矩阵分析哈尔滨工业大学(深圳)2017年考试重点

1、定义111（线性空间）给定:空集合/及数域F.若有映射a： rxr -k#2）1。（匕,，2）称为上的加法,并记0（%.岭）=”+串2：及映射r: FxF-F（匕女）1 r（匕公称为和F之间的数乘法，并记L&） = i，A,且这两运算满足“通案的运算规则;则称，关于此+和足 F上的线性空间.在无混淆时,也简称/是线性空间.表示数乘法的记号“ ”有时也方略.线性空间中的 元索也称为向量，线性空间也称为向量空间.|定义1.4.1 （线性映射与线性变换）设匕匕是F工的两个线性空间.映射4匕称为从匕到匕的线性映射,如果它保持加法和数乘法： 对任意名,% g V有/（% +%） = 4（。1）+ /（%

2、）（和的像等丁像的和）；（2）对任意aeKpA-eF有4a A）=用幻/（倍康的像等于像的倍数）.注意在上述两公式中，左边的加法和数乘法是匕上的运算，右边的是匕上的.若从一个线件空间到该线性 I空间自己的线性映射也称为该线性空间上的线性变换.定义1.4.3（线性映射的矩阵表示）给定F上的线性空间匕,匕，及线性映射乂：匕设dim匕=adun匕=m，并设，Sn为匕的i个基（称为入口基）；如小，功为匕的,个基（称为出口基）.记第7个入口基向战产匕在人下的像4）匕在出U基小小，,久下的 坐标为L%J即au4j） = M 0%,；1,7=1.2，. 严明则由F中的向量组qg拼成的矩阵/ = % a?册=

3、以晨称为/在相应的入口基和出口基下的表示.证明一个映射是线性映射。（ P24,例 1.4.9）给定入口基及出口基，写出线性映射对应的矩阵表示。求线性映射在不同基上的矩阵表示。求最简形。先通过初等行列变换化为阶梯形。同时记录行变换（相当于左乘），列变换（右乘） 。即对 In 做变换。记住Q 是 m*m ， P是 n*n ，同时化为最简形时得到的是Q 逆，还需要再进行变化得到Q。所得结果也是该最简形在不同线性空间的基。 矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子。单位模阵。求 矩阵的 Smith 标准型。两个矩阵相似的定义。矩阵相似的三个条件。求复数域上的矩阵的Jordan标准型。-欧几里德空间证明 *

4、是内积空间（欧几里得空间）证明一个向量组是正交向量组。施密特正交化化标准正交组。复矩阵的奇异值和奇异值分解复矩阵的奇异值分解这是定理4. 3.4表达形式.下面介绍定理4. 3.3表述的形式.又的零特征值所对应的次酉矩阵1万0的零特征值所对应的次酉矩阵L反于是A4的酉矩阵U与的酉矩阵V分别为万0 1 1万1-万01五20-00-00-不难验证A = UDVh例4.33求矩阵-20.0的奇异值分解表达式.4 00 I,0 00-0 ,IAE-A4HI =A(A -1)(A -4) ,/MH的特征值脑0.4,% =1,43二所以A的奇异值5=24”的特征值为4的单位特征向量0)T4二(10的特征值为

5、1的单位特征向量”(0 1于是1 00 1()0.因此总结下：A = UDVH； AAH求 U， AHA求 V，注意维数问题，D和 A同维度。此外不够记住还有特征值为0 的特征向量。V=AHUD-H（对于复数问题，记得转置；求 I n-AAH时 ,注意符号，对角线不为0 的变负）点到平面的距离：A 是平面（ 1 2）投影矩阵得P， P=A（ ATA） -1ATb， b 表示一个向量，接着b-P 即为距离，再套用距离公式计算长度。自=&I =K-1 = 0于是1/,，,线性无关.对于矶中任何一个向量(多项式)/(X)=% +。产 +02, +a.|X /?.均可由1/,，,广-|线性表出，这表明

6、：1,%/,丁-I是矶月的基，于是R 4*是n维的.不难验证：1/-%(-。尸，G-Q)-t也是机力.的一组基.因为/() =/(a)+/，(a)(* - Q)+今？(-+(尸(-1)故/(%)在这组基下的坐标为 小 ZW /Z)(a)例1.3.5设6 =(2,1,3,1)、。2 = ( T.1,-3,1)丁，闭=(4,5,3,-1)、Pi =(l5, -3,1)t. V =span|al ,a2|, *=8ptn|R 试求：(1)匕+力的基与维数；(2)匕0力的基与维数.解(1)由定理L3.3知匕 + / = span la, ,a2 趴.岛 I3, g, a是向依组6,。2,小,Pt的极大

7、无关组，故它是力 +%的基， dim(匕 +匕)=3.(2)设aw匕G外,即口匕且。力，于是 a = &叫 k2a2 -+ &4尸2将 MB1&的坐标代入上式,解之得于是 =即。1 +*2 卜糙 +都是)的子审间.分切称石匕与匕的交与和类似位 可定义E个子空间的交与机定义133(子空间的直和)设/是P上的线性空间，匕，%及加是/的子空间.若(I)匕+匕=%.(2)匕/ =料,则称印始匕。匕的ri和；或匕为犷的个直.和分解.记为匕由4 :用.例1.4.9求线性映射S：用力.-*%.“S(/(x) = f/(0dr. M ex.在基1,”,，与基1,*,/,丁-1/下的矩阵表示. 解S(l)=(也

