人教版八下数学 第18章 平行四边形 微专题六 以菱形为背景的证明与计算

1、人教版八下数学 第18章 平行四边形 微专题六 以菱形为背景的证明与计算如图，AEBF，AC 平分 BAD，且交 BF 于点 C，BD 平分 ABC，且交 AE 于点 D，连接 CD求证：四边形 ABCD 是菱形如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F；再分别以点 B，F 为圆心，大于 12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形根据以上尺规作图的过程，求证四边形 ABEF 是菱形如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，连接 AE，BD，且 AE

2、=AB(1) 求证：ABE=EAD；(2) 若 AEB=2ADB，求证：四边形 ABCD 是菱形如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AB 的中点，且 AECD，CEAB，连接 DE 交 AC 于 F(1) 证明：四边形 ADCE 是菱形；(2) 试判断 BC 与线段 EF 的关系，并说明理由已知：如图，在 ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，点 F，G 是边 AC 的三等分点，DF，EG 的延长线相交于点 H(1) 求证：四边形 FBGH 是平行四边形(2) 如果 AC 平分 BAH，求证：四边形 ABCH 是菱形如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB 于点

3、 D，AE 平分 BAC，分别与 BC，CD 交于点 E，F，EHAB 于点 H，连接 FH求证：四边形 CFHE 是菱形如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN(1) 求证：四边形 AMDN 是平行四边形(2) 填空：当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF(1)

4、求证：AF=DC；(2) 若 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论如图，将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 度到 A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F(1) 求证：BCFBA1D(2) 当 C= 度时，判定四边形 A1BCE 的形状并说明理由答案1. 【答案】 AC 平分 BAD， BAC=CAD又 AEBF， BCA=CAD BAC=BCA AB=BC同理可证 AB=AD AD=BC，又 ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形又 AB=BC， 平行四边形 ABCD 是菱形2. 【答案】由作图

5、过程可知，AB=AF，AE 平分 BAD BAE=EAF 四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD， AEB=EAF， BAE=AEB， AB=BE， BE=AF， 四边形 ABEF 为菱形3. 【答案】(1) 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC， AEB=EAD AE=AB， ABE=AEB， ABE=EAD(2) ADBC， ADB=DBC又 AEB=2ADB，AEB=ABE， ABE=2DBC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD又 四边形 ABCD 为平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形4. 【答案】(1) AECD，ECAD， 四边形 ADCE 是平行四边形，

6、 ACB=90，BD=AD， CD=AD=BD， 四边形 ADCE 是菱形(2) 结论：BCEF，BC=2EF理由： 四边形 ADCE 是菱形， DEAC，DF=EF， DFA=ACB=90， DEBC， BD=AD， CF=FA， BC=2DF=2EF5. 【答案】(1) 因为点 F，G 是边 AC 的三等分点，所以 AF=FG=GC，又因为点 D 是边 AB 的中点，所以 DHBG，同理：EHBF，所以四边形 FBGH 是平行四边形(2) 联结 BH，交 AC 于点 O，因为四边形 FBGH 是平行四边形，所以 BO=HO，FO=GO，又因为 AF=FG=GC，所以 AF+FO=GC+GO

7、，即：AO=CO所以四边形 ABCH 是平行四边形，所以 AHBC，所以 HAC=BCA，因为 AC 平分 BAH，所以 HAC=BAC，所以 BAC=BCA，所以 AB=BC，又因为四边形 ABCH 是平行四边形，所以四边形 ABCH 是菱形6. 【答案】由题意知 CAE+CEA=90，EAH+AEH=90，又 CAE=EAH， CEA=AEH， CDAB，EHAB， CDEH， CFE=AEH， CFE=CEA， CF=CE，又 点 E 在 CAB 的平分线上， CE=EH在四边形 CFHE 中，CFEH 且 CF=EH，CE=EH， 四边形 CFHE 是菱形7. 【答案】(1) 四边形

8、ABCD 是菱形， NDAM， NDE=MAE，DNB=AME， 点 E 是 AD 中点， DE=AE在 NDE 和 MAE 中， NDE=MAEDNE=AMEDE=AE， NDEMAEAAS， ND=MA， 四边形 AMDN 是平行四边形(2) 1 2 【解析】(2) AM=1 时，四边形 AMDN 是矩形理由如下： 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB=2， 平行四边形 AMDN 是矩形， DMAB，即 DMA=90， DAB=60， ADM=30， AM=12AD=1当 AM=2 时，四边形 AMDN 是菱形；理由如下： 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB=2， 平行四边形 AMD

9、N 是菱形， AN=DN， DAB=60， ADN=60， ADN 为等边三角形， AM=DN=AD=28. 【答案】(1) 因为 E 是 AD 的中点，所以 AE=ED因为 AFBC，所以 AFE=DBE，FAE=BDE，所以 AFEDBE所以 AF=DB因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 DB=DC，AF=DC(2) 四边形 ADCF 是菱形理由：由（1）知，AF=DC，因为 AFCD，所以四边形 ADCF 是平行四边形又因为 ABAC，所以 ABC 是直角三角形因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 AD=12BC=DC所以平行四边形 ADCF 是菱形9. 【答案】(1) 因为 ABC 是等腰三角形，所以 AB=BC，A=C，因为 A1BC1 由等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 度得到，所以 A1B=AB=BC，A=A1=C, A1BD=CBF，在 BCF 与 BA1D 中， A1=C,A1B=BC,A1BD=CBF, 所以 BCFBA1DASA(2) 四边形 A1BCE