.3.某百货公司准备在某地设置分店，为了确定分店的规模和商品的种类，需要知道该地区住户人均年收入情况，为此，在该地区随机抽查了10户居民，得人均年收入(单位：元)如下1213, 1203, 1106, 1208, 1307, 1206, 1101, 1203, 1216, 1328.已知人均年收入服从 N( , 2),试估计该地区人均年收入的均值与方差2

25、.【解】 TOC o 1-5 h z _ 1213+1203+1106+1208+1307+1206+1101 + 1203+1216+1328x 1209.1 ,101n _ 21102s2 (x x)2(x1209.1)25131.66,n 1 i 19i 1故该地区人均年收入均值与方差2的估计值分别为：？ 1209.1, ?2 5131.66.(可利用软件 Excel帮助计算).测某型号螺丝钉的长度5次，数值(单位：mm)分别为假设测量的长度服从正态分布XN( ,0.52)，试求这批螺丝钉的长度均值的置信区间(0.05).【解】根据题意XN( ,0.52),总体方差2已知，求总体均值的置

26、信区间,(1)因 0.05 ,查标准正态分布表得1.96；(2)由样本算得,110, n 5 ,0.5 ,计算得x110.44 , x109.56(3)所以这批螺丝钉的长度均值的置信区间为(109.56, 110.44).环保局人员从河流中取出 15个水样，测定样本中的污染物的数量，计算得样本方差s2 36.29.已知河流中的污染物的数量服从正态分布.求置信水平为95%的总体方差的置信区间.【解】根据题意XN( , 2),总体均值 未知，求总体方差 2的置信区间,(1)因 195%,0.05 , n 1 14,查(2)由已知，s2 36.29,计算区间端点值2分布临界值表得1 5.629, 2

27、 26.119；22(n 1)s(n 1)s-=90.258, - = 10.452;12(3)所以置信水平为 95%的2的置信区间为(，)*4.某面粉厂用自动装袋机包装面粉，已知每袋面粉标准重量(单位：kg)XN(25, 0.12)，长期实践表明方差2比较稳定，从某日生产的袋装面粉中随机抽取10袋,测得重量(单位：kg)分别为试在检验水平0.05下，检验这批袋装面粉的重量均值是否合乎标准.【解】由题意知,2、 、.2X - N(25 , 0.1 ),方差 已知，要检验总体均值(1)提出假设H0:25, H1 :25 ；(2)选取统计量X 0N(0 ,1)； n(3 )对检验水平0.05 ,查

28、标准正态分布表得 1.96 ,故拒绝域为(,1.96) U (1.96,)；(4)根据样本值计算出x 25.03,统计量的值为|u25.03 250.1 V100.949 ,没有落入拒绝域，所以接受出 ,即认为这批袋装面粉的重量均值是合乎标准的.、选择题复习题1.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()个.A. 262 R4；B.24C. 26 10 ;D.P2； 104.2.设事件A与B相互独立,如果P(A)4尸 3, 则 P(A B) ( )7A.-121B.-2C.121D.-33.若 X - B(n,1)且 PX2PX3,则n为().A

29、. 2B. 4C.D. 84.掷一颗骰子,用随机变量表示出现的点数,则 P2X 4的值为().C.2D.325.设总体X N(,),为临界值.若2未知,x, s2分别为样本均值和样本方差，样本容量为n,则总体均值的置信区间为().A. (X ,xn【答案】12345ABDBDn)二、填空题3.设 X N(1,4),则 PX 1=4.t分布的临界值5.设X1, X2，Xn是取自正态总体N（ 1, 2）的一个样本，X为样本均值，则 J1服 . n从的分布为1. C3 2c2 = 2 ； 2. C：(0.2)(0.8)3 C550.4096； 3.(0) 0.5； 4.1.833 ; 5.标准正态分布.三、解答题1.在10件产品中有3件次品，现从中任取 2件产品，求下列事件的概率:（1）两件都是正品；（2）恰有一件正品；（3）至少有1件正品.【解】设人=两