8、=*,S(z)=与九于是所求矩阵为r 000 10-0n (M)ma定义154(特征值与特征向信)给定矩阵/丁，数/IwF,及而零向量若有Ap = 2 , (1.5.4)则称幺是.4的一个特征值.p为相应该特征值的一个特征向量，或更明确地.称数与向母的对(2,0为的一个特征值与特征向员对.定义1.1.4 (多项式矩阵的三种初等行(列)变换)(1)互换矩阵的某两行，例如i和G两行.该变换记为() = 0;|同+阿=|。+肝；1同+网=1。-所.定义1.33（用矩阵的逆来定义西矩阵）矩阵UwC”称为两矩阵.如果u=uh,即 uW定义134（西相似）设48WC2.若有四也阵UwCcf史得UAU =

9、B,则称乂与8西相似./ =犷8恸尸仍少（1.4.3）注意，这里（加尸eCf 及胪eC叫因而（胪叼 M/eCi是通常的数字矩阵.而抽象矩阵 力和“具体”数字的:阵（田尸上之间的乘法运算，是线性空间/中的加法和数乘法（数乘法的数写在 右边）运算的独阵形式表达.固定了空间力.公式（1.4.3）决定了一个从/到十的映射PwJix* =%可形式地记P1r（）=小伊W）种（.）.这是向子空间w的正交投影算子.注141（行体制形式的正交投影算子）此时,抽象向修被类比成行数组.数乘法的数写在抽象向求的左边.向后组按行拼成抽象矩阵.故W = spana,a?1.,aG的相应的抽象型矩阵.亦记为力.为 .%ir

10、=：.。夕ix=G;aJ 为（0厂：/V=仅叫次叩陟，可形式地记。第（） = （WI（WH/,IW.这是向于空间歹的正交投彩界T.例141（标准酉空间C.中，向子空间im4的正交投影矩阵）这里./是列满秩的.记矩阵与=力（不力.则xPP村固定的4.线性映射夕ix是从酉空间/ = （/到/空间匹= mvi内投影算f 它由抄景症的4决 定.定理151 （Schur定理）任一红方阵均可酉相似于匕三角矩阵.证明;（只需把第一章中的证明所用的基底取成标准正交其即可.鉴于此定理的就耍性这里依然详细写出） 时附用数学仃纳法.修=1时，显然.假设*画时命题成立，下证n -卅+ 1时也成立.定义151 （正规矩

11、阵）一个复方阵若与它的共扰转置矩阵可交换则称为正规矩阵,即4wC称为正规矩用 若 AAh =T/.定理1 53殊胆规露阵的特征值）设是正规矩阵,则11） .4是Hcnnit矩阵的充婴斜I是一的特证值是实效.（2） 一4是反Hermit矩阵的充吃条料是乂的特征值的实部为零.21 .4是酉矩阵的充要条件是/的特征值的模等十I正规矩阵酉相似对角化间料：已甘旧阶正规却阵求对用矩阵A K西矩阵U使汽U”U = A.解法：第 步.求出M的所有不同的祗 记为4，,4.第二步.对执个4.求齐次线性方程组“，-/卜=。的-个戚础解系，记为，1*/1 -第三步.对向昼阻；u；实施Gram-Schmidi林淮正交化

12、.力工f I畤艮F W . M用四第四步.排出A及U如F:A = diagjj，*,u = y；，:M d v vrp- P w- 1 F例36. 2已知八；1验证总是正规矩阵1且求酉延阵U.使（7。/为对角矩阵.解由于AH = 1 J LlI -1 1J经计算得aah = 2 01 = AhAL。2所以H是正规矩阵.4的特征务项式E-A1=4-11=#-2a+2 1 人一 1于是4的特征值t A, =1 +iTA2 = -i当斯=1 +i时，特征矩阵AE . = i I-1 1 - 1 I 0 0所以属于M=1 +i的单位特征向ft .当入2=1 4时，特征矩阵0所以属于A2=l-i的单位特

13、征向最a2=（奈才 命iu = (%,%)-豆1豆U是西矩阵,且满足例3.6.3已知- 0 i - I-A = - i 0 i-1 - i 0-脸证A是正规矩阵，旦求西矩阵3使得UilAU为对角矩阵 TOC o 1-5 h z , oi-r解川=-i0i=4 -1-i0.A是Hermite矩阵A - i 1I AE A I = i A i1 i A|=43 3A -2 = (A + 1 )2(A -2)A 的特征值 Ai 1 *Aj =2对M = -1的特征矩阵作初等行变换得x, + ix2 - x3 = 0解得属于特征值-1的特征向最为cr) = (1,0,l)T,a2 = (0,1 ,i)T用Schmidt方法把的,色单位化并正交化得对入3 =2的特征矩阵作初等行变换得-2 - iAjE - A = i 21 rl 0 r i - 0 1 - i 24 00于是x3 = 0tx2 - ix3 = 0故4的属于43 =2的单位特征向量.LV5-i百百i一百2 一瓶.笈1万o 1万U是酉矩阵，且 TOC o 1-5 h z -10 0-UilAU =0-1000 2定理161 (Hermit矩阵的内积刻画)设ZwC”.则下列条件等价Ah = A