2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之狄拉克Dirac 符号

1、狄拉克Dirac 符号在本章第一节时，我们把量子力学中的状态和几何学中的矢量作类比，把状态称为态矢量。在几何学中，矢量可以写成为列矩阵的形式列矩阵记法是X、Y、Z三个轴方向的单位矢量，被称为基本矢量，简称基矢是矢量A在三个轴方向上的分量如果坐标系发生变化，则坐标轴变为 , 基本矢量也相应的变为 。矢量 的三个分量的值肯定也都要发生变化同一个矢量在不同的坐标系下有不同的表示方法同样的在量子力学中同一个状态（或者说：态矢量）在不同的表象下有不同的表示方法。Q1表象Q2表象坐标表象动量表象虽然以上这些表示方法在数学上完全不同，但它们表示的是同一个状态。上一节我们已经学习了它们之间如何相互装换。在这一

2、节我们将使用统一的抽象符号表示状态（态矢量），即所谓的狄拉克符号。使用狄拉克符号表示状态，我们就不用考虑在具体表象下状态该写成什么形式。这就如同前面我们使用矢量符号 表示矢量一样。一、量子力学状态的狄拉克表示方法某个量子力学状态A右矢（刃矢）左矢（刁矢）在某个具体的Q表象下，这个矢量的各个分量就是前面所提及的展开系数在某个具体的Q表象下，这个矢量的各个分量就是右矢各个分量的复共轭。这些分量被排列成一个列矩阵的形式这些分量被排列成行矩阵的形式换句话说，右矢在具体表象下的表示是列矩阵，而左矢在具体表象下的表示是这个列矩阵的共轭矩阵这个运算叫做标积（内积）注意：左、右矢不能相加减 但左矢 、右矢 之

3、间可以进行如下的乘积运算如果写到某个具体的Q表象中标积就等于： 是右矢在Q表象下的各个分量 是左矢 在Q表象下的各个分量显然在其他表象下，标积的定义完全类似，即左、右矢的对应各个分量之间相乘再相加。而且在不同表象下，标积 的值都是相等的，换句话说，标积 是一个与具体表象无关的数。 是右矢 在坐标表象下的分量，其实就是状态A在坐标表象下的波函数 是左矢 在坐标表象下的分量，其实就是状态B在坐标表象下的波函数的复共轭。坐标表象 是右矢 在动量表象下的分量，其实就是状态A在动量表象下的波函数 是左矢 在动量表象下的分量，其实就是状态B在动量表象下的波函数的复共轭。动量表象其他任意某个Q表象下关于这些

4、等式的证明可以使用第二和第三章的知识，不再详述知道了标积的概念，我们就可以很容易的把本章第一节学过的波函数归一化式统一记为狄拉克符号形式。这是在Q表象下状态 的归一化式对比上面的标积式，我们可以用如下形式表示这个形式抽象的表示了状态的归一化，不再涉及到具体某个表象下面我们看某些特殊状态的狄拉克符号形式设某状态是力学量算符 的本征态，所属的本征值是Fi（我们只考虑非简并的情况，对应同一个本征值，只有一个状态）则这个状态可以分别用左矢和右矢写为因此 反映了本征态的正交归一条件 假如的本征值构成连续谱则正交归一条件应写为分别为所属的本征值显然分别对应本征值 的左矢和右矢的标积（分立谱）动量本征态（本征矢）正交归一条件坐标本征态（本征矢）正交归一条件例如我们前面学过的氢原子的能量本征态 可以记为正交归一条件为其他例子以此类推前面已经学过力学量算符 的所有正交归一的本征函数构成了一个完备系，任意波函数都可以用这个完备系展开。如果使用狄拉克符号，我们则说表示这些本征函数的右矢 （左矢 ）构成一个完备系，任意的右矢 （左矢 ）都可以被这组完备系展开：这就是狄拉克符号形式下状态的展开式，大家可以看到该式不依