2022年三垂线定理及其逆定理-教案

1、教案：三垂线定理及其逆定理（复习课）（教材：人教版全日制一般高级中学（必修）数学其次册（下 A）课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）教学目的：1、学问目标：进一步懂得、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2、才能目标：（1）懂得三垂线定理及其逆定理之间的关系,把握三垂线 定理及其逆定理应用的规律；（2）善于在复杂图形中分别出适用的直线用于解题；（3）进一步培养同学的识图才能、思维才能和解决问题的 才能3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想教学重点：进一步把握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学难点：对复杂图形如何分别出符合定理的条件用以解题以及解决问题的才能 的培养 授

2、课类型：复习课 教学模式：讲练结合 教学过程：环节 1：复习导入老师给出三垂线定理及其逆定理,然后提出问题： 三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？（引发同学对三垂线定理及其逆定理的关系的摸索,定理的内容）环节 2：三垂线定理及其逆定理的剖析分析三垂线定理及其逆1、熟识三垂线定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线的 射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直；问题：正定理争辩的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？设置目的：让同学通过分析得出三垂线定理是通过判定平面内的直线与斜线 在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系,即线射垂直 线

3、斜垂直（平面问题）（空间问题）从而让同学体会三垂线定理中包蕴的降维思想：把空间问题转化为平面问题；2、熟识三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直；问题：逆定理争辩的又是哪两条直线的垂直关系？它又是如何解决的？设置目的：让同学类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论：线斜垂直线射垂直（空间问题）（平面问题）老师再引导同学分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面 中,这在解题中是特殊重要的,把已知条件相对集中是解题的第一步；3、争辩正定理与逆定理的关系：正定理线射垂直逆定理线斜垂直（ 平面问题）（空间问题）从而得出两

4、个定理的关系：（老师板书）正定理：线射垂直 逆定理：线斜垂直线斜垂直（先平面后空间）线射垂直（先空间后平面）4、总结应用两个定懂得题的一般步骤 老师引导同学通过对定理内容的再熟识,提取应用两个定懂得题的一般步 骤；（出示幻灯片）正定理：在平面内的一条直线, 假如和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直；定基准平面定主线找垂线逆定理：在平面内的一条直线, 假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直；环节 3、定理应用举例应用一、证明线线垂直例 1、判定以下命题的真假：（1）如 a 是平面 的斜线,直线 b 垂直于 a在平面 内的射影,就 ab （）（2）如 a

5、是平面 的斜线,平面 内的直线 b 垂直于 a 在平面 内的射影,就 ab （）（3）如 a 是平面 的斜线,直线 b 影,就 ab （） 且 b 垂直于 a 在另一平面 内的射（4）如 a 是平面 的斜线 ,b ,直线 b 垂直于 a 在平面 内的射影,就 ab （）设置目的： 加深同学对两个定理的熟识,明确定理使用的条件, 同时让同学能较好地懂得三垂线定理及其逆定理中五个元素“ 一面四线”之间的关系；教学支配： 支配四个同学口答, 老师组织其他同学争辩, 老师点评强调运用 定理时需要留意的地方；例 2、已知 P 是平面 ABC 外一点, PA平面 ABC ,AC BC, 求证：PC BC；

6、设置目的：让同学逐步把握应用定理证明两条直线垂直的一般步骤,巩固 同学对两个定理的熟识；通过对问题的解决让同学能够区分正定理和逆定理,在解题时能够正确的选用； 题中没有配图, 让同学学会依据已知信息画出几何 图形；教学支配： 老师先给出题干部分, 让同学依据已知信息画出几何图形,老师 再给出问题； 由于题目并不难, 可以由同学争辩解决, 但这里主要是组织同学对 运用三垂线定懂得题的步骤的归纳；例 3、在四周体 ABCD 中,已知 ABCD,ACBD,求证： AD BC；设置目的：进一步加深同学对运用定懂得题时的解题步骤地懂得和把握；让同学在解题中逐步学会通过查找垂线来实现两种线线垂直关系的相互

7、转化,ADBC 是空间两条直线的垂直, 通过正定理可以把它转化为基准平面内的线线垂直问题, 再利用逆定理把已知中的异面垂直关系集中到基准平面内,实现已知 与未知的对接；教学支配：同学争辩完成,老师归纳方法；应用二、作出二面角的平面角 问题 1：我们知道利用几何法求二面角的大小时第一步就是要作出二面角的 平面角,那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教学支配：同学争辩,归纳出求作二面角平面角的三种方法即定义法（、垂 面法、垂线法；问题 2：为什么利用三垂线定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（让同学再次熟识三垂线定理及其逆定理的结论,义的懂得）同时巩固同学对二面角的平面角定教学支配：老师呈现

8、利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的过 程,其中重点是构造另一个半平面；老师动画呈现过程：平移平面内的直线 a 与斜线 PO 相交,从而利用相交直线作出平面,产生二面角 a,此时斜线PO 与射影 AO 就形成了二面角的平面角；老师再点明问题中主线就是二面角的 棱；P P P A O a A A A O a O 例 4、在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD 底面 ABCD ,PD =DC,求二面角 C PB D 的大小；设置目的：让同学熟识利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的基 本方法,让同学体会到三垂线定理及其逆定理在求解二面角问题中的应用；老师支配：让同学摸索后争辩解法,老师板书示范,这里强调几何证法；环节 4、课堂小结 问题：今日,我们争辩了哪些问题？（同学争辩,归纳总结这节课的争辩的主要内容,老师出示幻灯片）v 1、熟识三垂线定理与其逆定理的内容和关系：正定理：线射垂直 逆定理：线斜垂直 2、利用两个定懂得题的基本思路：线斜垂直（先平面,后空间）线射垂直（先空间,后平面）定基准平面定主线找垂线 3、两个定理的主要应用：（1）证明线线垂直；（2）查找二面角的平面角；环节 5、布置课外作业（出示幻灯片）在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD 底面 ABCD ,PD =DC,E 是 PC